摘要 數(shù)學(xué)開放題是時(shí)代發(fā)展的產(chǎn)物。本文首先介紹數(shù)學(xué)開放題的起源，闡述數(shù)學(xué)開放題在中國的發(fā)展歷程;之后描述數(shù)學(xué)開放題的教育價(jià)值;最后從命題要素角度研究中考中的數(shù)學(xué)開放題，分析了開放題的特征和解題思路，為豐富和發(fā)展數(shù)學(xué)開放題提供參考。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)開放題 創(chuàng)造思維 創(chuàng)新精神

數(shù)學(xué)開放題是日本學(xué)者最早提出的一種題型，英文名是“Open-Ended Problems”。如果數(shù)學(xué)題是一個(gè)系統(tǒng){y，o，p，z}，y代表問題的條件、o代表問題的依據(jù)、p代表解決問題的策略、z代表問題的結(jié)論，在這四個(gè)元素中若有三個(gè)元素是未知的題稱為問題性題、有兩元素是未知的題稱為探索性題，那么問題性題與探索性題統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)開放題。近年來，我國在結(jié)合“四基”“四能”和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)中，設(shè)計(jì)了許多數(shù)學(xué)開放題。

一、數(shù)學(xué)開放題的起源

1971年以日本島田茂為首的學(xué)者群體，首先共同探究了“開放式結(jié)尾（open-ended）問題”。1977年該專家組在研究報(bào)告《算術(shù)·數(shù)學(xué)課的開放式問題——改善教學(xué)的新方案》中第一次采用“數(shù)學(xué)開放題”這個(gè)概念，并推介“數(shù)學(xué)開放教學(xué)方法”。1980年第四屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)在美國伯克利召開，美國參會(huì)數(shù)學(xué)教育專家在大會(huì)討論中慎重宣布20世紀(jì)80年代中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是“問題解決”。自此，數(shù)學(xué)教育中的“問題解決”日益受到人們重視，而在“問題解決”教學(xué)中以數(shù)學(xué)開放題為載體，被廣泛應(yīng)用在美國的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。1998年第一屆東亞國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)在韓國首爾舉行，倡議借鑒開放題創(chuàng)建新的教學(xué)方式，幫助提高學(xué)生的創(chuàng)新能力與培養(yǎng)學(xué)生的主體精神。

1980年日本學(xué)者澤田利夫在《外國教育》發(fā)表了論文《從“未完結(jié)問題”提出的算術(shù)·數(shù)學(xué)課的教學(xué)的方案》，這是第一篇涉及數(shù)學(xué)開放題的文章出現(xiàn)在我國期刊上。1984年浙江教育學(xué)院的戴再平老師在三所學(xué)校測試數(shù)學(xué)開放題，結(jié)果表明數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的簡單累積和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維沒有必然的聯(lián)系[1]。1988年王慧斌老師在《外國教育資料》發(fā)表了《數(shù)學(xué)教學(xué)的新方法——開智法簡介》、王凝老師在《課程·教材·教法》發(fā)表了《中小學(xué)數(shù)學(xué)的開放性教學(xué)評(píng)介》。1990年胡林瑞老師對(duì)初中和高中學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)開放題的比較教學(xué)實(shí)驗(yàn)。1993年戴再平老師又在浙江省的五所中學(xué)實(shí)施數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)實(shí)驗(yàn)。1996年全國教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題《開放題——數(shù)學(xué)教學(xué)的新模式》正式立項(xiàng)。開放題方法不唯一、答案多樣化，能夠發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造思維、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，這與1999年我國提出實(shí)施的新一輪基礎(chǔ)教育課程改革理念一致，極大地推動(dòng)了新課改。

二、數(shù)學(xué)開放題的價(jià)值

1.有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心

數(shù)學(xué)開放題教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決過程，學(xué)生感到自己是一個(gè)探索者，能夠激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。由于無參考解決模式，探究過程多側(cè)面，結(jié)果不唯一，所以學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在研究中實(shí)現(xiàn)了重建，同時(shí)學(xué)生探究問題更接近思維的最近發(fā)展區(qū)，能促進(jìn)更深入的思考。在寬松的學(xué)習(xí)環(huán)境里，點(diǎn)滴進(jìn)步使學(xué)生不斷累積成功的喜悅，內(nèi)心深處將逐漸增強(qiáng)信心，對(duì)學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)與發(fā)展產(chǎn)生了積極的影響。教師的適時(shí)引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生大膽質(zhì)疑、猜測，學(xué)生的被動(dòng)地位徹底顛覆，學(xué)生的主體性得到了完全的展示，從而培養(yǎng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

