王陳亮

【教材與學情分析】

數(shù)形結合思想是一種非常重要的數(shù)學思想，涉及到數(shù)學學習的各個領域。我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休?！睌?shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”等抽象思維與形象思維的結合，使復雜問題簡單化，抽象問題形象化。

《數(shù)與形》是人教版六年級上冊“數(shù)學廣角”中的內容。本課旨在讓學生通過自主探究圖形中隱藏著的數(shù)的規(guī)律，嘗試應用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題，感悟數(shù)與形的廣泛聯(lián)系，同時在利用數(shù)形結合解決問題的過程中感悟數(shù)形結合的數(shù)學思想。

【教學過程】

一、前測導入，梳理回顧

師：同學們，“數(shù)與形”一直伴隨著我們的數(shù)學學習，課前，我們進行了回顧與整理，下面請大家一起來欣賞同學們的作品。

課件依次出示：

出示圖1：

師：從作品中哪里看到了數(shù)與形？

生：在加減計算中，往往用圖來解釋計算的算理。

出示圖2：

師：你看到數(shù)與形了嗎？

生：用線段圖幫助解決行程問題。

出示圖3：

師：這里又用到了哪些數(shù)與形？

生1：用數(shù)字或者算式表示圖形的規(guī)律。

生2：還可以用圖形表示打電話問題中所用時間的規(guī)律。

師：在前面所學習的計算、解決問題、探索規(guī)律等問題中，有時用圖形表示數(shù)的規(guī)律，有時用數(shù)描述圖形的規(guī)律。今天這節(jié)課我們將繼續(xù)研究“數(shù)與形”。

【設計思考：學生對于“數(shù)與形”的知識有著零散的學習經驗，這些經驗又是學習本課知識的重要經驗基礎。在課前安排前測整理學過的“數(shù)與形”的知識，教學中基于學生已有的經驗，通過呈現(xiàn)學生的前測材料，并且分類呈現(xiàn)，更有利于學生從整體上回顧“數(shù)與形”的知識，也有利于學生對本課知識的學習。】

二、活動推進，探究新知

1.設置懸念，激發(fā)探究。

（課件依次出示零散1 個、3個、5 個、7 個小正方形）

師：如果繼續(xù)出示，你猜我會出示幾個小正方形？

生：9 個。

師：剛才一共出示了幾個小正方形？

引出算式：1+3+5+7=16。

出示小精靈的對話：還可以用4×4 或42表示。

師：你知道是為什么嗎？

2.活動一：溝通算式和圖形之間的關系。

活動一：

請你在方格中畫圖表示加法算式，又能用42表示。

（1）用彩筆在方格圖上畫圖表示。

（2）典型展示。

活動一：“1+3+5+7”與“42”

請你在下面的方格中畫圖表示上面的算式，又能用42表示。

師：這幾種畫法各有什么優(yōu)點？你更欣賞哪一種？

生1：我欣賞第2 種，很容易看出依次增加2 個。

生2：我最喜歡第3 種。既能清楚地看出1+3+5+7 個圖形，還能清楚地看出4×4 或者42。

3.研究數(shù)和形的規(guī)律。

（請學生板演用小正方形擺一擺。進一步溝通數(shù)和形之間的關系）

師：如果一層一層往里剝，又能得到哪些正方形？算式如何表示？（借助課件依次出示）

師：觀察下面圖中的數(shù)和形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：加數(shù)越來越多，正方形也越來越大。

生2：有幾個加數(shù)，和就是幾的平方。

師：如果繼續(xù)一層一層地往外包，又會得到哪些正方形？你能想象出來嗎？

思考：如果再包兩層，最外層有幾個正方形？

生：按照順序思考。

師：有沒有不一樣的思考？

（引導學生從層數(shù)與個數(shù)的角度思考，結合統(tǒng)計表進行研究）

4.活動二：層數(shù)、最外層個數(shù)和總數(shù)之間的關系。

交流展示：

依次展示3 份不同層次的作業(yè)。

我想包10 層?！?/p>

我想包100 層?！?/p>

我想包n 層。

師：用算式如何表示呢？

吃過早飯，我就去看二丫，給她帶了碗鍋巴粥。一進門，金寶就把我拉到一邊，紅著眼睛說：“已經水米不進了?！?/p>

生：如果是包n 層，最外層是2n-1 個正方形。算式是：1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n2。

【設計思考：在數(shù)與形的新知探究環(huán)節(jié)如何設計上，我預設過幾種不同的方式，比如出示幾個不同個數(shù)小正方形拼成的大正方形，讓學生用數(shù)表示，或是出示等差數(shù)列的連加算式，讓學生用形去表示，效果都不甚理想，最后在專家的指導下，采取了用懸念引入的方式，激發(fā)學生探究的欲望。新知的展開上，通過預設兩個大活動，讓學生在活動中去探究、去交流、去分享，再引導梳理，既溝通了數(shù)和形之間的關系，同時又基于形的研究拓展了學生的數(shù)學思維，效果較好。】

