趙皓宇 祝長生

摘要：為了研究帶有比例微分控制的對稱電磁軸承剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學特性，首先建立了對稱電磁軸承剛性轉(zhuǎn)子徑向四自由度系統(tǒng)的動力學模型，并將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動分解為平動運動和錐動運動;其次，分別求解平動運動及錐動運行的特征根，利用特征根分析了比例系數(shù)、微分系數(shù)以及轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速等參數(shù)對平動運動和錐動運動固有特性的影響，并提出了比例微分控制器參數(shù)的設(shè)計原則;然后，求得了由轉(zhuǎn)子不平衡引起的平動和錐動振動的解析表達式，分析了轉(zhuǎn)子剛體平動及錐動的共振特性以及控制器參數(shù)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡振動的影響;最后，通過實驗，對對稱電磁軸承剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性的理論分析結(jié)果進行了驗證。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)子動力學;電磁軸承;剛性轉(zhuǎn)子;比例微分（PD）控制;轉(zhuǎn)子不平衡

中圖分類號：0347.6文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）05-0940-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.i004-4523.2020.05.009

引言

電磁軸承（也稱之為主動電磁軸承ActiveMagnetic Bearing，以下簡寫為AMB）通過對電磁鐵線圈中電流的實時控制，使其產(chǎn)生受控的電磁力來實現(xiàn)對轉(zhuǎn)子的懸浮，具有無接觸、適合高速、動力特性易于控制等特點，已成為高速旋轉(zhuǎn)機械的典型支撐單元。為使AMB支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有良好的振動特性，過去雖然已經(jīng)提出了一系列的智能控制方法，如魯棒控制、自適應控制、非線性控制等，但工程中最常用的仍然是分散的比例一積分一微分（PID）控制。大量的實踐已經(jīng)證明，分散控制在大量AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的控制性能和魯棒性都能夠滿足一般的工程要求。

就分散PID控制的AMB支承的剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言，其動力學特性的分析通常有根軌跡法、頻率特性法、相位圖法和時域仿真法等。由于系統(tǒng)特征根能夠準確地描述系統(tǒng)的頻率和衰減等特性，因此剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析首選特征根法。Polajzer等用根軌跡法設(shè)計了一種PI和PD級聯(lián)的位置控制器，研究了控制器的穩(wěn)定性。Fan等利用根軌跡法研究了陀螺效應對AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。Psonis等利用特征方程和勞斯穩(wěn)定判據(jù)研究了單自由度AMB轉(zhuǎn)子PD閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Yang等給出了單自由度AMB轉(zhuǎn)子PD閉環(huán)系統(tǒng)特征根的解析式，分析了PD控制器的整定問題。肖凱等分析了單自由度AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)剛度和阻尼特性以及PD控制器參數(shù)對其剛度和阻尼特性的影響。Akash等在研究單自由度模型的基礎(chǔ)上，引入自適應PID技術(shù)，對系統(tǒng)進行閉環(huán)控制。董淑成等用根軌跡法分析了PD參數(shù)對AMB剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)特性的影響，然后結(jié)合相位圖法對積分參數(shù)的作用進行了分析。雷新亮等根據(jù)單自由度AMB系統(tǒng)模型求得了PD參數(shù)的穩(wěn)定域，分析了控制器參數(shù)對轉(zhuǎn)子動力特性的影響，最后用實驗對控制參數(shù)進行修正。袁崇軍等以多質(zhì)點離散轉(zhuǎn)子為對象，采用迭代算法逼近系統(tǒng)特征根，用迭代計算結(jié)果判別AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。汪希平根據(jù)單自由度AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，計算了系統(tǒng)復剛度和復阻尼，分析了系統(tǒng)的阻尼和共振頻率特性。wei等在分散PID控制器中加入濾波器，以改善系統(tǒng)的動態(tài)特性。Kascak等研究了PD控制下AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

本文首先建立了考慮轉(zhuǎn)子不平衡的對稱AMB剛性轉(zhuǎn)子徑向四自由度系統(tǒng)的動力學模型;其次在分散PD控制下得到了轉(zhuǎn)子各模態(tài)特征根的解析表達式，從而獲得了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)自然振動衰減特性和頻率特性;然后求解了轉(zhuǎn)子不平衡響應的解析表達式，分析了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛體共振等特性;最后通過實驗對相關(guān)理論結(jié)果進行了驗證。

1對稱AMB剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學模型

如圖1所示為一般的AMB軸對稱剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。

由微分方程理論可知，非齊次微分方程的解分別由非齊次微分方程的特解以及與之對應的齊次微分方程的通解兩部分組成。在動力學中，將非齊次微分方程的特解稱為系統(tǒng)的受迫振動，其特性由不平衡激振力決定。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)齊次微分方程的通解稱為系統(tǒng)的自然振動或固有振動，它僅由系統(tǒng)本身的特性決定，與外部激勵無關(guān)。由此可見，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非齊次微分方程式的特解表示了不平衡引起的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)平動/錐動的受迫振動。在沒有其他外部激勵的情況下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)平動/錐動的受迫振動由轉(zhuǎn)子的不平衡力決定。因此這種受迫振動又稱為不平衡振動;而與之對應的齊次微分方程式則表示了系統(tǒng)平動/錐動的固有振動，即系統(tǒng)的固有特性。

