邵貴明，胡典順，柳福祥

論數學核心素養(yǎng)在高中數學課堂落地生根——以人教版高中“對數”教學為例

邵貴明1，2，胡典順1，柳福祥3

（1．華中師范大學 數學與統計學學院，湖北 武漢 430079；2．黃岡師范學院 數學與統計學院，湖北 黃岡 438000；3．三峽大學 理學院，湖北 宜昌 443002）

課堂教學中提升學生數學核心素養(yǎng)的策略有：數學學科知識是橋梁和媒介；數學思想方法和思維方法是利劍；數學精神和數學文化是助推劑．選取高中數學“對數”教學為例展開教學設計和教學實踐，通過課堂實施的4個環(huán)節(jié)：歷史探源—激發(fā)動力—發(fā)展思維，數據悟律—運算求理—形成概念，模型轉換—邏輯推理—生成法則，內化知識—發(fā)展能力—交流升華，分步論證揭示數學核心素養(yǎng)的課堂落腳點、生長點和發(fā)展點．

數學核心素養(yǎng)；成分分析；落實策略；教學設計

1 問題提出

2014年《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》明確了核心素養(yǎng)的概念，即學生應具備的適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力．之后《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《課標》）為高中數學確定了數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六大數學核心素養(yǎng)．這些都為中國基礎教育數學學科的研究與實踐指明了方向．回顧近些年來關于數學素養(yǎng)、數學核心素養(yǎng)的研究，較多地偏重理論，與落實到基礎教育實踐尚有距離．實際上早有教育研究者呼吁落實的問題．有的在基于文獻綜述的基礎上，提出研究數學素養(yǎng)的4個落腳點，其中強調了要分析數學素養(yǎng)的生成機制和探索數學素養(yǎng)生成的教學策略[1]．有的在梳理中國核心素養(yǎng)的研究進展基礎上，提出未來研究工作應關注5個方面，其中也特別關注了兩點：分析數學核心素養(yǎng)的生成機制，探索數學核心素養(yǎng)生成的教學策略[2]．后來又有學者分析學科核心素養(yǎng)形成機制時提出：學科知識是學科核心素養(yǎng)形成的主載體，學科活動是學科核心素養(yǎng)形成的主路徑[3]．但依然是未能在課堂落地生根．

可見明晰數學素養(yǎng)、數學核心素養(yǎng)的內涵與構成要素，將數學核心素養(yǎng)的研究植根于基礎教育實際是非常必要的．因此，一方面必須深度剖析其內涵及構成要素，解決具體落實什么的問題，另一方面必須探討落實策略，結合具體的教學情境、教學內容解決如何落實的問題．從而體現探究出數學核心素養(yǎng)在課堂的落腳點、生長點和發(fā)展點的一般規(guī)律．

2 數學核心素養(yǎng)的發(fā)展歷程及成份的認識

要想讓數學核心素養(yǎng)落地生根，必須理解并認識核心素養(yǎng)的本質，挖掘其構成要素，目前有數學思想方法說、思維說、能力說等．為了進一步認識，就要從源頭來認識核心素養(yǎng)的成分，才能明確中學課堂教學中數學核心素養(yǎng)形成機理的核心要素．

