趙岷

摘 要：“圓錐的體積”是蘇教版數(shù)學(xué)教材六年級下冊的知識內(nèi)容。教材編排是以“提出猜想—實驗驗證—獲得結(jié)論”為線索，引導(dǎo)學(xué)生通過實驗發(fā)現(xiàn)圓錐體積公式。文章作者認(rèn)為，教材上的實驗方案過于單一，沒有充分體現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的主體地位，學(xué)生的創(chuàng)造思維沒有得到充足發(fā)展。為此，文章對“圓錐的體積”的教學(xué)進(jìn)行了思考、探究。

關(guān)鍵詞：“圓錐的體積”;主體地位;思維發(fā)展

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 收稿日期：2020-05-14 文章編號：1674-120X（2020）30-0033-02

一、實驗思考

“圓錐的體積”教學(xué)采用實驗法。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，用一個圓錐狀容器裝滿水或者沙子，接著將水或沙子倒入一個與它等底等高的圓柱狀容器，重復(fù)操作三次后，剛好可以裝滿圓柱狀容器。學(xué)生回顧實驗過程，推導(dǎo)出圓錐體積是與它等底等高圓柱體積的三分之一。從實驗本身來看，這樣的教學(xué)是成功的，學(xué)生理解了圓錐體積的推導(dǎo)過程，并且學(xué)會了運用圓錐的體積公式解決簡單的實際問題。但是，這樣的設(shè)計著眼于知識本身和教師的預(yù)設(shè)，排斥了學(xué)生的思維和個性，忽視了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，忽視了學(xué)生創(chuàng)造思維的發(fā)展。在具體教學(xué)中，筆者思考了如下問題：

（一）學(xué)生準(zhǔn)確的知識生長點在哪里？

教學(xué)新知識要從學(xué)生的認(rèn)知實際出發(fā)，基于學(xué)生已有的知識背景和能力水平。在一般的教學(xué)中， 教師往往只注重教學(xué)生“怎樣做”， 而忽略了 “為什么這樣做”，造成了學(xué)生知識的片段化，學(xué)生只知結(jié)果不知起因。圓錐只由兩個面構(gòu)成，一個是圓形，另一個是曲面，在小學(xué)教學(xué)中比較特殊，圓錐的體積無疑是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點。六年級學(xué)生此前已經(jīng)學(xué)過的立體圖形有長方體、正方體、圓柱。要把圓錐轉(zhuǎn)化成圓柱，學(xué)生應(yīng)該怎樣思考？有什么樣的選擇過程？一開始就出示等底等高的一組圓柱和圓錐，暗示兩者體積的必然關(guān)系，讓學(xué)生猜測他們的體積關(guān)系，然后進(jìn)行實驗驗證，得出結(jié)論，這種實驗過程沒有立足學(xué)生現(xiàn)有的知識點，沒有重視學(xué)生的想象力，思維含量太低。

（二） 如何體現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的主體地位？

把握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)揮已有知識力量，由學(xué)生主動去打通新舊知識的通道，是學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體的有力體現(xiàn)。教師在教學(xué)本節(jié)內(nèi)容之前，可以讓學(xué)生利用不同圖形之間等積轉(zhuǎn)化的原則，通過切割、拼接等方式，把圓柱轉(zhuǎn)化成和它等底等高的近似的長方體，觀察發(fā)現(xiàn)圓柱和長方體各邊之間的關(guān)系，推導(dǎo)出圓柱的體積公式。由于有對圓柱體積相關(guān)知識的記憶，學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐體積時很自然就會聯(lián)想到等積轉(zhuǎn)化。因為等底等高操作的直觀、便捷性，教材直接采用不等積轉(zhuǎn)化原則，把3個圓錐轉(zhuǎn)化成一個和它等底等高的圓柱，通過實驗發(fā)現(xiàn)圓錐體積是和它等底等高圓柱體積的三分之一。對學(xué)生來說，前期已有的操作經(jīng)驗是等積轉(zhuǎn)化，如何想到不等積轉(zhuǎn)化的實驗方案？如何在教師的指令下驗證等底等高，進(jìn)行3次倒水實驗，得到體積公式？