下面首先求解齊次微分方程式（15）和（16），以研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)平動/錐動的固有特性。然后求解非齊次微分方程式（13）和（14），以研究轉(zhuǎn)子不平衡量導致的系統(tǒng)受迫振動。

2對稱AMB剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有特性

2.1轉(zhuǎn)子平動振動的固有特性

a）D值不能選得過低。由表2可知，平動和錐動的衰減主要由D決定。如果D選得過小，就無法為系統(tǒng)提供足夠阻尼，使振蕩迅速衰減，導致系統(tǒng)響應速度慢，當系統(tǒng)中存在非線性時閉環(huán)系統(tǒng)甚至會出現(xiàn)不穩(wěn)定問題。

b）D值不能選得過大。由于速度信號中的噪聲要比位移信號中的噪聲更為嚴重，因此，高阻尼系統(tǒng)就意味著高噪聲水平，只有保證位移和速度信號中的噪聲水平足夠低，才能考慮選擇較高的阻尼。對于復雜的AMB剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)來說，位移傳感器、功率放大器、外部流體和電氣等設(shè)備都會引人噪聲，因此不宜采用過高阻尼的控制方式。

c）D值的選取應與比例系數(shù)P的選取相配合。由表2可知，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率由系數(shù)P和D共同確定，所以為了達到滿意的控制效果，二者必須在選擇上進行配合。以WFw為例，當提高系數(shù)P時，WFw會隨之增大，此時若再減小系數(shù)D，則WFw會變得更大，嚴重時甚至可能超過系統(tǒng)帶寬，造成系統(tǒng)失穩(wěn)。由此可見，P值越高，D值必須選擇越大，以保證頻率在一個合理的范圍內(nèi)。

4解析分析和實驗結(jié)果

解析分析和實驗中AMB對稱剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)如表1所示。根據(jù)表1中系統(tǒng)參數(shù)，由式（37）和（38）計算出比例系數(shù)P和微分系數(shù)D的數(shù)值。取k=2，v=0.2時，P=6335，D=3.5。

根據(jù)解析式計算得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動響應曲線如圖13所示。

圖14為某磁懸浮高速電機實驗裝置，該實驗平臺由電源，變頻器，dSPACE，傳感器，開關(guān)功放，電機和上位機等組成。電機的轉(zhuǎn)子徑向由兩個AMB支撐，軸向由一對永磁軸承支撐。

在P=6400，D=5的條件下，實驗得到的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應曲線如圖15所示。實驗結(jié)果表明，根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有振動特性所選擇的PD參數(shù)能夠使實際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運行，并具有較好的動態(tài)特性。將圖13與15進行比較可知，解析式能較為準確地反映AMB剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動狀態(tài)。

理論解析與試驗結(jié)果之問存在一定差異的主要原因為：

1）實際系統(tǒng)任一時刻的運動都是由固有振動和不平衡振動共同組成。轉(zhuǎn)子在0轉(zhuǎn)速附近時，不平衡振動很小，固有振動對轉(zhuǎn)子振動幅值的影響尤為明顯。然而實驗中固有振動幅值由初始條件決定，具有隨機性，因此解析式曲線與實驗曲線在0轉(zhuǎn)速附近區(qū)別較為明顯。

2）實際系統(tǒng)并非完全對稱系統(tǒng)，主要表現(xiàn)在轉(zhuǎn)子質(zhì)心并不是準確位于兩端電磁軸承的中點處。這種非對稱性將平動與錐動耦合在一起，對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動特性造成影響。

3）實際控制系統(tǒng)中存在的滯后（如采樣滯后，計算滯后等），以及功放傳感器等環(huán)節(jié)的延遲效應，都會影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動特性。

5結(jié)論

針對對稱AMB剛性轉(zhuǎn)子PD閉環(huán)系統(tǒng)的動力特性進行了解析分析，得出如下結(jié)論：

（1）對稱AMB剛性轉(zhuǎn)子的平動和錐動方程互相解耦，可以分別對轉(zhuǎn)子的平動和錐動振動的固有特性及不平衡響應特性進行解析分析。

（2）對稱AMB剛性轉(zhuǎn)子PD閉環(huán)系統(tǒng)的固有振動特性不僅與系統(tǒng)的動力學參數(shù)有關(guān)，而且還與PD控制器的比例系數(shù)P和微分系數(shù)D有關(guān)。當選取P為“自然”剛度時，D值應與P值相匹配，才能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定運行，且具有良好的動態(tài)特性。

（3）對于對稱AMB剛性轉(zhuǎn)子PD閉環(huán)系統(tǒng)，當轉(zhuǎn)速較低時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡振動受P和D參數(shù)的影響較為明顯，調(diào)節(jié)P和D參數(shù)，可以調(diào)節(jié)平動位移共振和錐動角度共振點的位置和振幅。