2.1 數學核心素養(yǎng)的起源及發(fā)展

數學核心素養(yǎng)概念的提出經歷了一個不斷發(fā)展的過程．若追溯其源頭得從素養(yǎng)說起，最早研究素養(yǎng)的世界權威機構是經濟合作與發(fā)展組織（OECD）．1997年底，OECD和瑞士聯邦統計署（SFSO）贊助了一個國際性的跨界合作項目，即“素養(yǎng)的界定與選擇：理論和概念的基礎（DeSeCo）”．該項目由社會學家、評價專家、哲學家、人類學家、心理學家、經濟學家、歷史學家、統計學家、教育學家以及決策者、政策分析師、貿易聯盟、雇主、全國性和國際性組織代表共21人組成，分別出版了關于核心素養(yǎng)的系列研究報告．如2001年出版論文集《確定與選擇核心素養(yǎng)》，2003年發(fā)表項目最終報告《指向成功生活和健全社會的核心素養(yǎng)》，以及2005年發(fā)表《核心素養(yǎng)的確定與選擇：執(zhí)行概要》．OECD認為素養(yǎng)是運用知識、技能和態(tài)度滿足特定情境中復雜需要的能力[4]．這個界定將素養(yǎng)的落腳點歸結在能力要素上．另外，由OECD主持的國際學生評價項目PISA主要用于測試中學生基本能力．PISA 2012數學素養(yǎng)的標準定義如下：數學素養(yǎng)是個人在不同情境下形成、應用和闡釋數學的能力．它包括數學推理能力和使用數學概念、過程、事實和工具來描述、闡釋以及預測現象的能力．它有助于個體作為一個關心社會、善于思考的建設性公民，識別數學在世界中所起的作用并做出有根據的數學判斷和決定．

中國數學教育界高度關注并發(fā)展了數學核心素養(yǎng)，2000年在初高中數學教學大綱中，將思維能力、運算能力、空間想象能力、解決實際問題的能力、創(chuàng)新意識、良好的個性品質和辯證唯物主義觀點納入數學素養(yǎng)的范疇．其主力軍仍然是中國傳統意義上的三大能力．2002年在高中數學教學大綱中繼續(xù)提到“使學生在高中階段繼續(xù)受到教育，提高數學素養(yǎng)”，依然強調了三大能力，且內容更加豐富，加入了直覺猜想、歸納抽象、符號表示、演繹證明，更強調了數學思維能力．接下來中國在新一輪課程改革的課程標準中也著重強調了數學核心詞．直到以林崇德先生為首的核心素養(yǎng)課題組確立“中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)”：以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎、自主發(fā)展、社會參與3個方面，綜合表現為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創(chuàng)新六大素養(yǎng)．其涉及范疇的實質也是一種從內修到應用、從基礎到發(fā)展意義上的能力．

2.2 數學核心素養(yǎng)成分構建的認識

《課標》確定了數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六大數學核心素養(yǎng)．教育研究者也曾對數學核心素養(yǎng)的成份構建進行了深入探討．蔡金法、徐斌艷從人才觀、數學觀（學科觀）論述了數學核心素養(yǎng)的構建分為數學交流、數學建模、智能計算思維和數學情感4個方面[5]；李星云構建了數學交流、數學推理、運算能力、空間觀念、數據分析能力和數學建模6個方面[6]；何小亞在數學核心素養(yǎng)指標之反思中又提出了數學化、數學運算、數學推理、數學意識、數學思想方法和數學情感態(tài)度價值觀六大框架[7]．

這些研究普遍認為數學推理、數學抽象、數學運算是數學核心素養(yǎng)最重要的部分，并從不同的視角剖析了數學核心素養(yǎng)的成份構建，各有千秋．不同的是各自的分類和側重點略有差異，主要表現在以下4個方面．第一，對數學推理表述的側重點不同．蔡金法等則模糊了數學推理的界限，將數學推理內滲于數學交流與數學建模中．《課標》把數學推理明確為邏輯推理，將直覺思維下的合情推理及猜想歸入直觀想象中，顯得語言更簡潔、脈絡更清晰．第二，數學抽象對應的歸類不同．何小亞采用過程化處理方式將數學抽象和數學建模歸到數學化一類中，但是數學化對于中學教師而言是一個較模糊的概念，不利于分清層次．《課標》的表述顯得實踐指導性更強．第三，成份的內涵表述不同．《課標》在數學運算的具體表示中強調運算法則、演繹推理、數理邏輯．蔡金法、徐斌艷突出強調了數學智能計算思維，這是對數學運算內容的時代性豐富．第四，關于數學交流．有些學者將之作為成份之一并單列出來．事實上，數學交流存在于一切數學活動之中，數學推理、數學抽象，甚至數學計算也是一種數學交流形式．從某種意義上來說把數學交流看成是一種素質內隱的活動或許更好．此外，喻平通過因素分析、聚類分析得出六大核心素養(yǎng)本質上均為能力[8]．

