冀偉 羅奎 馬萬(wàn)良 王明宏

摘要：為計(jì)算和分析波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁的純彎曲豎向振動(dòng)頻率，在綜合考慮剪切剪滯雙重效應(yīng)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用Hamilton原理和能量變分法推導(dǎo)出波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁純彎曲豎向振動(dòng)的控制微分方程和自然邊界條件。根據(jù)自然邊界條件，求解得出考慮剪切剪滯雙重效應(yīng)影響的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁純彎曲豎向振動(dòng)頻率的計(jì)算公式。純彎曲豎向振動(dòng)頻率計(jì)算公式的可靠性得到了已建實(shí)橋的頻率實(shí)測(cè)值和ANSYS空間有限元值的驗(yàn)證。最后對(duì)波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁純彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響因素進(jìn)行了分析。研究結(jié)果表明：隨著高跨比的增大，波形鋼腹板的剪切變形、箱梁的剪力滯效應(yīng)以及其兩者的耦合變形對(duì)純彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響程度依次減弱;波形鋼腹板的剪切變形對(duì)純彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響較大，第4階純彎曲豎向振動(dòng)頻率的誤差已經(jīng)達(dá)到了52.38%，在實(shí)際工程計(jì)算中必須考慮其波形鋼腹板的剪切變形效應(yīng)。

關(guān)鍵詞：箱梁橋;波形鋼腹板;動(dòng)力特性試驗(yàn);剪切變形;剪力滯效應(yīng)

中圖分類號(hào)：U448.21⁺3;U441⁺.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2020）05-1053-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.05.020

1概述

自20世紀(jì)70年代，法國(guó)學(xué)者PierreThivans提出用可沿橋梁縱向伸縮的波形鋼腹板替代傳統(tǒng)的混凝土腹板，由此出現(xiàn)了波形鋼腹板組合箱梁。國(guó)內(nèi)學(xué)者為進(jìn)一步降低波形鋼腹板組合箱梁的自重，解決箱梁的混凝土底板易開裂的缺陷，對(duì)波形鋼腹板組合箱梁進(jìn)行優(yōu)化，提出了波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合箱梁，其中波形鋼腹板一鋼底板的構(gòu)造如圖1所示。

目前，國(guó)外學(xué)者對(duì)波形鋼腹板的研究較多，研究成果主要集中靜力學(xué)方面。國(guó)內(nèi)的學(xué)者針對(duì)波形鋼腹板組合箱梁的動(dòng)力特性也做了許多的研究工作：張永健等運(yùn)用能量變分法推導(dǎo)了波形鋼腹板組合箱梁橋的振動(dòng)頻率解析公式，并用模型試驗(yàn)梁進(jìn)行了驗(yàn)證;鄭尚敏等研究了體外預(yù)應(yīng)力對(duì)波形鋼腹板組合箱梁自振頻率的影響，研究表明體外預(yù)應(yīng)力對(duì)自振頻率的影響可以忽略不計(jì);陳水生等研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)單箱多室波形鋼腹板組合箱梁動(dòng)力特性的影響;劉保東等根據(jù)其動(dòng)力特性的特點(diǎn)制定試驗(yàn)方案，對(duì)其動(dòng)力特性進(jìn)行了實(shí)測(cè);李宏江等通過(guò)文獻(xiàn)調(diào)研和實(shí)橋調(diào)查，介紹了波形鋼腹板組合箱梁的自振特性及動(dòng)力響應(yīng)研究的最新進(jìn)展;任紅偉等推導(dǎo)了波形鋼腹板梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的解析公式;李杰等研究了體外束對(duì)波形鋼腹板簡(jiǎn)支梁自振頻率的影響;冀偉等對(duì)波形鋼腹板組合箱梁橋的振動(dòng)頻率進(jìn)行了試驗(yàn)研究。

文獻(xiàn)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者還未展開對(duì)波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合箱梁動(dòng)力特性的研究。因此，筆者運(yùn)用能量變分原理和Hamilton原理，推導(dǎo)出波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁純彎曲豎向振動(dòng)頻率的計(jì)算公式，最后對(duì)純彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響因素進(jìn)行了分析，所得結(jié)論可為今后該類橋型的設(shè)計(jì)提供一定的參考依據(jù)。

2彎曲豎向振動(dòng)方程的建立

2.1能量變分法的基本假定

（1）橋梁結(jié)構(gòu)在彈性范圍內(nèi)工作，波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁符合“擬平截面假定”;

（2）波形鋼腹板承擔(dān)全部剪力，計(jì)算應(yīng)變能時(shí)只考慮其剪切應(yīng)變能;

（3）不考慮波形鋼腹板和混凝土頂板連接處的層問(wèn)滑移;

（4）忽略波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁的扭轉(zhuǎn)變形和普通鋼筋的影響。