2.有利于提高學(xué)生的探究能力

數(shù)學(xué)開放題教學(xué)能做到知識(shí)縱橫貫通，思維或發(fā)散或收斂，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效方式。在教學(xué)中，既有原始的感性思維，也有抽象的理性思維，更重要的是發(fā)展了批判思維。有了批判思維，在學(xué)習(xí)中學(xué)生能夠自覺地思考一切可能的情況，不斷探索，不斷否定，去偽存真，就能獲得獨(dú)特的解決問題方案。同時(shí)在問題解決中能夠再引出新問題，得出更一般的結(jié)論。數(shù)學(xué)開放題教學(xué)提供了學(xué)生交流、共享智慧的合作平臺(tái)，使知識(shí)的接受過程變?yōu)橹R(shí)的共生共長過程。在這種學(xué)習(xí)氛圍中，實(shí)現(xiàn)了各種思想的碰撞，這是增強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)造力、提高學(xué)生探究能力的重要途徑[2]。

3.有利于促進(jìn)學(xué)生形成創(chuàng)新意識(shí)

創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是國家發(fā)展的不竭動(dòng)力。數(shù)學(xué)開放題教學(xué)不完全告訴學(xué)生問題的條件、結(jié)論或方法，要求學(xué)生借鑒多種方式如觀察、猜想、分析、歸納、論證等，自己得出條件、結(jié)論或方法。數(shù)學(xué)開放題教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度掌握、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，主動(dòng)搭建知識(shí)之間的網(wǎng)絡(luò)關(guān)系，這樣在面對(duì)復(fù)雜問題時(shí)更容易激活數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)開放題激發(fā)了學(xué)生的求知欲，發(fā)展了學(xué)生的發(fā)散性思維，從而形成了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。開放題教學(xué)還要求根據(jù)已解決、未解決的問題，再提出新問題，對(duì)新問題的進(jìn)一步探索，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神。

三、數(shù)學(xué)開放題的類型及運(yùn)用

根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)的差異，數(shù)學(xué)開放題有不同的類型。從命題要素角度，可以分為條件開放型、結(jié)論開放型、方法開放型、綜合型。從內(nèi)容角度，可以分為數(shù)與式開放題、函數(shù)開放題、幾何開放題、綜合性開放題。不管如何分類，數(shù)學(xué)開放題都有顯著的特征，如條件的不完備性、過程的探究性、解決的層次性、思維的發(fā)散性等。

2000年教育部發(fā)布《關(guān)于初中畢業(yè)、升學(xué)考試改革的指導(dǎo)意見》，指出編制數(shù)學(xué)試題要求有“開放性問題”，于是開放題在各地中考中成為必考試題[3]?，F(xiàn)在從命題要素角度以近幾年中考數(shù)學(xué)開放題為例，分析各類開放題的特征及解題思路。

1.條件開放型

確定問題結(jié)論，讓學(xué)生分析要推出此結(jié)論成立需要滿足的條件，而結(jié)論成立的條件又有多種，此類題是條件開放型試題，這類開放題多以填空題形式出現(xiàn)。

例1 已知四邊形ABCD是平行四邊形，若點(diǎn)E在邊BC上、點(diǎn)F在邊AD上，連接AE、CF，請(qǐng)從三個(gè)備選條件中，選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)臈l件，使四邊形AECF是平行四邊形，并予以證明，備選條件：AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD。選擇添加的條件是：__________。

分析：首先根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，還有AF∥CE，要使四邊形AECF是平行四邊形，探索還需要添加一個(gè)給定的條件。結(jié)合顯性和隱性條件，然后分三種情況討論能否推理出四邊形AECF是平行四邊形。

點(diǎn)評(píng)：本題利用了分析綜合等數(shù)學(xué)思想方法，能夠提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力[4]。

解條件開放型題的一般思路是：從已知結(jié)論開始，執(zhí)果索因，探尋條件，不斷篩選，最終得到符合要求的條件，這是一種分析型思維方式。

2.結(jié)論開放型

給出問題的條件，讓學(xué)生根據(jù)條件研究可能推出的所有結(jié)論，并且可能的結(jié)論是多樣的，此類題是結(jié)論開放型，這類開放題多是解答題。

例2 如圖1，直線AC∥BD，連接AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接PA，PB構(gòu)成∠PAC，∠APB，∠PBD三個(gè)角。