3 落實數學核心素養(yǎng)的教學策略

目前有部分學者研究了有關數學核心素養(yǎng)落實到中學實踐的問題．例如常磊、鮑建生分析論述了在情景視角下落實核心素養(yǎng)的策略[8]．史寧中在“學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學”一文中論述了“用數學的眼睛看”落實數學抽象，“用數學的思維想”落實邏輯推理，“用數學的語言說”落實數學模型[9]．章建躍、程?？愿怕收n程為例，宋運明以勾股定理內容為例，主要從編寫教材的角度談如何落地[10-11]．呂傳漢提出教思考、教體驗、教表達（簡稱“三教”）的教育理念，嘗試用“三教”引領“創(chuàng)設數學情境與提出數學問題”培育學生核心素養(yǎng)[12]．這些研究主要還是基于理念探討的層面，仍缺乏具體的指導性和可操作性．

要想讓數學核心素養(yǎng)在中學課堂落地生根，根據以上分析，提升學生的能力和關鍵品格是主抓手．克魯杰茨基曾經說，只有在分析特定活動的基礎上才能揭示能力，并在實驗和實踐的基礎上提出了能力的12成份說．但根據中國的國情和習慣，數學能力分為一般能力和三大特殊能力．一般能力是指觀察力、注意力、記憶力．數學特殊能力是指邏輯推理能力、空間想象能力、數學運算能力．提升能力必然要在教學活動中展開，而實際教學活動教師教什么是問題的關鍵．教學是以數學學科知識為媒介，教給學生數學思想方法和思維能力，引導學生領悟數學精神和感悟數學文化魅力的一種復雜活動．數學核心素養(yǎng)是一切能力中最核心、最關鍵的能力．它不是孤立的，而是融合在教學活動中的．因此，在提升學生數學核心素養(yǎng)過程中，落實策略為：數學學科知識是橋梁和媒介，數學思想方法和思維方法是利劍，數學精神和數學文化是助推劑．

鑒于目前豐富多彩的以說理為主的研究操作性不強，特此以課例為支點展開研究．首先剖析學科知識的內容和結構，發(fā)揮其橋梁和媒介作用，展開教學活動．整個教學活動中數學思想方法和思維方法就像一把利劍，把各個核心素養(yǎng)串連起來，各個擊破．同時數學學科精神和數學文化為數學課堂增加了哲學意蘊和人文關懷，有助于提升學生的數學核心素養(yǎng)．中學數學課堂活動圍繞上述線路展開，期望為研究者和一線教師提供借鑒．

4 基于數學核心素養(yǎng)的教學過程呈現

選用人教版高中數學必修1的“對數”教學為例，基于核心素養(yǎng)為課堂教學的落腳點、生長點和發(fā)展點，進行教學設計和實踐探索．選用該課例的原因是學生對于這節(jié)課普遍認為抽象、難以理解．現實教學中新授課后，仍然有相當數量的學生在計算上會犯“積的對數等于對數的積”這樣的錯誤．基于落實核心素養(yǎng)的理念來換角度設計并實施教學，從考慮對數相應的數量及數量關系入手，兼顧數學的歷史發(fā)生原理，即當學生學習遇到障礙的時候，反思歷史上數學家們是不是也曾遇到這樣的困惑，將數學精神和數學文化作為助推劑．