波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁的橫截面如圖2所示，b和ζb分別表示混凝土頂板箱中部分長(zhǎng)度的一半和懸臂部分的長(zhǎng)度，hu和hb分別表示箱梁形心軸到混凝土頂板和鋼底板形心軸的距離。

3動(dòng)力特性測(cè)試與有限元模型的建立

3.1動(dòng)力特性測(cè)試

選取甘肅省蘭州市景中高速機(jī)場(chǎng)連接線的主匝道橋進(jìn)行了動(dòng)力特性實(shí)測(cè)，該橋?yàn)橹袊?guó)正在建設(shè)的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合箱梁，被交通運(yùn)輸部列為全國(guó)首批9座鋼結(jié)構(gòu)橋梁典型示范項(xiàng)目之一。計(jì)算跨徑為29.22m，采用4箱單室的截面形式，單箱截面的具體尺寸如圖4所示。箱梁混凝土頂板的彈性模量為3.5×10⁴MPa，泊松比為0.20，混凝土的密度為2.5×10³kg/m³。波形鋼腹板為1200型，波高為20cm，波形鋼腹板和鋼底板的厚度分別為1cm和1.6cm，鋼材的彈性模量為2.1×10⁵MPa，泊松比為0.30，鋼材密度為7.8×10³kg/m³。在鋼底板上設(shè)置兩道縱向的加勁肋，高度為18cm，箱內(nèi)每隔4.8m設(shè)置一道橫隔板。

為了驗(yàn)證所推導(dǎo)的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁純彎曲豎向振動(dòng)頻率計(jì)算公式的正確性，在沒(méi)有進(jìn)行橋面鋪裝之前，采用脈動(dòng)法對(duì)景中高速機(jī)場(chǎng)連接線主匝道橋的彎曲豎向振動(dòng)頻率和振型進(jìn)行了測(cè)試，如圖5所示。在橋梁的1/4跨、跨中以及3/4跨的橋梁中心線處和兩側(cè)對(duì)稱放置9個(gè)豎向拾振器，拾振器的布置圖如圖6所示，采樣頻率為256Hz。

通過(guò)脈動(dòng)試驗(yàn)測(cè)得的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁的功率譜圖如圖7所示，將脈動(dòng)試驗(yàn)的實(shí)測(cè)信號(hào)輸入東方所的INV3060S型24位信號(hào)測(cè)試分析系統(tǒng)軟件進(jìn)行分析，識(shí)別出各階彎曲豎向振動(dòng)頻率和振型，本試驗(yàn)主要測(cè)得了在建實(shí)橋的前3階彎曲豎向振動(dòng)頻率和振型。

3.2波形鋼腹板-鋼底板-混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁有限元模型的建立

運(yùn)用ANSYS 18.0空間有限元軟件建立了景中高速機(jī)場(chǎng)連接線的主匝道高架橋的三維模型。根據(jù)波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁的特殊構(gòu)造，采用SOLID 45實(shí)體單元和SHELL 63殼單元兩種單元對(duì)三維模型進(jìn)行模擬。波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁的混凝土頂板為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，采用SOLID 45實(shí)體單元進(jìn)行模擬，采用SHELL 63殼單元對(duì)波形鋼腹板、橫隔板以及鋼底板進(jìn)行模擬。

波形鋼腹板的殼單元與簡(jiǎn)支箱梁混凝土頂板的實(shí)體單元以及鋼底板的殼單元，在連接處整排節(jié)點(diǎn)共用結(jié)點(diǎn)，波形鋼腹板的殼單元與混凝土頂板的實(shí)體單元連接處，以波形鋼腹板殼單元的1排節(jié)點(diǎn)為主節(jié)點(diǎn)，以體單元的節(jié)點(diǎn)為從節(jié)點(diǎn)，根據(jù)主從節(jié)點(diǎn)的自由度建立約束方程，形成剛性連接。波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁三維模型的邊界條件為：左端為固定鉸支座，即對(duì)簡(jiǎn)支箱梁左端鋼箱最底下的1排節(jié)點(diǎn)的豎向、縱向以及橫向位移進(jìn)行約束;右端為活動(dòng)鉸支座，即對(duì)簡(jiǎn)支箱梁右端鋼箱最底下的1排節(jié)點(diǎn)的豎向和橫向位移進(jìn)行約束。AN-SYS有限元模型一共211512個(gè)單元，其中SOLID45實(shí)體單元58752個(gè)，SHELL 63殼單元152760個(gè)。建立好的景中高速機(jī)場(chǎng)連接線的主匝道高架橋三維有限元模型如圖8所示。

4對(duì)比驗(yàn)證

4.1不同方法計(jì)算的彎曲豎向振動(dòng)頻率比較

將本文所推導(dǎo)的彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式的計(jì)算值與已建實(shí)橋的實(shí)測(cè)值和ANSYS三維有限元值進(jìn)行比較，其對(duì)比結(jié)果如表1所示。

