冀偉 羅奎 馬萬良 王明宏

摘要：為計算和分析波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的純彎曲豎向振動頻率，在綜合考慮剪切剪滯雙重效應的基礎上，運用Hamilton原理和能量變分法推導出波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁純彎曲豎向振動的控制微分方程和自然邊界條件。根據自然邊界條件，求解得出考慮剪切剪滯雙重效應影響的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁純彎曲豎向振動頻率的計算公式。純彎曲豎向振動頻率計算公式的可靠性得到了已建實橋的頻率實測值和ANSYS空間有限元值的驗證。最后對波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁純彎曲豎向振動頻率的影響因素進行了分析。研究結果表明：隨著高跨比的增大，波形鋼腹板的剪切變形、箱梁的剪力滯效應以及其兩者的耦合變形對純彎曲豎向振動頻率的影響程度依次減弱;波形鋼腹板的剪切變形對純彎曲豎向振動頻率的影響較大，第4階純彎曲豎向振動頻率的誤差已經達到了52.38%，在實際工程計算中必須考慮其波形鋼腹板的剪切變形效應。

關鍵詞：箱梁橋;波形鋼腹板;動力特性試驗;剪切變形;剪力滯效應

中圖分類號：U448.21⁺3;U441⁺.3文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）05-1053-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.05.020

1概述

自20世紀70年代，法國學者PierreThivans提出用可沿橋梁縱向伸縮的波形鋼腹板替代傳統(tǒng)的混凝土腹板，由此出現(xiàn)了波形鋼腹板組合箱梁。國內學者為進一步降低波形鋼腹板組合箱梁的自重，解決箱梁的混凝土底板易開裂的缺陷，對波形鋼腹板組合箱梁進行優(yōu)化，提出了波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合箱梁，其中波形鋼腹板一鋼底板的構造如圖1所示。

目前，國外學者對波形鋼腹板的研究較多，研究成果主要集中靜力學方面。國內的學者針對波形鋼腹板組合箱梁的動力特性也做了許多的研究工作：張永健等運用能量變分法推導了波形鋼腹板組合箱梁橋的振動頻率解析公式，并用模型試驗梁進行了驗證;鄭尚敏等研究了體外預應力對波形鋼腹板組合箱梁自振頻率的影響，研究表明體外預應力對自振頻率的影響可以忽略不計;陳水生等研究了結構參數(shù)對單箱多室波形鋼腹板組合箱梁動力特性的影響;劉保東等根據其動力特性的特點制定試驗方案，對其動力特性進行了實測;李宏江等通過文獻調研和實橋調查，介紹了波形鋼腹板組合箱梁的自振特性及動力響應研究的最新進展;任紅偉等推導了波形鋼腹板梁橋扭轉振動頻率的解析公式;李杰等研究了體外束對波形鋼腹板簡支梁自振頻率的影響;冀偉等對波形鋼腹板組合箱梁橋的振動頻率進行了試驗研究。

文獻調查發(fā)現(xiàn)，國內外學者還未展開對波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合箱梁動力特性的研究。因此，筆者運用能量變分原理和Hamilton原理，推導出波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁純彎曲豎向振動頻率的計算公式，最后對純彎曲豎向振動頻率的影響因素進行了分析，所得結論可為今后該類橋型的設計提供一定的參考依據。

2彎曲豎向振動方程的建立

2.1能量變分法的基本假定

（1）橋梁結構在彈性范圍內工作，波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁符合“擬平截面假定”;

（2）波形鋼腹板承擔全部剪力，計算應變能時只考慮其剪切應變能;

（3）不考慮波形鋼腹板和混凝土頂板連接處的層問滑移;

（4）忽略波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的扭轉變形和普通鋼筋的影響。

波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的橫截面如圖2所示，b和ζb分別表示混凝土頂板箱中部分長度的一半和懸臂部分的長度，hu和hb分別表示箱梁形心軸到混凝土頂板和鋼底板形心軸的距離。