事實上，1614年蘇格蘭數學家納皮爾（J. Napier，1550—1617）出版了《奇妙的對數定律說明書》，他被認為是對數的發(fā)明者．從那時到1728年瑞士的大數學家歐拉（L. Euler，1707—1783）理順指數與對數的關系：對數源于指數．“對數”這個概念經歷了一百多年才真正為人們所接受．要想頃刻間讓學生接受對數的概念和運算法則這個事實是相當困難的．盡管教材后面也有“對數的發(fā)明”的閱讀材料，只可惜不足以引起師生們的重視．因此基于數學核心素養(yǎng)的視角進行重新設計“對數”的教學是必要的．另外，落實到具體的某節(jié)課，并非一次性將六大核心素養(yǎng)都體現出來．在“對數”這節(jié)課中，主要考察數學抽象、邏輯推理、數學運算和直觀想象、數學模型5個方面．這里按照教學流程展示其中部分細節(jié)．

4.1 歷史探源 激發(fā)動力 發(fā)展思維

基于落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方案，以數學史和數學文化的視角導入課題，深度激發(fā)學生的探究欲望，教學中發(fā)揮數學思想方法和思維方法的利劍作用．簡要經歷對數發(fā)明的歷程，讓學生在數學抽象的過程中，經歷感受并體驗納皮爾發(fā)現對數的思維活動，在運算結構由淺入深的過程中提升運算能力、邏輯推理能力．以下為部分教學設計．

教師通過生動講解，導入如下內容：自古以來人們都在追求長壽的秘訣，有一位數學家發(fā)明了一種神奇的運算，成倍地延長了科學家和工程技術人員的壽命，大家知道是誰嗎？（停頓）他就是蘇格蘭數學家納皮爾．納皮爾是位神奇的人物，每次在公眾場合出場都帶著他的寵物蜘蛛和公雞，他在1594—1614年間花了人生寶貴的20年打造了第一個神奇的對數表，這種對數的方法化乘除為加減，化乘方開方運算為乘除運算，大大縮減了繁雜冗長的運算．恩格斯將之比喻為數學科學的最有力的杠桿之一[13]．這個有力的杠桿是怎樣工作的呢？事實上，納皮爾也是以阿基米德等前人的工作為基礎的．

目前，全國有84689個城市社區(qū)、59.9萬個建制村（社區(qū)），共有社區(qū)居委會成員43.1萬人、村民委員會成員234萬人，社區(qū)公共服務從業(yè)人員215.8萬人，社區(qū)志愿者2900多萬人，還有一批具備專業(yè)知識的兼職工作人員進入社區(qū)工作，城鄉(xiāng)社區(qū)服務事業(yè)取得了顯著成就[2]。但是隨著工業(yè)化、信息化、城鎮(zhèn)化、農業(yè)現代化、市場化、國際化的進程逐步加快，我國城鄉(xiāng)社區(qū)服務體系建設仍然處于初級階段，存在許多困難和問題，也面臨許多機遇和挑戰(zhàn)。

學生跟隨老師一起運算，通過比較，初步感受用加法處理乘法之運算簡便的神奇功效．為后面進行由數列到函數的類比過渡，為概念的數學抽象做準備．接著教師引導分析，為了更清楚地反應這樣的對應關系，不妨用函數來表示這樣的兩個數列中數的關系．同時將正整數擴充到整數、甚至實數，繼續(xù)來觀察表2．

表1 雙數列的對應關系

表2 兩數列對應的函數關系

在表2中，下欄和上欄兩變量之間的關系為指數函數關系：=2，在對下欄的數做加法的基礎上繼續(xù)驗證做減法、乘法、乘方運算，可以得到對應等比數列中的數作除法、乘方、開方運算．（引導學生檢驗）

4.2 數據悟律 運算求理 形成概念

學生在檢驗另外3種運算中體驗了計算的強大和簡便，對應關系的巧妙．通過檢驗從數量關系中逐步過渡到抽象出函數關系，建立指數函數和對數函數模型．

在這個落實初步數學運算核心素養(yǎng)的基本過程中，教師引導學生從簡單到復雜的過程中，理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、尋求運算結果，從數據的比較分析中探知對應關系的規(guī)律．

