王科崢

一、策略性知識典型錯(cuò)題的原因分析

典型錯(cuò)題是指學(xué)生解數(shù)學(xué)題時(shí)，在口答、書面等練習(xí)中呈現(xiàn)出的錯(cuò)誤率較高的數(shù)學(xué)題。如果錯(cuò)題的知識屬性是屬于策略性知識，筆者把這樣的錯(cuò)題定義為策略性典型錯(cuò)題。

1.受身心發(fā)展制約，未發(fā)現(xiàn)新舊情境中的結(jié)構(gòu)性細(xì)微差異導(dǎo)致錯(cuò)誤。

案例一：我的前面有9 人，后面有5 人，一共有多少人？學(xué)生的錯(cuò)誤解答：9+15=14，錯(cuò)誤率為57.7%。

對學(xué)生的訪談：

生：因?yàn)槭乔蟆耙还灿卸嗌偃?？”前面? 人，后面有5 人，就是9+5=14（人）。

師：你認(rèn)為這樣做對嗎？

生：對的呀。

師：前面9 人包括他嗎？后面呢？

生：不包括。

師：那說明9+5=14（人）是錯(cuò)的。錯(cuò)在哪里呢？

生：沒有把自己加進(jìn)去。

從訪談中看，對于9+5=14這種解題策略，學(xué)生本人還是堅(jiān)持自己是正確的。說明學(xué)生對求“部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)=總數(shù)”這個(gè)陳述性知識是掌握的，但為何還錯(cuò)呢？原因在于題中有三個(gè)部分?jǐn)?shù)，而“我”這個(gè)部分?jǐn)?shù)比其他兩個(gè)部分?jǐn)?shù)更具有“隱性”因素，學(xué)生未能發(fā)現(xiàn)“新”的變化。還是堅(jiān)持用原有的思路：總數(shù)=部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)，這是出錯(cuò)的主因。

2.由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的缺陷，導(dǎo)致解題策略的錯(cuò)誤推廣。

案例二：A 盒中有25 個(gè)玻璃球，B 盒中的玻璃球個(gè)數(shù)比A 多15 個(gè)，B 盒中的玻璃球個(gè)數(shù)比C盒多18 個(gè)？B 盒中有多少個(gè)？C盒中有多少個(gè)？學(xué)生的錯(cuò)解出現(xiàn)在求C 盒：40+18=58（個(gè)），錯(cuò)誤率為34.3%。

對學(xué)生的訪談：

生：B 盒中的玻璃球個(gè)數(shù)比A 多。

師：（指著“多”）你是看到多，就想到了什么？

生：加法。

師：老師教你們的時(shí)候是這樣教的嗎？

生：（笑笑）不是，老師說什么大數(shù)、小數(shù)的。

師：那你為什么不用老師的方法呢？

生：太麻煩了。

分析一個(gè)量比另一個(gè)量多（少），需要分析出大數(shù)、小數(shù)、相差數(shù)，然后找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系即：大數(shù)＝小數(shù)＋相差數(shù)，小數(shù)＝大數(shù)－相差數(shù)，相差數(shù)＝大數(shù)－小數(shù)。

3.學(xué)生對認(rèn)識和解題中的一些特殊要求存在困難，導(dǎo)致解題策略的錯(cuò)誤。

案例三：從一張長36 厘米，寬20 厘米的長方形紙上剪下一個(gè)最大的正方形，求剩下部分圖形的周長是多少？學(xué)生錯(cuò)解如下：

學(xué)生訪談：

師：你怎么會這樣做?

生：我先算長方形周長，再算正方形周長，最后把兩個(gè)相減。

師：是嗎？你是怎么想到可減的呢？

生：剩下的周長啊。

“求剩下的量，用減法?！边@是學(xué)生已多次應(yīng)用，并且驗(yàn)證正確的觀念。而由于周長計(jì)算具有特殊性即“有限圖形周長的不可加（減）性”。對于這個(gè)知識的認(rèn)識，完全顛覆了學(xué)生對求“剩下量”的認(rèn)識。

