楊小飛

摘 要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的首要任務(wù)是計(jì)算隨機(jī)事件的概率，而全概率公式就是計(jì)算復(fù)雜事件概率的一種行之有效的方法，它在實(shí)際中的應(yīng)用非常廣泛。因此，如何引導(dǎo)醫(yī)學(xué)院的學(xué)生理解并掌握全概率公式，一直是課堂教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。本文首先通過具體的實(shí)例引入全概率公式，然后介紹全概率公式內(nèi)涵及解題步驟，最后通過醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)中具體的實(shí)例來說明公式的應(yīng)用。通過這種層層遞進(jìn)的方式，使學(xué)生們能夠深刻理解全概率公式，并且熟練掌握公式的應(yīng)用，從而解決醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)中遇到的概率問題。

關(guān)鍵詞：全概率公式;教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn);復(fù)雜事件的概率;醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科[1]。它的首要任務(wù)是計(jì)算隨機(jī)事件的概率，而全概率公式就是計(jì)算復(fù)雜事件概率的一種行之有效的方法。全概率公式在實(shí)際中的應(yīng)用非常廣泛，比如在產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)、疑難病癥診斷和經(jīng)濟(jì)決策上的應(yīng)用[2]。因此如何引導(dǎo)醫(yī)學(xué)院的學(xué)生理解和掌握全概率公式，并且熟練掌握公式的應(yīng)用，進(jìn)而去解決醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)中的概率問題，就顯得尤為重要。

本文首先通過“摸獎(jiǎng)問題”引入全概率公式，然后介紹公式的內(nèi)涵與解題步驟，最后有針對(duì)性的選取例題，特別是醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)相關(guān)的應(yīng)用題，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力與運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力。

1 引例：摸獎(jiǎng)問題

商場(chǎng)門口舉行摸獎(jiǎng)活動(dòng)：有1，2，3號(hào)三個(gè)箱子，每個(gè)箱子中放入若干個(gè)白球和紅球，其個(gè)數(shù)如右圖所示，摸到紅球的中獎(jiǎng)。購(gòu)買商場(chǎng)中任意商品的顧客有一次摸獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，問顧客中獎(jiǎng)的概率是多少？

解：設(shè)Bi={取到第i號(hào)箱}，

A={取得紅球}.

所以，這體現(xiàn)了“化整為零”的數(shù)學(xué)思想。

于是

利用乘法公式，可得：

從而將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件的概率之和，上式體現(xiàn)了“積零為整”的數(shù)學(xué)思想。最后代入數(shù)值，得：

所以顧客中獎(jiǎng)的概率是11/30。

其中，是導(dǎo)致事件A發(fā)生的所有可能原因，

并且滿足：;

將上述結(jié)果一般化，我們就得到樣本空間的劃分的概念和全概率公式。

2 全概率公式

定義1 設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為，為的一組事件，若

（1）（不交）

（2）（不重）

則稱為樣本空間的一個(gè)劃分，或者稱為一個(gè)完備事件組。

定理1 設(shè)A為樣本空間為的事件，為的一個(gè)劃分，且，則：

（1）

上式稱為全概率公式[3]。

2.1 全概率公式的內(nèi)涵

1）在（1）式中，A往往表示某一結(jié)果，完備事件組表示導(dǎo)致這一結(jié)果發(fā)生的所有可能原因。因此，全概率公式實(shí)際上是已知原因求結(jié)果。

2）（1）式說明，在計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件A的概率時(shí)，往往是將A轉(zhuǎn)化為兩兩互斥的簡(jiǎn)單事件的并，即，使得復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，這體現(xiàn)了“化整為零”的數(shù)學(xué)思想;從而，計(jì)算出復(fù)雜事件的概率，這又體現(xiàn)了“積零為

整”的數(shù)學(xué)思想。

2.2 全概率公式的解題步驟

全概率公式應(yīng)用的關(guān)鍵是找到樣本空間的一個(gè)劃分，即導(dǎo)致A這一結(jié)果發(fā)生的所有可能原因。為了便于計(jì)算，我們將全概率公式解題步驟歸納如下：

1）找出導(dǎo)致A這一結(jié)果發(fā)生的所有可能原因，其構(gòu)成一完備事件組;

2）求出每個(gè)原因概率的大小;

3）求出原因?qū)Y(jié)果的影響的概率;

4）求出結(jié)果A發(fā)生的概率

3 全概率公式的應(yīng)用

全概率公式在實(shí)際中的應(yīng)用非常廣泛。下面通過具體的實(shí)例來說明全概率公式的應(yīng)用。

例1 體檢時(shí)甲胎蛋白檢驗(yàn)結(jié)果是檢査是否患有肝癌的重要指標(biāo)。肝癌患者該檢驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率為0.95，正常人該檢驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率為0.04.已知人群中肝癌患者占0.06%，求任一人甲胎蛋白檢驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率。

解：設(shè)A={甲胎蛋白檢驗(yàn)結(jié)果呈陽性};B1={被檢査者患肝癌}，B2={被檢查者正常}.顯然，B1，B2構(gòu)成一個(gè)完備事件組，這是導(dǎo)致A這一結(jié)果發(fā)生的所有可能的原因。已知原因求結(jié)果，所以可以用全概率公式求解。

由題意可知，P（A|B1）=0.95，P（A|B2）=0.04，P（B1）=0.0006，P（B2）=0.9994，所以，P（A）=0.95×0.0006+0.04×0.9994=0.040546。

4 結(jié)束語

全概率公式一直是課堂教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)。本文首先通過一個(gè)有趣的“摸獎(jiǎng)問題”入手，在分析、推理、歸納的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生逐步歸納出樣本空間的劃分的定義與全概率公式（定理）;其次，通過引例進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生揭示全概率公式還隱含了“多種原因→結(jié)果”這一內(nèi)涵;再次，通過對(duì)全概率公式的進(jìn)一步剖析，挖掘出公式蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，那就是：將復(fù)雜的事件化整為零再通過全概率公式積零為整，求出復(fù)雜事件的概率，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力和創(chuàng)新素質(zhì);最后，有針對(duì)性地選取例題，特別是與醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)相關(guān)的應(yīng)用題，擴(kuò)大學(xué)生的視野，培養(yǎng)其解決實(shí)際問題的能力和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力。

參考文獻(xiàn)

[1]上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系.概率論與數(shù)量統(tǒng)計(jì)[M]北京：科學(xué)出版社，2019.

[2]楊波.關(guān)于全概率公式及其實(shí)際應(yīng)用[J].雞西大學(xué)學(xué)報(bào)，2015（15）：52-54.

[3]朱翼雋.概率論與數(shù)量統(tǒng)計(jì)[M].鎮(zhèn)江;江蘇大學(xué)出版社，2015.