余璟

摘要：《平均數(shù)》這一內(nèi)容在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于相關(guān)課程目標(biāo)的實(shí)施建議中，不同于以往作為應(yīng)用題的“平均數(shù)”一類教學(xué)，而是以別具一格的課題以及其“作為一種統(tǒng)計(jì)量”這一全新的面貌出現(xiàn)。教師在教學(xué)中要以人為本，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，創(chuàng)新教學(xué)方法，將課堂變成學(xué)堂。

關(guān)鍵詞：平均數(shù) ?概念 ?課堂教學(xué)

作為一種統(tǒng)計(jì)量，在小學(xué)中高年級(jí)課本里都會(huì)出現(xiàn)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，雖然現(xiàn)在教材已經(jīng)將其刪除并且移到初中課本，但對(duì)我們一線老師來(lái)說(shuō)，它們其實(shí)都是一組數(shù)據(jù)的代表，只是眾數(shù)和中位數(shù)相對(duì)來(lái)說(shuō)不易受到極端數(shù)據(jù)的干擾，因而就顯得比較穩(wěn)定，而平均數(shù)因受到所有數(shù)據(jù)的制約，更能反映一組數(shù)據(jù)的全貌，因而也就顯得敏感、易變。借鑒同行的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者將智慧數(shù)學(xué)的理念體現(xiàn)在《平均數(shù)》的教學(xué)中，談?wù)勛约旱囊恍┧伎肌?/p>

一、概念為本，直指教學(xué)核心

平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義在于，它能描述一組數(shù)據(jù)的整體水平。在原始的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，有可能一個(gè)數(shù)和平均數(shù)相同，其他的數(shù)不一定和平均數(shù)相同，但是這些數(shù)據(jù)都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。教師在教學(xué)中對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、比較，幫助學(xué)生理解什么是平均數(shù)，在概念形成的過(guò)程中，有效達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

例如，在“平均數(shù)是什么”這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，我設(shè)計(jì)了三組學(xué)生開展套圈比賽活動(dòng)：第一組男女生人數(shù)相等，都是3人，每人套中的個(gè)數(shù)也相等，男生每人套中4個(gè)，女生每人套中5個(gè);第二組男女生人數(shù)不等，每人套中的個(gè)數(shù)依然相等，男生3人，每人都套中6個(gè)，女生4人，每人都套中5個(gè);第三組男女生人數(shù)不等，每人套中的個(gè)數(shù)也不相等，男生3人，分別套中7、9、5個(gè)，女生4人，分別套中10、4、7、3個(gè)。我讓學(xué)生觀察每一組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖，問(wèn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了什么，然后引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出是男生投得準(zhǔn)一些，還是女生投得準(zhǔn)一些。這樣，學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)三次活動(dòng)比較，從“三對(duì)三個(gè)數(shù)相同”，到“三對(duì)四個(gè)數(shù)相同”，再到“三對(duì)四個(gè)數(shù)不同”的比較，學(xué)生在比較中體會(huì)知識(shí)的形成過(guò)程，把握比較的方法，有效促進(jìn)課堂教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。

二、方法比較，強(qiáng)化概念理解

計(jì)算平均數(shù)有兩種方法，一是“移多補(bǔ)少”，二是“先求和再均分”，雖然兩種方法都有各自的價(jià)值，但最終還是要求學(xué)生準(zhǔn)確理解平均數(shù)的概念。在前面的教學(xué)中，教師通過(guò)動(dòng)態(tài)演示“移多補(bǔ)少”，幫助學(xué)生在數(shù)據(jù)中找出平均數(shù)，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)平均數(shù)概念理解的同時(shí)，還提高了學(xué)生的探究能力，為學(xué)生對(duì)“平均分”的認(rèn)識(shí)、理解打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