4.由于概念圖式不夠豐富，缺乏聯(lián)系，導(dǎo)致解決應(yīng)用策略的錯(cuò)誤。

案例四：根據(jù)圖形，畫出距離是8 厘米的高。

學(xué)生訪談：

師：你是怎么想的呢？

生：題目里只說畫8 厘米的高，沒有說要畫在哪條底上，我就按自己的習(xí)慣畫了這一條。

師：畫好后，你想過這條高可能是8 厘米嗎？

生：（低頭想了好一會兒）不對，應(yīng)該是斜邊長一點(diǎn)。

師：好厲害哦，能夠想到這一點(diǎn)。你當(dāng)時(shí)怎么沒去想呢？

生：（指了指左邊的三角形）我畫出來后，就認(rèn)為對了，再也沒去想了。

從學(xué)生的訪談中看，解決此題的三個(gè)知識點(diǎn)，即直角三角形的斜邊大于任何一條直角邊、畫高的技能、平行四邊形有兩類高，學(xué)生都是明白的。

二、策略性知識典型錯(cuò)題在教學(xué)中的應(yīng)用策略

對于策略性典型錯(cuò)題的教學(xué)，如何進(jìn)行優(yōu)化？我從以下兩個(gè)方面入手。其一，鋪墊性策略，做好鋪墊，預(yù)防出錯(cuò)，提高正確率；其二，過程性策略，在教學(xué)推進(jìn)中，找準(zhǔn)容易出錯(cuò)的地方，突破難點(diǎn)；其三，練習(xí)反思性策略后期跟進(jìn)，分析錯(cuò)因，糾正錯(cuò)誤。

1.鋪墊性策略。

有些錯(cuò)誤是學(xué)生在新知識學(xué)習(xí)前，由于原有的知識結(jié)構(gòu)“缺陷”、技能缺失等因素引起思考的錯(cuò)誤，就要采用提前鋪墊，為學(xué)生奠定“正確想”的知識技能基礎(chǔ)。

（1）加強(qiáng)陳述性知識和程序性知識的教學(xué)，夯實(shí)“正確想”的知識基礎(chǔ)。

在策略性知識的了解階段,陳述性知識顯得尤為重要。在轉(zhuǎn)化階段, 程序性知識又起到了重要的作用。要注重在操作程序中夯實(shí)陳述性知識概念。

如案例二是因?yàn)閷W(xué)生原有認(rèn)知里知識結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，即看到“多”就用“加”，看到“少”就用“減”。所以我們應(yīng)該在新知教學(xué)前做好鋪墊。

首先建立正確的概念。題中的“多、少”與“加、減”運(yùn)算沒有直接的邏輯推理關(guān)系。

本文實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Linux操作系統(tǒng)，搭建了一主四從的小型分布式集群，各節(jié)點(diǎn)虛擬機(jī)處理器配置為Intel Xeon CPU E5-2650 v2，內(nèi)存 4GB，軟件為Hadoop-2.6.0版本。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用從UCI機(jī)器學(xué)習(xí)庫中選取的美國1990年的人口普查數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)集的維度為68，共有2458285條數(shù)據(jù)，通過人工處理，將數(shù)據(jù)集抽樣為6個(gè)大小不同的數(shù)據(jù)集，使得每個(gè)數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)量以接近2倍大小的速度增長。

其次建立正確的程序。第一步，知道（ ）與（ ）比；第二步，比的結(jié)果（ ）多、（ ）少；第三步，求（ ）；第四步，確定解決方法。

（2）加強(qiáng)“數(shù)學(xué)表示”直觀能力培養(yǎng)，奠定“怎么想”的基礎(chǔ)。

小學(xué)生正處于由形象具體思維向抽象邏輯思維的過渡階段，在問題解決中思維需要直觀的“數(shù)學(xué)表示”來支撐思考。這種能力要從低年級開始培養(yǎng)。具體有三個(gè)方面：首先，培養(yǎng)圖示與文字的轉(zhuǎn)化能力；其次，培養(yǎng)“符號”表示的能力；最后，重視圖示與條件間匹配的能力。