三、分層練習，拓展思維

1.變式練習。

學生獨立練習，校對反饋。

2.發(fā)散練習。

出示5×5 個小圓點。

師：今天我們從這樣的角度構造，得到了25=1+3+5+7+9 的算式。

師：還能設計其他構造，用不同的式子表示嗎？

經過交流，選擇出正確的算式。

接著教師引導學生進一步思考：剩下的3 道算式該用怎樣的形去表示呢？

繼續(xù)引導思考：

（結合學生的交流，逐步揭示答案）

3.認識“形數(shù)”。

師：上面認識的這些數(shù)都是正方形數(shù)。

4.拓展認識。

三角形數(shù)、五邊形數(shù)、八邊形數(shù)、四面體數(shù)。

介紹畢達哥拉斯的“形數(shù)”。

【設計思考：本課的練習體現(xiàn)了層次性，從基本練習到開放練習，再到拓展練習，滿足不同學生的學習需求。同時體現(xiàn)了練習的整合性，一個5×5 的正方形圖，從不同角度進行挖掘，讓學生感受數(shù)學的美。教學中在充分認識正方形數(shù)后，接著又讓學生認識了三角形數(shù)、五邊形數(shù)……充分展示了數(shù)學的美感?！?/p>

四、課堂小結，暢談體會

出示華羅庚關于“數(shù)與形”的名言（略）。

師：請結合這節(jié)課的學習，談談你的感受。

生：數(shù)用形表示會更加直觀，形用數(shù)去描述會更加入微。

生：利用好數(shù)與形的知識，可以更好地幫助我們解決生活中的數(shù)學問題。

師：（小結）希望同學們今后碰到一個問題時，能從數(shù)和形的角度一起思考。

【設計思考：在課的最后出示我國著名數(shù)學家華羅庚的名言，讓學生暢談收獲和感受。由于有了前面的學習和交流，當問學生在讀了這首小詩后有什么感受時，學生話匣子打開了，侃侃而談，表達得非常精彩！】

【教學反思】

一、前測——為教學導航

《數(shù)與形》一課是人教版教材六年級上冊“數(shù)學廣角”中的內容，雖然是一節(jié)新課的教學內容，但是卻一直伴隨在學生的數(shù)學學習中。在本課教學前，安排了一個前測整理的活動，讓每位學生回憶自己在之前的數(shù)學學習中有關“數(shù)與形”的知識。有了課前的整理復習，為學生后續(xù)新課的學習做好了鋪墊，因此，在本節(jié)課的教學就基于學生的前測展開，從課堂的教學效果來看是非常好的。

二、活動——助推教學深入

本節(jié)課的教學，基于學習活動展開學生的數(shù)學學習，在一節(jié)課中努力設置兩到三個大活動，讓學生在這樣的大活動中理解數(shù)學知識，突出重點，突破難點。比如在課的一開始通過連續(xù)出示小正方形，得到算式：1+3+5+7=16，還可以寫成4×4 或者42，你知道這究竟是為何嗎？引導學生深入思考，同時提供《學習單》讓學生去表示，從而讓學生自主探索，弄清數(shù)和形之間的關系。再比如借助正方形的研究得出幾個數(shù)和正方形的關系后，引導學生繼續(xù)深入思考，你還想包幾層？最外層有幾個正方形，一共有幾個正方形？讓學生在活動中探究規(guī)律?，F(xiàn)在的課堂趨勢是提倡大活動、大問題，一節(jié)課精心預設幾個大問題，避免瑣碎的乒乓式的交流，這樣也使學生的討論學習更加充分。

三、數(shù)與形——拓展學生數(shù)學思維

本課的主題就是“數(shù)與形”，基于數(shù)與形之間的關系，引導學生進行數(shù)學思考。比如，這樣的形可以用什么數(shù)表示？這樣的算式又會是哪一個形呢？在這些各種關系的探索中，引導學生的數(shù)學思維不斷深入。比如，在探索了5×5 正方形和算式之間的關系之后，如果再包兩層是怎樣的正方形？最外層有幾個正方形？一共有幾個正方形？讓學生結合形去思考數(shù)和形之間的規(guī)律。再比如在5×5 的小圓圈點陣圖中，不同的構造可以表示成不同的加法算式，接著繼續(xù)引導學生思考，如果不同的構造，可以表示出哪些形，哪些數(shù)和形是相對的等等，在數(shù)和形關系的不斷交流中，將學生的思考引向深入。