3動力特性測試與有限元模型的建立

3.1動力特性測試

選取甘肅省蘭州市景中高速機場連接線的主匝道橋進行了動力特性實測，該橋為中國正在建設的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合箱梁，被交通運輸部列為全國首批9座鋼結構橋梁典型示范項目之一。計算跨徑為29.22m，采用4箱單室的截面形式，單箱截面的具體尺寸如圖4所示。箱梁混凝土頂板的彈性模量為3.5×10⁴MPa，泊松比為0.20，混凝土的密度為2.5×10³kg/m³。波形鋼腹板為1200型，波高為20cm，波形鋼腹板和鋼底板的厚度分別為1cm和1.6cm，鋼材的彈性模量為2.1×10⁵MPa，泊松比為0.30，鋼材密度為7.8×10³kg/m³。在鋼底板上設置兩道縱向的加勁肋，高度為18cm，箱內每隔4.8m設置一道橫隔板。

為了驗證所推導的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁純彎曲豎向振動頻率計算公式的正確性，在沒有進行橋面鋪裝之前，采用脈動法對景中高速機場連接線主匝道橋的彎曲豎向振動頻率和振型進行了測試，如圖5所示。在橋梁的1/4跨、跨中以及3/4跨的橋梁中心線處和兩側對稱放置9個豎向拾振器，拾振器的布置圖如圖6所示，采樣頻率為256Hz。

通過脈動試驗測得的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的功率譜圖如圖7所示，將脈動試驗的實測信號輸入東方所的INV3060S型24位信號測試分析系統(tǒng)軟件進行分析，識別出各階彎曲豎向振動頻率和振型，本試驗主要測得了在建實橋的前3階彎曲豎向振動頻率和振型。

3.2波形鋼腹板-鋼底板-混凝土頂板組合簡支箱梁有限元模型的建立

運用ANSYS 18.0空間有限元軟件建立了景中高速機場連接線的主匝道高架橋的三維模型。根據波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的特殊構造，采用SOLID 45實體單元和SHELL 63殼單元兩種單元對三維模型進行模擬。波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的混凝土頂板為鋼筋混凝土結構，采用SOLID 45實體單元進行模擬，采用SHELL 63殼單元對波形鋼腹板、橫隔板以及鋼底板進行模擬。

波形鋼腹板的殼單元與簡支箱梁混凝土頂板的實體單元以及鋼底板的殼單元，在連接處整排節(jié)點共用結點，波形鋼腹板的殼單元與混凝土頂板的實體單元連接處，以波形鋼腹板殼單元的1排節(jié)點為主節(jié)點，以體單元的節(jié)點為從節(jié)點，根據主從節(jié)點的自由度建立約束方程，形成剛性連接。波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁三維模型的邊界條件為：左端為固定鉸支座，即對簡支箱梁左端鋼箱最底下的1排節(jié)點的豎向、縱向以及橫向位移進行約束;右端為活動鉸支座，即對簡支箱梁右端鋼箱最底下的1排節(jié)點的豎向和橫向位移進行約束。AN-SYS有限元模型一共211512個單元，其中SOLID45實體單元58752個，SHELL 63殼單元152760個。建立好的景中高速機場連接線的主匝道高架橋三維有限元模型如圖8所示。

4對比驗證

4.1不同方法計算的彎曲豎向振動頻率比較

將本文所推導的彎曲豎向振動頻率求解公式的計算值與已建實橋的實測值和ANSYS三維有限元值進行比較，其對比結果如表1所示。

從表1中可以看出：本文所推導的彎曲豎向振動頻率求解公式的計算值、ANSYS三維有限元值以及已建實橋的實測值吻合良好，證實了筆者所推導的彎曲豎向振動頻率求解公式的正確性。