圖1 指數式和對數式中各要素的對應關系

學生仔細觀察領悟，根據表2和這個互逆運算圖，感受數學抽象概念——對數的誕生，逐步明白對數的“對”的本質是“對應”，體會運用數學運算的法則，用對應關系進行數學概念下定義的方法．課堂由運算悟律過渡到概念生成．

表3 納皮爾創(chuàng)造的對應關系

學生跟隨教師的引導，一步步地進行數學抽象，建立底數不同的對數模型，逐步過渡到一般化問題，興趣盎然地感受數學的魅力，逐步形成類似數學家的樂于探究的趨同感．教師指出，直到1728年瑞士的大數學家歐拉才理順指數與對數的關系，他認為對數源于指數，從指數式的數量關系中可以突出互逆運算的特征．引導學生訓練并熟練掌握指數、對數互化，加深認識對數符號和概念本質，為后續(xù)探究運算法則作鋪墊．接下來進行課堂演練指數式、對數式互化．

4.3 模型轉換 邏輯推理 生成法則

對于教師引導學生猜想對數的運算會有哪些規(guī)則這個問題，在一個示范高中教學實踐中，發(fā)現一部分學生按照從指數類比到對數來推導對數運算法則，即以對數來源于指數運算的性質為邏輯推理的基礎（雖然歷史上，對數的概念發(fā)展先于指數函數）．事實上，對于指數、對數式互化的關系，大部分學生還只是停留在建立概念的需要，并不能深入到應用其推導法則．教師仍要激發(fā)學生用比較與類比的思想來思考，才能培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)之邏輯推理素養(yǎng)，可以采用如下引導語：既然對數概念是從指數式與對數式互化得出的，那么類比指數運算性質是否能得到對數運算法則？學生逐條寫出指數運算性質，反復比較依據指數與對數的轉換關系進行推理，將指數式換成有算理意義的對數式，試圖就得出對數的運算法則．

課堂表現為教師呈現表格（見表4），學生提筆耐心計算逐一填表．師生共同獲得結論，領悟核心素養(yǎng)的內涵之邏輯推理與數學運算之間的關聯，領悟指數模型、對數模型對運算的貢獻．

表4 對數運算思維過程

數學的運算法則也就是在這種邏輯推理的思維過程中順理成章地生成的，符合課程標準制定組的導向，將數學核心素養(yǎng)有心處理落實到無意教學中．同時在經歷用類比思想、化歸思想做數學的過程中，夯實基本知識、掌握基本技能，培養(yǎng)了分析問題、解決問題的能力．

4.4 內化知識發(fā)展能力交流升華

實踐教學中另一部分學生卻是按照下列方式來思考的．師生通過直觀、類比想象實數的加減乘除運算法則，考慮既然對數也是數，通過實數類比對數的運算法則，即能否確定兩個對數的和差積商的運算關系？

5 結語

為了進一步落實數學核心素養(yǎng)到基礎教育的實踐，追溯數學核心素養(yǎng)的發(fā)展歷程，梳理了國內外的相關研究，得出數學核心素養(yǎng)側重于能力層面．針對數學學科的特點和數學的本質展開了探索，探究數學核心素養(yǎng)在課堂教學中的依存方式，認為在提升學生數學核心素養(yǎng)過程中，數學學科知識是橋梁和媒介，數學思想方法和思維方法是利劍，數學精神和數學文化是助推劑．立足于高中數學課堂實踐基礎，選擇普通高中概念教學的難點“對數”，進行具體的教學設計并實施教學檢驗，獲得了較好的實驗效果．今后為了進一步驗證核心素養(yǎng)落實到課堂實踐的一般規(guī)律，還可以從命題教學、問題解決等方面選取不同的題材進行再探究，探索數學核心素養(yǎng)的課堂落腳點、生成點、發(fā)展點，為高中數學教學設計和實施開辟基于數學核心素養(yǎng)落地生根的一般規(guī)律，力求從教育理論研究走向教學實踐提供更豐富的范例和啟示作用．

[1] 胡典順．數學素養(yǎng)研究綜述[J]．課程·教材·教法，2010，30（12）：50-53．

[2] 劉祖希．我國數學核心素養(yǎng)研究進展——從數學素養(yǎng)到數學核心詞再到數學核心素養(yǎng)[J]．中小學教材教學，2016（7）：35-39．

[3] 余文森．論學科核心素養(yǎng)形成機制[J]．課程·教材·教法，2018，38（1）：4-11．

[4] The definition and selection of key competencies: Executive summary [EB/OL]. (2005-05-27) [2018-12-18]. http:// www.oecd.org/pisa/35070367.pdf.