2.“過程性”干預(yù)策略。

所謂“過程性”干預(yù)策略，即在新知識學(xué)習(xí)的發(fā)生、發(fā)展的過程中，針對新知識的特點(diǎn)，找到學(xué)生思維可能出現(xiàn)障礙、阻隔的地方，引入相應(yīng)的干預(yù)策略，突破難點(diǎn)，使學(xué)生頭腦中構(gòu)建起“怎么想”的正確思路和方法。

（1）用題組對比顯示新舊知識概念差異，減少出錯(cuò)。

新舊知識在概念表述、題型結(jié)構(gòu)、思考方法等具有某種相似性，這種相似性掩蓋了其差異，而概念差異可能是學(xué)生思維出現(xiàn)阻隔、障礙的“節(jié)點(diǎn)”。在教學(xué)中破解新舊知識的差異是干預(yù)的重點(diǎn)，其最常用策略是題組對比。

如案例三，學(xué)生受到原有知識經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移而出錯(cuò)，可以提供如下題組。

通過對比，凸顯題①和題②都表示具體量。通過題②和題③的對比，重點(diǎn)突出③中是“率”。

（2）在解決多個(gè)概念融合的綜合題時(shí)需清晰概念，建立解決程序。

一些策略性典型性錯(cuò)題干預(yù)后仍有較高的錯(cuò)誤率。這就需要幫助學(xué)生清晰概念，建立解題的關(guān)鍵程序。

一個(gè)數(shù)省略萬后面的尾數(shù)是8 萬，這個(gè)數(shù)最大是（ ），最小是（ ）。

要解決這個(gè)題目需要抓住三個(gè)關(guān)鍵：

近似數(shù)是一個(gè)區(qū)間，用數(shù)軸的直觀形式幫助理解“區(qū)間”。

要清晰“最大”和“最小”兩個(gè)詞的含義。

要明確清晰可具體操作的程序，就需要配直觀圖示（如上圖）。首先，要判清楚“舍”與“進(jìn)”的數(shù)位；其次，根據(jù)四舍五入中最大與最小排列出數(shù)字；最后，按照題目要求找到最大和最小的數(shù)。

3.錯(cuò)誤產(chǎn)生后的糾錯(cuò)策略。

（1）發(fā)現(xiàn)錯(cuò)因策略。

策略性典型錯(cuò)題的錯(cuò)因與陳述性、程序性知識屬性錯(cuò)題的錯(cuò)因相比，更為復(fù)雜、更為隱性。需要關(guān)注兩點(diǎn)：第一，原來是怎么想的？第二，錯(cuò)在哪兒？

通過“說”、“寫”等方式，認(rèn)識“原來是怎么想的”。

通過正確與錯(cuò)誤的方法對比，認(rèn)識“錯(cuò)在哪兒”。

錯(cuò)誤思維方式往往帶有一定的隱蔽性和頑固性，僅靠教師的正面示范，讓學(xué)生認(rèn)識錯(cuò)誤，改變原來的思維方法，效果會比較差。

（2）矯正錯(cuò)誤策略。

矯正錯(cuò)誤更重要的是矯正錯(cuò)誤的思考方式和思考方法，僅僅靠一個(gè)錯(cuò)誤題目的訂正難以實(shí)現(xiàn)，需要在多種變式練習(xí)中完成。提供非概念變式練習(xí)題，凸顯出變中的不變，及時(shí)鞏固正確的想法。還可以提供概念變式練習(xí)題，在這些變式題的練習(xí)中，凸顯出變與不變的應(yīng)對方式，達(dá)到融會貫通。

提供非概念變式題，及時(shí)鞏固。

提供相同類型的習(xí)題，讓學(xué)生在解決這些習(xí)題中不斷強(qiáng)化正確的思考方式，以此弱化原有的思考方法。在這個(gè)過程中，不是以正確的解答為主要目的，而是要以改變思考方法為主，讓學(xué)生通過寫、畫、說等多種不同的方式來表達(dá)正確的思考方法。要增加與原題目的對比，凸顯出不變的方法。

提供概念變式題，融會貫通。

提供變式習(xí)題，既能鞏固原有正確的思考方法，又能達(dá)到舉一反三、觸類旁通的作用。在這個(gè)過程中也要與原題進(jìn)行對比，凸顯出變化的地方及改變相應(yīng)的思考方法。