（I）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD;

（II）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？

（III）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③部分時(shí)，全面探究∠APB，∠PAC，∠PBD之間的關(guān)系，并寫出動(dòng)點(diǎn)的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論，選擇其中一種結(jié)論加以證明。

分析：要確定給定的三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，顯然要根據(jù)平行的性質(zhì)先找出其中任意兩個(gè)角或部分角的數(shù)量關(guān)系，再通過純粹數(shù)學(xué)運(yùn)算確定這三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系。可以直接利用已有的平行關(guān)系，也可以再構(gòu)造平行分割角去解決。問題（I）和（II）比較簡單，為后面的問題奠定了基礎(chǔ)。關(guān)鍵是問題（III），要先確定一個(gè)討論標(biāo)準(zhǔn)，保證能夠涉及所有情況，既不重復(fù)，也不遺漏，如圖2。

點(diǎn)評(píng)：本題利用了類比歸納等數(shù)學(xué)思想方法，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，提高學(xué)生的抽象概括能力。

解結(jié)論開放型題的一般思路是：觀察、分類、歸納，全面研究各種可能情況，最后再論證給出判斷，屬于類比歸納型思維方式。

3.方法開放型

思維方式與解決辦法不唯一，此類題是方法開放型，這類開放題一般出現(xiàn)在閱讀題中。

例3請(qǐng)你創(chuàng)作一個(gè)故事情境，故事中出現(xiàn)的一對(duì)變量x、y滿足圖3的關(guān)系，要求：

（I）說明變量x和y的含義;

（II）根據(jù)圖3中的數(shù)據(jù)描述這對(duì)變量變化過程的實(shí)際意義，需要涉及“速度”這個(gè)量。

分析：首先觀察圖象，通過數(shù)據(jù)分析，可以得到整個(gè)過程分三階段。第一階段y隨x均勻增加，第二階段y穩(wěn)定不變，第三階段y隨x均勻減少。然后結(jié)合實(shí)際問題給出變量x和y的含義。最后由于要涉及“速度”這個(gè)量，充分直觀想象只要準(zhǔn)確描述時(shí)間及路程的變化關(guān)系即可。

點(diǎn)評(píng)：本題利用了數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法。對(duì)于此類問題，要求學(xué)生思維敏捷，敘述要準(zhǔn)確，符合生活現(xiàn)實(shí)。

解方法開放型題的一般思路是：理解題意，分析、想象和選擇，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，使數(shù)學(xué)模型合理化和最優(yōu)化，這是一種發(fā)散型思維方式。

4.綜合型

條件、結(jié)論、方法中至少有兩項(xiàng)不確定，需要學(xué)生根據(jù)給定的信息，按照題目具體要求進(jìn)行解答，此類題是綜合型。這類問題往往僅提供較少的條件，需要完善條件，設(shè)計(jì)結(jié)論，并要求論證。

例4如圖4，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，點(diǎn)A、B、C、D在同一直線上，有三個(gè)關(guān)系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF。

（I）請(qǐng)用其中兩個(gè)關(guān)系式作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的所有命題;

（II）選擇（I）中你寫出的一個(gè)命題，說明它正確的理由。

分析：要分類討論。如果①②，那么③，命題成立;如果①③，那么②，命題成立;如果②和③，那么①，是假命題。

點(diǎn)評(píng)：此題利用了分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯性這一重要特征。

解綜合型題的一般思路是：掌握關(guān)鍵點(diǎn)，積極發(fā)散思維，不斷優(yōu)化思路和方法，這是一種綜合型思維方式。

簡單的題型和單一的測試目標(biāo)約束了學(xué)生的思維，阻礙了學(xué)生的發(fā)展，開放題是時(shí)代發(fā)展的產(chǎn)物。解數(shù)學(xué)開放題時(shí)，要進(jìn)行觀察、分類、抽象、歸納，猜測條件、結(jié)論或方法，再推理論證，得到結(jié)果;要運(yùn)用分析綜合、數(shù)形結(jié)合、分類討論、數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)思想方法[5]。數(shù)學(xué)開放題作為具有時(shí)代特征的新題型，它代表著一種新的教學(xué)發(fā)展方向，可以發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造思維、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、養(yǎng)成學(xué)生的創(chuàng)新精神。

參考文獻(xiàn)

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[5] 張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育學(xué)概論[M].北京：高等教育出版社，2016.【責(zé)任編輯? 郭振玲】