如何讓學(xué)生真正理解平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的整體水平，而不是平均分后某個(gè)單獨(dú)的個(gè)體所獲得的結(jié)果？在“怎樣求平均數(shù)”教學(xué)環(huán)節(jié)中，出示第三組女生的套圈成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖。4位女生的成績(jī)（分別套中10、4、7、3個(gè)）各不相同，首先我讓學(xué)生思考：用數(shù)字幾表示女生套圈的一般水平？然后引導(dǎo)學(xué)生：女生平均每人套中了幾個(gè)？還有別的方法嗎？接著指出像這樣把套中的個(gè)數(shù)合起來(lái)，再把它平均分成4份也就是先合并再平分。追問(wèn)：這里的“6”是指每個(gè)女生真的都套中了6個(gè)嗎？“6”能代表吳燕的套圈水平嗎？能代表劉曉娟、孫蕓的套圈水平嗎？那么“6”究竟代表哪個(gè)同學(xué)的套圈水平呢？通過(guò)討論，學(xué)生進(jìn)一步明確了這里的“6”是什么。

三、厘清特性，深化概念內(nèi)涵

平均數(shù)作為統(tǒng)計(jì)學(xué)中表達(dá)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)其意義后，還需要借助具體問(wèn)題、具體數(shù)據(jù)創(chuàng)設(shè)情景活動(dòng)，豐富學(xué)生對(duì)概念的理解，更重要的是為學(xué)生靈活解決有關(guān)平均數(shù)的問(wèn)題提供有效的保障。為了讓學(xué)生更好地理解平均數(shù)的抽象性特點(diǎn)，在第三板塊的“怎樣求平均數(shù)”環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)中，教師巧妙地將精巧數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)及適時(shí)追問(wèn)融入其中。

課堂呈現(xiàn)：咱們?cè)倏匆幌碌谒慕M比賽情況。這次先出場(chǎng)的是五位女生，分別套中10、4、7、5、4個(gè)。你能算出第四組女生的平均成績(jī)嗎？

生動(dòng)筆計(jì)算：10+4+7+5+4=30（個(gè)），30÷5=6（個(gè)）。

男生共四名選手上場(chǎng)，前三名選手成績(jī)分別是5、11、7，看到前三位選手的成績(jī)，你們會(huì)想到什么？從哪兒看出來(lái)的？憑直覺(jué)，男生是贏還是輸？為什么？最終男生平均套中的成績(jī)是幾個(gè)？第二個(gè)同學(xué)套中了11個(gè)， 為什么不說(shuō)男生的平均成績(jī)?yōu)?1？

師：第四位男同學(xué)套中1個(gè)，能說(shuō)男生的平均成績(jī)是1個(gè)嗎？

強(qiáng)調(diào)：盡管沒(méi)有算出最終結(jié)果，但我們都可以斷定，最后的平均成績(jī)一定比這里最大的數(shù)小一些，比最小的數(shù)大一些，也就是說(shuō)平均數(shù)在最大的數(shù)和最小的數(shù)之間。

師：你能動(dòng)筆算一下第四組男生平均套中的個(gè)數(shù)嗎？[5+10+8+1=24（個(gè)），24÷4=6（個(gè)）]與你猜想的結(jié)果一樣嗎？想一想，這次套圈比賽雖然最終打了平手，但其實(shí)男生完全有獲勝的可能性，問(wèn)題出在哪里呢？

一組數(shù)據(jù)中前三個(gè)數(shù)據(jù)大小不變，只是第四個(gè)數(shù)據(jù)發(fā)生了變化。此時(shí)極端數(shù)據(jù)“1”的出現(xiàn)，導(dǎo)致了平均數(shù)的改變，不僅強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)平均數(shù)具有代表性的理解，更讓學(xué)生體會(huì)到平均數(shù)敏感性這一重要特征。隨即，我將最后一位同學(xué)“套中1個(gè)”改為“套中5個(gè)、9個(gè)”，先讓學(xué)生動(dòng)筆計(jì)算得出男生套圈的平均水平，然后通過(guò)三幅圖對(duì)比：在這組數(shù)據(jù)中，有的比平均數(shù)高，有的比平均數(shù)低，你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，多出的部分和少的部分怎樣？（同樣多）僅僅是一個(gè)巧合嗎？這時(shí)，學(xué)生不僅能體會(huì)到平均數(shù)介于最大值和最小值之間，更能感受到平均數(shù)的齊次性。此時(shí)總數(shù)增加了4（或8），平均數(shù)只是增加1（或2）。根據(jù)“移多補(bǔ)少”的原理，只有超出的部分和不足的部分相等，最終才能完成平均數(shù)的正確求解。如此在一系列的問(wèn)題情境中，以適時(shí)地追問(wèn)，借助統(tǒng)計(jì)圖以及學(xué)生的口算、計(jì)算，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在理解概念的基礎(chǔ)上得到有效的提升。