4.2不同理論公式計算的彎曲豎向振動頻率比較

把景中高速機場連接線的主匝道高架橋的彎曲豎向振動頻率分別按照筆者所推導的計算公式、歐拉梁和鐵木辛柯梁理論計算前6階彎曲豎向振動頻率值，并進行對比分析，如圖9所示。

從圖9可以看出，按歐拉梁計算的彎曲豎向振動頻率值與筆者所推導的彎曲豎向振動頻率公式的計算值差別較大，2階彎曲豎向振動頻率的差值已經達到了23.21%，產生這種現(xiàn)象的原因是本文推導彎曲豎向振動頻率計算公式時考慮了剪切剪滯雙重效應，歐拉梁并未考慮剪切剪滯雙重效應，剪切剪滯雙重效應會降低波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的抗彎剛度。按鐵木辛柯梁理論計算的彎曲豎向振動頻率值與筆者所推公式的計算值差別不是很大，且前6階彎曲豎向振動頻率的差值在1.79%以內。

4.3不同混凝土底板厚度計算的彎曲豎向振動頻率比較

把景中高速機場連接線的主匝道高架橋的鋼底板改為混凝土底板，分別將其混凝土底板的厚度取為160，180，200，220和240mm，用本文所推導的彎曲豎向振動頻率求解公式計算其彎曲豎向振動頻率值，討論其彎曲豎向振動頻率值與混凝土底板厚度的關系。根據本文計算公式采用MATLAB自編程序計算不同混凝土底板厚度下的彎曲豎向振動頻率值，如表2所示。

從表2可以看出，將波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的鋼底板換成混凝土底板后，采用本文推導的公式計算的彎曲豎向振動頻率值均比箱梁底板為鋼底板時的計算結果要小，說明如果保持其他的幾何參數(shù)不變，僅將鋼底板換成混凝土底板，箱梁的抗彎剛度與單位長度的質量比反而有所降低。

5彎曲豎向振動頻率的影響因素分析

5.1波形鋼腹板剪切模量是否修正對彎曲豎向振

動頻率的影響

運用本文所推導的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的彎曲豎向振動頻率求解公式，從是否考慮剪切模量的修正系數(shù)分別計算出該橋型彎曲豎向振動的頻率值，計算結果如表3所示，兩者的差值記為η1。

從表3可以看出，波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的彎曲豎向振動頻率與波形鋼腹板的剪切模量是否修正關系不大，前4階彎曲豎向振動頻率的差值在3.06%以內，且兩者的差值隨著頻率階數(shù)的升高而出現(xiàn)一種增大的趨勢，且增長趨勢緩慢。

5.2波形鋼腹板剪切變形對彎曲豎向振動頻率的影響

只考慮彎曲豎向振動頻率求解公式里面波形鋼腹板的剪切變形項的計算值與本文公式計算值進行對比，對比結果如表4所示，兩者的差值記為η2。

從表4可以看出，波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的彎曲豎向振動頻率受波形鋼腹板的剪切變形效應影響較大，第4階彎曲豎向振動頻率的差值已經達到了52.38%，且兩者的差值隨著頻率階數(shù)的升高而急劇增大。因此，在計算該類橋型的彎曲豎向振動頻率時波形鋼腹板的剪切變形效應不可忽略。

5.3箱梁的剪力滯及其耦合效應對彎曲豎向振動頻率的影響

只考慮彎曲豎向振動頻率求解公式里面的箱梁的剪力滯及其耦合效應項的計算值，并與本文公式計算值進行對比，對比結果如表5所示，兩者的差值記為η3。

從表5可以看出，波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的彎曲豎向振動頻率受箱梁剪力滯及其耦合效應的影響很小，前4階頻率的差值在4.42%以內，且兩者的差值隨著頻率階數(shù)的升高而出現(xiàn)一種增大的趨勢，增長趨勢較平緩。