從表1中可以看出：本文所推導(dǎo)的彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式的計(jì)算值、ANSYS三維有限元值以及已建實(shí)橋的實(shí)測(cè)值吻合良好，證實(shí)了筆者所推導(dǎo)的彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式的正確性。

4.2不同理論公式計(jì)算的彎曲豎向振動(dòng)頻率比較

把景中高速機(jī)場(chǎng)連接線的主匝道高架橋的彎曲豎向振動(dòng)頻率分別按照筆者所推導(dǎo)的計(jì)算公式、歐拉梁和鐵木辛柯梁理論計(jì)算前6階彎曲豎向振動(dòng)頻率值，并進(jìn)行對(duì)比分析，如圖9所示。

從圖9可以看出，按歐拉梁計(jì)算的彎曲豎向振動(dòng)頻率值與筆者所推導(dǎo)的彎曲豎向振動(dòng)頻率公式的計(jì)算值差別較大，2階彎曲豎向振動(dòng)頻率的差值已經(jīng)達(dá)到了23.21%，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是本文推導(dǎo)彎曲豎向振動(dòng)頻率計(jì)算公式時(shí)考慮了剪切剪滯雙重效應(yīng)，歐拉梁并未考慮剪切剪滯雙重效應(yīng)，剪切剪滯雙重效應(yīng)會(huì)降低波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁的抗彎剛度。按鐵木辛柯梁理論計(jì)算的彎曲豎向振動(dòng)頻率值與筆者所推公式的計(jì)算值差別不是很大，且前6階彎曲豎向振動(dòng)頻率的差值在1.79%以內(nèi)。

4.3不同混凝土底板厚度計(jì)算的彎曲豎向振動(dòng)頻率比較

把景中高速機(jī)場(chǎng)連接線的主匝道高架橋的鋼底板改為混凝土底板，分別將其混凝土底板的厚度取為160，180，200，220和240mm，用本文所推導(dǎo)的彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式計(jì)算其彎曲豎向振動(dòng)頻率值，討論其彎曲豎向振動(dòng)頻率值與混凝土底板厚度的關(guān)系。根據(jù)本文計(jì)算公式采用MATLAB自編程序計(jì)算不同混凝土底板厚度下的彎曲豎向振動(dòng)頻率值，如表2所示。

從表2可以看出，將波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁的鋼底板換成混凝土底板后，采用本文推導(dǎo)的公式計(jì)算的彎曲豎向振動(dòng)頻率值均比箱梁底板為鋼底板時(shí)的計(jì)算結(jié)果要小，說(shuō)明如果保持其他的幾何參數(shù)不變，僅將鋼底板換成混凝土底板，箱梁的抗彎剛度與單位長(zhǎng)度的質(zhì)量比反而有所降低。

5彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響因素分析

5.1波形鋼腹板剪切模量是否修正對(duì)彎曲豎向振

動(dòng)頻率的影響

運(yùn)用本文所推導(dǎo)的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁的彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式，從是否考慮剪切模量的修正系數(shù)分別計(jì)算出該橋型彎曲豎向振動(dòng)的頻率值，計(jì)算結(jié)果如表3所示，兩者的差值記為η1。

從表3可以看出，波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁的彎曲豎向振動(dòng)頻率與波形鋼腹板的剪切模量是否修正關(guān)系不大，前4階彎曲豎向振動(dòng)頻率的差值在3.06%以內(nèi)，且兩者的差值隨著頻率階數(shù)的升高而出現(xiàn)一種增大的趨勢(shì)，且增長(zhǎng)趨勢(shì)緩慢。

5.2波形鋼腹板剪切變形對(duì)彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響

只考慮彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式里面波形鋼腹板的剪切變形項(xiàng)的計(jì)算值與本文公式計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如表4所示，兩者的差值記為η2。

從表4可以看出，波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁的彎曲豎向振動(dòng)頻率受波形鋼腹板的剪切變形效應(yīng)影響較大，第4階彎曲豎向振動(dòng)頻率的差值已經(jīng)達(dá)到了52.38%，且兩者的差值隨著頻率階數(shù)的升高而急劇增大。因此，在計(jì)算該類橋型的彎曲豎向振動(dòng)頻率時(shí)波形鋼腹板的剪切變形效應(yīng)不可忽略。

5.3箱梁的剪力滯及其耦合效應(yīng)對(duì)彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響

只考慮彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式里面的箱梁的剪力滯及其耦合效應(yīng)項(xiàng)的計(jì)算值，并與本文公式計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如表5所示，兩者的差值記為η3。