四、依托概念，追尋現(xiàn)實(shí)依據(jù)

在平時(shí)教學(xué)中，教師常問(wèn)學(xué)生：“這個(gè)問(wèn)題你聽懂了嗎？”學(xué)生都說(shuō)聽懂了，但我們都知道，學(xué)習(xí)知識(shí)在懂了與會(huì)了之間還有一定的距離，懂了不一定代表會(huì)了。因而盡管學(xué)生能夠敘述出平均數(shù)的定義，但不代表他們掌握了平均數(shù)的含義。平均數(shù)的定義對(duì)一個(gè)剛進(jìn)入四年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)還是非常抽象的。為了讓學(xué)生能夠在稍復(fù)雜的背景下運(yùn)用平均數(shù)的概念解決問(wèn)題，我設(shè)計(jì)了幾個(gè)復(fù)雜程度不一樣的問(wèn)題：“猜猜每個(gè)筆筒里筆的支數(shù)”“絲帶的平均長(zhǎng)度”“平均身高”“平均水深”“平均壽命”等。第一個(gè)問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單。第二個(gè)問(wèn)題“絲帶的平均長(zhǎng)度”，無(wú)論通過(guò)老師的估算值判斷絲帶的平均值，還是通過(guò)變換絲帶的長(zhǎng)短，都是讓學(xué)生利用平均數(shù)的性質(zhì)——離均差為0，即以離差之和為0進(jìn)行判斷。在一組數(shù)據(jù)中，既有超出平均數(shù)的，也有低于平均數(shù)的，當(dāng)對(duì)三幅圖同時(shí)進(jìn)行比較時(shí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)到我們既可以用平均數(shù)來(lái)表示一組數(shù)據(jù)的總體水平，也可以用它來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)的差異?！捌骄砀摺敝苯舆x用我?；@球隊(duì)員的數(shù)據(jù)，在這里不是讓學(xué)生計(jì)算平均數(shù)，而是讓學(xué)生依據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行合理推斷。而“平均水深”借助直觀情境圖，學(xué)生能充分感知平均水深，并不是指每一處都是110厘米，池塘里有的地方水深低于110厘米，很安全，有的地方水深卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)110厘米，因此很危險(xiǎn)。70年前中國(guó)人的平均壽命是35歲，70年后人均壽命提高到77歲，應(yīng)該如何理解這句話？今年77歲的王爺爺聽了喜憂參半，學(xué)生能夠從數(shù)學(xué)的角度，并能根據(jù)身邊親人的實(shí)際年齡做對(duì)比。教學(xué)中貌似學(xué)生都在發(fā)言，但可以肯定的是他們并不都真正理解了知識(shí)點(diǎn)，因?yàn)樗菭可娴揭詷颖镜钠骄鶖?shù)代替總體的平均數(shù)，比較抽象。

總之，在小學(xué)階段，教師教學(xué)要擯棄傳統(tǒng)的灌輸式教學(xué)，把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生在課堂上不斷積累經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)知識(shí)的形成過(guò)程。教師要注重引導(dǎo)，通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)，幫助學(xué)生理解知識(shí)，創(chuàng)新教學(xué)方法，把課堂變成學(xué)堂，讓學(xué)生在探索中獲取知識(shí)。