閻淑榮 劉法泉 柳秀蘭

摘 要：數(shù)學(xué)在人類社會發(fā)展中發(fā)揮著重要的作用，可以說，數(shù)學(xué)的發(fā)展其實(shí)也就是人類科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。在此，本文主要從函數(shù)、極限以及化歸三大方面對數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行深入探究，并給予了人們深刻的啟發(fā)：要想培養(yǎng)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才，需要從培養(yǎng)人的思維習(xí)慣方面下手。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)思想方法;數(shù)學(xué)教育

數(shù)學(xué)史不僅是人類科學(xué)技術(shù)的發(fā)展史，更是人類文明的進(jìn)步史，數(shù)學(xué)上的進(jìn)步在很大程度上體現(xiàn)著人類社會的發(fā)展。從最初的歐式幾何到微積分、現(xiàn)代數(shù)學(xué)，再到近代數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)在每一階段的發(fā)展都與其所處時代的科學(xué)技術(shù)、政治、經(jīng)濟(jì)以及社會等有著緊密的聯(lián)系，絕大多數(shù)人類科學(xué)技術(shù)的實(shí)現(xiàn)都將數(shù)學(xué)充分利用了起來，就拿芯片技術(shù)來說，如果沒有先進(jìn)的算法，芯片技術(shù)還能實(shí)現(xiàn)嗎？因此，有必要深入探索數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)教育，以確保對數(shù)學(xué)思想的更好應(yīng)用。

一、數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)思想方法

深入分析，數(shù)學(xué)已經(jīng)有4000多年的發(fā)展史，其內(nèi)容的廣度和深度是很難預(yù)測的，尤其是其中的數(shù)學(xué)思想和方法非常豐富，但是，深入分析發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典思想主要有三種：函數(shù)思想、極限思想以及化歸思想，這三種思想是當(dāng)前解決數(shù)學(xué)問題的重要工具。

（一）函數(shù)思想方法

函數(shù)思想是數(shù)學(xué)中最為常見且在其他學(xué)科中經(jīng)常使用的概念，其中想要表達(dá)的意義已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出當(dāng)前的數(shù)學(xué)范疇，在對經(jīng)典數(shù)學(xué)進(jìn)行深入分析時，函數(shù)就是其中必不可少的內(nèi)容。對當(dāng)前數(shù)學(xué)教材中的函數(shù)知識分析發(fā)現(xiàn)，其不僅是初等數(shù)學(xué)中的主要內(nèi)容，在高等數(shù)學(xué)中同樣占據(jù)著核心地位。函數(shù)思想在數(shù)學(xué)中的融入使得傳統(tǒng)的常量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變成了變量數(shù)學(xué)，辯證法在數(shù)學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。不僅如此，物理、化學(xué)以及均是多個領(lǐng)域都與數(shù)學(xué)中的函數(shù)思想有了緊密的聯(lián)系，例如：物體冷卻現(xiàn)象、樹木的生長以及人口增長率等，雖然函數(shù)思想在不同內(nèi)容中的意義不盡相同，但是它們都適用于同一個數(shù)學(xué)模型中，如下：

這個數(shù)學(xué)模型中主要表示的是當(dāng)α0，γ不變時，上述提到的具有不同意義的問題可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于周期t的函數(shù)。

正是上述函數(shù)思想的應(yīng)用，很多相對復(fù)雜的問題都能轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的處理方式，可以用數(shù)學(xué)家F·克萊因的話闡述，教育家可以將數(shù)學(xué)課上的重要問題利用變量和函數(shù)進(jìn)行解決。

（二）極限思想方法

極限在函數(shù)研究中發(fā)揮著非常重要的作用，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中較為常見的一種思想方法，也是當(dāng)前很多數(shù)學(xué)概念建立的基礎(chǔ)，在分析問題和解決問題上也有著重要意義。極限思想無論在哪一方面的數(shù)學(xué)研究中都得以體現(xiàn)，正是因為具有這種思想方法，數(shù)學(xué)才能在各個領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用。因此，筆者對極限思想的發(fā)展歷程進(jìn)行了深入的分析，從中得知，極限思想的發(fā)展主要有四個階段：第一，萌芽時期，我國偉大哲學(xué)家莊子提到的“一日之錘，日取其半，萬世不竭”以及國外相關(guān)專家構(gòu)建的窮竭法都能夠體現(xiàn)出極限思想;第二，發(fā)展階段，牛頓、布萊尼等創(chuàng)立的微積分，將極限研究成果充分利用了起來，以此解決實(shí)際問題，這就使得極限思想得到了一定的發(fā)展;第三，爭論階段，實(shí)際上，牛頓和布萊尼并沒有將極限思想嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年U述出來，從而也就產(chǎn)生出現(xiàn)了不能自圓其說的觀點(diǎn)，例如：級數(shù)的收斂以及發(fā)散應(yīng)用過程中出現(xiàn)的悖論等。而相對嚴(yán)密的極限思想主要是從波萊諾、柯西等學(xué)者的工作開始的，經(jīng)過Weierstrass的進(jìn)一步發(fā)展，從而形成了一門較為完整的“數(shù)學(xué)分析”學(xué)科，正是這一時期，極限思想變得更加嚴(yán)密，這也在一定程度上帶動了微積分學(xué)的發(fā)展。