二、實驗實踐

（一）確定實驗方案

讓學(xué)生回答：要研究圓錐的體積，可以把圓錐轉(zhuǎn)化成學(xué)過的哪一種立體圖形？

生1：把圓錐轉(zhuǎn)化成長方體，長方體的體積我們學(xué)過，很好計算。

生2：我不同意，長方體的長、寬、高都不知道，沒有具體的數(shù)據(jù)，沒法計算。

生3：我想把圓錐轉(zhuǎn)化成圓柱，因為圓錐和圓柱的底面一樣，都是圓形。

生4：我同意這個想法，因為圓柱可以被削成圓錐，它們的底面積相同，高也相同。

師：同學(xué)們經(jīng)過思考有了結(jié)果，都能想到利用學(xué)過的知識來解決今天的問題。那么，你準(zhǔn)備把已知圓錐轉(zhuǎn)化成什么樣的圓柱呢？

小組討論，匯報，形成了三種實驗方案：

A：把圓錐轉(zhuǎn)化成和它體積相等、底面積相等的圓柱。

B：把圓錐轉(zhuǎn)化成和它體積相等、高相等的圓柱。

C：把圓錐轉(zhuǎn)化成和它底相等、高相等的圓柱。

（二）實施實驗過程

學(xué)生分組選擇試驗方案，實施實驗。匯報時先從等積轉(zhuǎn)化開始。

小組1：我們的實驗方案是：體積不變，底面積不變，看看圓錐的高和轉(zhuǎn)化后的圓柱的高有什么關(guān)系。選用橡皮泥材質(zhì)的圓錐，為確保圓錐底面積不變，把圓錐放入一個等底的圓柱內(nèi)，把圓錐從頂部向底部輕輕擠壓，最后圓錐轉(zhuǎn)化成和它等積等底的圓柱。測量發(fā)現(xiàn)：等體積等底面積的圓錐的高是圓柱高的1/3。

小組2補充：我們的實驗方案和上一組一樣。選擇一個和圓錐等底的量杯，并在量杯里裝部分水，把圓錐放入量杯（一定要把圓錐頂部朝下放置，這樣方便水上漲），觀察圓錐的體積等于水上升圓柱的體積。實驗發(fā)現(xiàn)：等體積等底的圓錐的高是圓柱高的1/3。

小組3：我們的實驗方案是：體積不變，高不變，看看圓錐的底面積和轉(zhuǎn)化后的圓柱的底面積有什么關(guān)系。選用橡皮泥材質(zhì)的圓錐做實驗，把圓錐轉(zhuǎn)化成圓柱。由于半徑太難測量，只是感覺底面積變小了，缺乏具體數(shù)據(jù)，不能準(zhǔn)確描述探究結(jié)果。

小組4：我們的實驗方案是：底面積不變，高不變，看看圓錐的體積和轉(zhuǎn)化后的圓柱的體積有什么關(guān)系。選擇等底等高的一組圓錐和圓柱，用圓錐裝滿水倒向圓柱，倒了三次，把圓柱倒?jié)M。通過實驗發(fā)現(xiàn)：等底等高的圓錐是圓柱體積的1/3。

生5補充：我是第4組的。我們第一次把圓錐里的水倒入等底的圓柱時，也感覺轉(zhuǎn)化后圓柱的高是圓錐的1/3，即第一組發(fā)現(xiàn)的結(jié)果。