[5] 蔡金法，徐斌艷．也論數學核心素養(yǎng)及其構建[J]．全球教育展望，2016，25（11）：6-10．

[6] 李星云．論小學數學核心素養(yǎng)的構建[J]．課程·教材·教法，2016，36（5）：72-78．

[7] 何小亞．數學核心素養(yǎng)指標之反思[J]．中學數學研究，2016（7）：1-3．

[8] 常磊，鮑建生．情境視角下的數學核心素養(yǎng)[J]．數學教育學報，2017，26（4）：24-28．

[9] 史寧中．學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學[J]．中小學管理，2017（1）：35-37．

[10] 章建躍，程?？咧斜匦拚n程中概率的教材設計和教學思考——兼談“數學核心素養(yǎng)如何落地”[J]．課程·教材·教法，2017，37（5）：27-33．

[11] 宋運明．中國初中數學教材中勾股定理內容編寫特點研究[J]．數學教育學報，2017，26（3）：44-48．

[12] 嚴虹，游泰杰，呂傳漢．對數學教學中“教思考教體驗教表達”的認識與思考[J]．數學教育學報，2017，26（5）：26-30．

[13] 李大潛．漫話e [M]．北京：高等教育出版社，2013：2-23．

A Case Study on Rooting the Mathematics Core Competencies in High School Mathematics Teaching——An Example of the “Logarithm” Teaching in the High School

SHAO Gui-ming1, 2, HU Dian-shun1, LiuFu-xiang3

(1. College of Mathematics and Statistic, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China;2. College of Mathematics and Statistic, Huanggang Normal University, Hubei Huanggang 438000, China;3. College of Science, China Three Gorges University, Hubei Yichang 443002, China)

The study focuses on the strategies to improve students’ mathematics core competencies in classroom teaching: mathematics subject knowledge is the bridge and medium; mathematics thinking method and thinking ability are the sword; mathematical spirit and mathematical culture are the booster. Selecting the “l(fā)ogarithm” as an example of teaching practice, the authors divide the teaching process into four parts: exploring the historical source-stimulating motivation-developing thinking; understanding the law of data-reasoning from arithmetic-forming the concept; doing the model transformation-logic reasoning-rule generation; and internalizing knowledge-developing capability-communication and sublimation. Through step-by-step argumentation, this study also reveals the foothold, rooting point and development point at which teachers can improve students’ mathematics core competencies in their class teaching.

mathematics core competencies; component analysis; strategy implementation; teaching design

G632.0

A

1004-9894（2020）06-0046-05

邵貴明，胡典順，柳福祥．論數學核心素養(yǎng)在高中數學課堂落地生根——以人教版高中“對數”教學為例[J]．數學教育學報，2020，29（6）：46-50．

2020-06-20

教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金項目——中小學核心素養(yǎng)測評的模型建構與實證研究（19YJA880012）；黃岡師范學院數學應用與信息處理訓練中心項目——“翻”出課堂，“轉”出精彩（SXZX201810）；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助——基于學習分析技術的高中數學核心素養(yǎng)評價模型研究（CCNU19TS029）；中央高?；究蒲袠I(yè)務費項目——教師教育專項（CCNUTE2020-04）

邵貴明（1973—），女，湖北鄂州人，副教授，碩士生導師，博士生，主要從事數學課程與教學論研究．

[責任編校：周學智、陳漢君]