5.4高跨比對修正系數(shù)βn的影響

為分析波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁在不同高跨比下的彎曲豎向振動頻率，采用MATLAB自編程序計算出該橋型在波形鋼腹板的剪切變形效應、箱梁的剪力滯效應以及其兩者耦合作用下的彎曲豎向振動頻率修正系數(shù)βn，其修正系數(shù)和高跨比的關系曲線如圖10所示。

從圖10可以看出：①當n（頻率階數(shù)）值一定時，修正系數(shù)βn隨著高跨比的增大而減小，說明高跨比增大，波形鋼腹板的剪切變形、箱梁的剪力滯效應以及其兩者的耦合效應對彎曲豎向振動頻率的影響將會減弱;②當高跨比h/l一定時，修正系數(shù)βn將隨n值的增大而減小，說明鋼腹板的剪切變形、箱梁的剪力滯效應以及其兩者的耦合效應對彎曲豎向振動頻率的影響將隨頻率階數(shù)的升高而不斷減小。

5.5鋼底板厚度對彎曲豎向振動頻率的影響

假定波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的截面高度、混凝土頂板厚度、波形鋼腹板厚度以及橫隔板的厚度和數(shù)量保持不變，僅僅改變其鋼底板的厚度。分別將其鋼底板的厚度取為15，16（實橋尺寸），20，25和30mm，用本文所推導的該橋型的彎曲豎向振動頻率求解公式計算其彎曲豎向振動頻率值，討論其彎曲豎向振動頻率值與鋼底板厚度的關系。根據本文計算公式采用MATLAB自編程序計算不同鋼底板厚度下的彎曲豎向振動頻率值，如圖11所示。

從圖11可以看出，鋼底板的厚度對其基頻的影響較大，鋼底板的厚度從15mm增加到20mm，20mm增加到30mm，25mm增加到30mm，豎向基頻依次增大9.65%，6.83%，5.05%，隨著彎曲豎向振動頻率階數(shù)的升高，鋼底板的厚度改變對其彎曲豎向振動頻率的影響程度依次減弱。

5.6基頻與現(xiàn)行規(guī)范進行對比

2015年出版的《公路橋涵設計通用規(guī)范》（JTG D60-2015）第4.3.2條給出了簡支梁橋基頻的估算公式

采用式（33）對波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的基頻進行了計算，并將計算結果與本文公式所得基頻進行比較，對比結果如表6所示。

從表6中可以看出，采用文獻[16]中的基頻公式計算所得值比本文推導的公式計算的基頻值大6.30%。表明采用本文所推導的公式計算該類橋型的基頻更加準確。

6結論

（1）本文推導的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁彎曲豎向振動頻率求解公式的計算值與已建實橋的實測值和ANSYS三維有限元值吻合良好，從而驗證了彎曲豎向振動頻率求解公式的可靠性。

（2）波形鋼腹板的剪切模量是否修正、箱梁的剪力滯以及兩者的耦合效應對彎曲豎向振動頻率的影響很小，在實際計算中可以忽略不計。波形鋼腹板的剪切變形效應對彎曲豎向振動頻率的影響較大，第4階頻率的誤差已經達到了52.38%，在實際計算中必須考慮波形鋼腹板的剪切變形效應。

（3）當n（頻率階數(shù)）值一定時，修正系數(shù)βn隨著高跨比的增大而減小，說明高跨比增大，波形鋼腹板的剪切變形、箱梁的剪力滯效應以及其兩者的耦合效應對彎曲豎向振動頻率的影響將會減弱;當高跨比h/l一定時，修正系數(shù)βn將隨n值的增大而減小，說明波形鋼腹板的剪切變形、箱梁的剪力滯效應以及其兩者的耦合效應對彎曲豎向振動頻率的影響將隨頻率階數(shù)的升高而不斷減小。

（4）鋼底板的厚度對其基頻的影響較大，隨著彎曲豎向振動頻率階數(shù)的升高，鋼底板的厚度增加對彎曲豎向振動頻率的影響程度依次減弱。