（三）歸納實驗結(jié)論

師：通過剛才的實驗過程，你們發(fā)現(xiàn)圓錐的體積可以怎樣計算？

生6 ：我們把圓錐轉(zhuǎn)化成體積相同、底面積相同的圓柱，發(fā)現(xiàn)圓柱的高是圓錐的1/3，所以，圓錐的體積=底面積×

（高×1/3）。

生7：我們把圓錐轉(zhuǎn)化成底面積相等、高相等的圓柱，發(fā)現(xiàn)圓柱的體積是圓錐體積的3倍。所以，圓錐的體積=（底面積×高）×1/3。

生8：我根據(jù)生6和生7的總結(jié)，可以推導(dǎo)出圓錐的體積=（底面積×1/3）×高。

三、實驗反思

（一）核心問題引領(lǐng)實驗方案

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確指出：“教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從真實的情境中發(fā)現(xiàn)問題，有針對性地展開討論，提出解決問題的思路，使學(xué)生的認(rèn)識逐步得到發(fā)展?！眰鹘y(tǒng)教材編排實驗開始直接出示一個圓柱和一個圓錐，讓學(xué)生觀察兩個圖形之間底與高的關(guān)系，這樣的實驗方式，限制了學(xué)生的合理想象，把學(xué)生的思維直接定型在兩者之間的必然聯(lián)系上，阻礙了學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)二者之間體積轉(zhuǎn)化的可能。學(xué)生雖然發(fā)現(xiàn)圓錐和圓柱之間等底等高的關(guān)系，但并不知道為什么要觀察這兩個圖形，為什么要選擇等底等高這樣的條件進(jìn)行實驗。筆者提出問題“圓錐可以轉(zhuǎn)化成什么圖形？”“你想把圓錐轉(zhuǎn)化成什么樣的圓柱？”讓學(xué)生大膽想象，在討論中發(fā)現(xiàn)兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，最終自主選擇把圓錐轉(zhuǎn)化為圓柱。在核心問題的引導(dǎo)下，小組展開討論，提出了三種圓錐轉(zhuǎn)化成圓柱的實驗方案：可以等積等底研究高的關(guān)系，可以等積等高研究底的關(guān)系，也可以等底等高研究體積的關(guān)系。

（二）高質(zhì)操作保證實驗結(jié)果

兒童的思維體現(xiàn)在手指尖上。動手操作的過程是一個手腦并用的過程，是培養(yǎng)技能、促進(jìn)思維發(fā)展的一種有效手段。高質(zhì)有效的操作能夠讓實驗順利進(jìn)行，還能保證實驗結(jié)果準(zhǔn)確、有效。教材編排實驗材料簡單：沙土，等底等高的圓錐和圓柱各一個。在教學(xué)時，筆者豐富了實驗材料，給學(xué)生增添了量杯、橡皮泥材質(zhì)的圓錐。由于實驗具有一定難度，所以組織方式采用小組合作互評互議，讓學(xué)生在互幫互助中使實驗順利進(jìn)行。在實驗中，學(xué)生為了滿足等積等高，需要縮底，嘗試把圓錐的底面在桌上滾動壓縮，還嘗試把圓錐底部直接削去，添補在圓錐的頂部。實驗的過程很費時，也沒有達(dá)到學(xué)生們的預(yù)期效果。但是，經(jīng)歷了實驗過程，學(xué)生感悟：要想等積等高，底必須縮小，至于縮小的具體關(guān)系暫時還無法測量計算。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程不是簡單地模仿數(shù)學(xué)家“舊發(fā)現(xiàn)”“舊創(chuàng)造”，而是經(jīng)歷一個真正的“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”的過程。學(xué)生通過親自實踐，發(fā)現(xiàn)了兩種圖形之間的多種關(guān)系，學(xué)有所得，體驗到了成功的快樂。

（三）全面歸納豐富實驗結(jié)論

在課堂教學(xué)中，很多教師因為教學(xué)時間受限和教學(xué)任務(wù)的影響，喜歡幫助學(xué)生歸納總結(jié)，把教師認(rèn)為最容易教、學(xué)生最不易出錯的方法，直接歸納教給學(xué)生。這些教師覺得這樣既可以節(jié)省時間，又能保證做題的正確率，讓學(xué)生少走彎路。殊不知這種省時省力的做法，扼殺了學(xué)生的創(chuàng)造性思維。教學(xué)中讓學(xué)生動手操作， 自主思考，全面歸納，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)概括能力、提高學(xué)生思維能力的有效方法。在課堂中，筆者讓每一組都把實驗結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)，匯報交流，這樣學(xué)生才理解書里編排的在“等底等高”情況下研究體積的方法只是眾多實驗路徑之一;簡單的圓錐體積公式里蘊含著豐富的內(nèi)涵，1/3在公式中所處的位置不同，表達(dá)了計算圓錐體積時不同的意義。學(xué)生通過等底等高的圓錐體積是圓柱的1/3和等積等底圓錐的高是圓柱的3倍，可以推理出等積等高圓錐的底面積是圓柱的1/3。

數(shù)學(xué)家波利亞指出：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑，都是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、探索、研究，因為這樣理解起來更深刻，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系”。本案例的教學(xué)設(shè)計中，教師從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗出發(fā)，對數(shù)學(xué)實驗過程進(jìn)行了改變，讓學(xué)生自主設(shè)計實驗方案，自主經(jīng)歷實驗過程，自主總結(jié)實驗結(jié)論，讓學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識的同時，數(shù)學(xué)思維也得到了發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]金曉峰.構(gòu)建學(xué)習(xí)平臺親歷探索過程——圓錐體積教學(xué)案例研究與反思[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版，2007（4）：41-43.

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