深入分析，極限思想方法在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中得以更好的發(fā)展，主要就是因為極限思想和方法在推動數(shù)學(xué)進(jìn)步的過程中，涉及到了物理、化學(xué)、地理等多個領(lǐng)域，解決了各個工程領(lǐng)域中的實(shí)際問題，從而才能為當(dāng)今社會背景下科技水平的提升以及經(jīng)濟(jì)的發(fā)展提供有力支持。

（三）化歸思想方法

深入分析，當(dāng)前數(shù)學(xué)中所包含的化歸思想意義有宏觀和微觀之分，從宏觀方面來看，其主要體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)家在思考問題時與一般科學(xué)家不同的見解，這是后續(xù)分析問題、解決問題并形成數(shù)學(xué)構(gòu)想的重要條件;從微觀方面來看，這一方面的意義主要是數(shù)學(xué)家在解決數(shù)學(xué)問題的過程中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，并將其與已經(jīng)解決的問題結(jié)合分析的過程。深入分析數(shù)學(xué)史上有名的化歸思想，1944年發(fā)表的《怎樣解題表》是最為典型的化歸思想著作，其將化歸思想在解決問題上的精華闡述了出來。在這張表中，G·波利亞還將數(shù)學(xué)解題過程概括成了發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題以及回顧問題的過程，而四個思維階段的主要目的就是鍛煉人在數(shù)學(xué)內(nèi)容上的理解、轉(zhuǎn)換、具體實(shí)施以及反思的能力，而且，波利亞還設(shè)置了一系列的問題，啟發(fā)人們在這四個思維框架中進(jìn)行解題。上述的這種思維過程其實(shí)就是變幻問題，并將其轉(zhuǎn)化為簡單內(nèi)容的過程，將復(fù)雜的問題不斷化歸，最終歸結(jié)成一個較為熟悉的簡單問題，模式如圖1：

以化歸思想來解決實(shí)際性的問題的方法也就是化歸法，這種方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中非常常見，幾何代數(shù)中的數(shù)形結(jié)合、解方程中的換元法、待定系數(shù)法等都將化歸思想充分利用了起來，以此來簡化題目，為后續(xù)解題提供便利。

各個分支中問題的解決也經(jīng)常用到化歸法，例如：數(shù)學(xué)分析中的換元法以及三角函數(shù)的萬能替換法等，其與中學(xué)數(shù)學(xué)中相關(guān)問題的解題方式是相同的，如：一般情況下，無限個數(shù)的求和是不能得到結(jié)果的，而如果將無限個數(shù)的求和轉(zhuǎn)化為有限個數(shù)的極限求和就可以得出最終結(jié)果，這樣做也在一定程度上上解決了數(shù)項級數(shù)的斂散性問題，為相關(guān)問題的解決明確了具體的方法。

總之，數(shù)學(xué)中的化歸思想方法不僅在相關(guān)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問題解決過程中發(fā)揮著重要意義，也廣泛應(yīng)用于物理、社會等領(lǐng)域中。切實(shí)做好這一思想方法的培養(yǎng)工作，對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和問題解決能力非常重要，尤其可以幫助剛步入大學(xué)的學(xué)生盡快從中學(xué)思維模式中轉(zhuǎn)化過來，形成良好的思維模式。

二、數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)思想方法教育

在數(shù)學(xué)問題上，無論是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題的過程還是解答問題的過程，都可以充分體現(xiàn)出其數(shù)學(xué)思維方式。無論是數(shù)學(xué)史上教育的成功還是失敗，其中都揭示了一個非常重要的規(guī)律，那就是實(shí)際教學(xué)過程中要將知識的內(nèi)在聯(lián)系體現(xiàn)出來，發(fā)現(xiàn)問題中的思維規(guī)律，從而為學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)提供保障。

從根本上來看，數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)思想方法的傳播是一個層層遞進(jìn)的過程，貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，其中，概念的形成、推論以及相關(guān)習(xí)題的推導(dǎo)都能夠?qū)?shù)學(xué)思想體現(xiàn)出來。此時，教師就可以抓住這一契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念的同時，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，及時發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，形成一種辯證思維。

數(shù)學(xué)史中主要體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)家思想方法的故事，在實(shí)際解題過程中都能直接體現(xiàn)出相關(guān)概念、定理的應(yīng)用，教師應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法開展數(shù)學(xué)工作，也會讓學(xué)生在潛移默化中利用數(shù)學(xué)，從而使學(xué)生獲得能夠解決日常生活實(shí)際問題的思想方法。

數(shù)學(xué)中的方法和概念是數(shù)學(xué)思想的深入體現(xiàn)，教師在教學(xué)中完整的表述相關(guān)定義，可以引發(fā)學(xué)生的思考，從而有利于培養(yǎng)其綜合思維能力，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。這也是當(dāng)前數(shù)學(xué)史對實(shí)踐教育的重要意義。

三、結(jié)束語

總而言之，數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)以及其他各個領(lǐng)域中都得到了較為廣泛的應(yīng)用，其中，函數(shù)、極限以及化歸三大思想方法是較為典型的數(shù)學(xué)思想方法，其能夠很好的解決各個工程領(lǐng)域的實(shí)際問題。而且，通過深入分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)思想方法教育還能實(shí)現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生及時發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，形成辯證性的思維，從而提升綜合思維能力，在實(shí)踐教育中具有重要意義。

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（作者單位：德州學(xué)院職業(yè)教育學(xué)院，山東 德州 253000）