從表5可以看出，波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁的彎曲豎向振動(dòng)頻率受箱梁剪力滯及其耦合效應(yīng)的影響很小，前4階頻率的差值在4.42%以內(nèi)，且兩者的差值隨著頻率階數(shù)的升高而出現(xiàn)一種增大的趨勢(shì)，增長(zhǎng)趨勢(shì)較平緩。

5.4高跨比對(duì)修正系數(shù)βn的影響

為分析波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁在不同高跨比下的彎曲豎向振動(dòng)頻率，采用MATLAB自編程序計(jì)算出該橋型在波形鋼腹板的剪切變形效應(yīng)、箱梁的剪力滯效應(yīng)以及其兩者耦合作用下的彎曲豎向振動(dòng)頻率修正系數(shù)βn，其修正系數(shù)和高跨比的關(guān)系曲線如圖10所示。

從圖10可以看出：①當(dāng)n（頻率階數(shù)）值一定時(shí)，修正系數(shù)βn隨著高跨比的增大而減小，說(shuō)明高跨比增大，波形鋼腹板的剪切變形、箱梁的剪力滯效應(yīng)以及其兩者的耦合效應(yīng)對(duì)彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響將會(huì)減弱;②當(dāng)高跨比h/l一定時(shí)，修正系數(shù)βn將隨n值的增大而減小，說(shuō)明鋼腹板的剪切變形、箱梁的剪力滯效應(yīng)以及其兩者的耦合效應(yīng)對(duì)彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響將隨頻率階數(shù)的升高而不斷減小。

5.5鋼底板厚度對(duì)彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響

假定波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁的截面高度、混凝土頂板厚度、波形鋼腹板厚度以及橫隔板的厚度和數(shù)量保持不變，僅僅改變其鋼底板的厚度。分別將其鋼底板的厚度取為15，16（實(shí)橋尺寸），20，25和30mm，用本文所推導(dǎo)的該橋型的彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式計(jì)算其彎曲豎向振動(dòng)頻率值，討論其彎曲豎向振動(dòng)頻率值與鋼底板厚度的關(guān)系。根據(jù)本文計(jì)算公式采用MATLAB自編程序計(jì)算不同鋼底板厚度下的彎曲豎向振動(dòng)頻率值，如圖11所示。

從圖11可以看出，鋼底板的厚度對(duì)其基頻的影響較大，鋼底板的厚度從15mm增加到20mm，20mm增加到30mm，25mm增加到30mm，豎向基頻依次增大9.65%，6.83%，5.05%，隨著彎曲豎向振動(dòng)頻率階數(shù)的升高，鋼底板的厚度改變對(duì)其彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響程度依次減弱。

5.6基頻與現(xiàn)行規(guī)范進(jìn)行對(duì)比

2015年出版的《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》（JTG D60-2015）第4.3.2條給出了簡(jiǎn)支梁橋基頻的估算公式

采用式（33）對(duì)波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁的基頻進(jìn)行了計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與本文公式所得基頻進(jìn)行比較，對(duì)比結(jié)果如表6所示。

從表6中可以看出，采用文獻(xiàn)[16]中的基頻公式計(jì)算所得值比本文推導(dǎo)的公式計(jì)算的基頻值大6.30%。表明采用本文所推導(dǎo)的公式計(jì)算該類橋型的基頻更加準(zhǔn)確。

6結(jié)論

（1）本文推導(dǎo)的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡(jiǎn)支箱梁彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式的計(jì)算值與已建實(shí)橋的實(shí)測(cè)值和ANSYS三維有限元值吻合良好，從而驗(yàn)證了彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式的可靠性。

（2）波形鋼腹板的剪切模量是否修正、箱梁的剪力滯以及兩者的耦合效應(yīng)對(duì)彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響很小，在實(shí)際計(jì)算中可以忽略不計(jì)。波形鋼腹板的剪切變形效應(yīng)對(duì)彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響較大，第4階頻率的誤差已經(jīng)達(dá)到了52.38%，在實(shí)際計(jì)算中必須考慮波形鋼腹板的剪切變形效應(yīng)。

（3）當(dāng)n（頻率階數(shù)）值一定時(shí)，修正系數(shù)βn隨著高跨比的增大而減小，說(shuō)明高跨比增大，波形鋼腹板的剪切變形、箱梁的剪力滯效應(yīng)以及其兩者的耦合效應(yīng)對(duì)彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響將會(huì)減弱;當(dāng)高跨比h/l一定時(shí)，修正系數(shù)βn將隨n值的增大而減小，說(shuō)明波形鋼腹板的剪切變形、箱梁的剪力滯效應(yīng)以及其兩者的耦合效應(yīng)對(duì)彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響將隨頻率階數(shù)的升高而不斷減小。

（4）鋼底板的厚度對(duì)其基頻的影響較大，隨著彎曲豎向振動(dòng)頻率階數(shù)的升高，鋼底板的厚度增加對(duì)彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響程度依次減弱。