龐禮金

[摘? 要] 文章基于類比遷移理論視角探究了高中空間向量教學，提出了“優(yōu)化類比形式，精選類比環(huán)”“及時總結(jié)歸納，反思學習方法”“示例層層遞進，優(yōu)化圖式結(jié)構(gòu)”“聚焦幾何特征，把握問題本質(zhì)”等策略.

[關(guān)鍵詞] 類比遷移;高中數(shù)學;空間向量

作為研究三維空間的有效工具，高中空間向量在研究空間基本圖形的位置和度量關(guān)系越來越有效，甚至在解決復(fù)雜空間問題時還優(yōu)于綜合幾何方法.相當數(shù)量的教師在組織學生學習空間向量時往往類比平面向量的學習，但是空間向量不只是簡單地將二維向量增加一個維度就能解決問題，并且，空間向量又具有自身獨特的抽象原理與運算規(guī)則，這種現(xiàn)象的存在在一定程度上影響了高中空間向量學習的質(zhì)量和水平. 類比遷移理論是消除這一不利影響的可行手段，能夠有效幫助學生解決空間向量教學的相關(guān)問題，因此，在類比遷移理論視角下，探究高中空間向量教學策略具有重要的意義.

優(yōu)化類比形式，精選類比環(huán)節(jié)

最初在學習空間向量知識時，由于向量概念較為零散，并且缺乏一定的系統(tǒng)性與結(jié)構(gòu)性，若在教學中直接采用類比形式，則很容易導(dǎo)致學生學習任務(wù)繁重，并且在學習效果方面只能達到平面向量和空間向量之間初級關(guān)系的類比，因此，在組織學生學習空間向量概念時，教師應(yīng)適當增加例題教學，促使學生將源問題類比遷移到靶問題上[1]■.

例如，在組織學生理解空間向量加法運算概念時，筆者呈現(xiàn)了如下例題，即：已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，則■+■+■=■.實質(zhì)上，若將該題目中的空間四邊形修改為平面四邊形，則學生無疑就能對應(yīng)找到源問題，從而通過類比遷移平面向量知識理解空間向量的結(jié)合律和交換律.

又如，在組織學生利用空間向量證明四點共面問題時，即：空間中不共線的三點A，B，C和任意一點O，已知點D在平面ABC內(nèi)，試證明：■=x■+y■+z■，x+y+z=1. 為了有效幫助學生尋找源問題與靶問題之間的匹配與映射，筆者及時利用學生已學知識，通過類比遷移理論增加了如下例題教學，即點O為平面內(nèi)的任意一點，已知點A，B，C在一條直線上，試證明：■=x■+y■，x+y=1，要求學生開展合情推理中的類比推理學習.

及時總結(jié)歸納，反思學習方法

由于相當數(shù)量的高中學生缺乏一定的學習自主性，思維習慣不夠良好，并且快速匹配源問題和靶問題僅是完成了基礎(chǔ)性的教學，因此，教師應(yīng)適時幫助學生總結(jié)歸納，及時根據(jù)學生的學習現(xiàn)狀和知識掌握情況查漏補缺，促使學生形成完整的知識圖式，從本質(zhì)上有效解決核心問題.

例如，在組織學生學習空間向量數(shù)量積運算時，空間向量運算律與平面向量運算律十分相似，但這并不意味著學生就能有效解決相應(yīng)題目，進而真正掌握知識構(gòu)建圖式[2]■. 如圖1所示，已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，其同一頂點為端點所形成的夾角為60°，且棱長均等于1，試求該平行六面體中對角線AC1的長度. 雖然這道題目的計算并不復(fù)雜，但由于學生類比平面向量，致使在解題過程中往往是記憶大于理解，忽略了空間向量背后的幾何意義，因此，教師應(yīng)最大限度地發(fā)揮自己的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學生及時歸納總結(jié)、查漏補缺，形成完整的知識圖式.

同時，為了有效降低類比遷移的副作用，避免會而不對的現(xiàn)象，教師應(yīng)引導(dǎo)學生對多個類比問題進行比較，促使學生不斷反思. 例如，立體幾何背景下，解決空間向量夾角問題的本質(zhì)是什么？應(yīng)用坐標法表示空間向量與平面向量有什么異同等等.

示例層層遞進，優(yōu)化圖式結(jié)構(gòu)

無論是引入新知，還是鞏固所學知識都離不開示例，而空間向量知識的學習，最終還是要落腳在立體幾何問題解決上，還是要通過示例幫助學生理解. 值得注意的是，雖然空間向量知識本身具有鮮明的特點，并且空間向量的相關(guān)知識本身就是一環(huán)扣一環(huán)的，但學生解決綜合問題的能力并沒有得到有效提高，究其原因是空間直線的代數(shù)表示在高中階段并沒有明確說明. 因此，為了最大限度地避免由于該知識的欠缺而導(dǎo)致的負遷移，教師應(yīng)在示例選擇時做到層層遞進.

例如，在應(yīng)用類比遷移理論遷移平面法向量時，筆者首先選取了如下直線的方向向量示例，即：如圖2所示，a，b為直線l在x軸、y軸上的截距，試求與直線l垂直的向量m.

由題意可知，直線l的方向向量可以用n=（a，-b）表示，根據(jù)m·n=0，則可獲得向量m=■，■

顯然，上述解題從平面入手，應(yīng)用類比遷移理論，將其推廣到空間中，有效回避了當前無法直接表示出空間直線代數(shù)特征這一問題.隨后，在學生完全理解上述知識后，為了研究的深入，筆者又創(chuàng)設(shè)了如下示例，即如圖3所示，平面α在x軸、y軸、z軸上的截距分別為a，b，c，試求平面α的法向量.

類比上述案例，不妨設(shè)法向量為u=（x，y，z），實質(zhì)上，p=（a，-b，0），q=（0，b，-c），根據(jù)p∥平面α，q∥平面α，p·u=0，q·u=0，則可求得u=■，■，■. 值得說明的是，如何恰當快速的選取至關(guān)重要，而上述利用示例解題的方式，有利于學生形成相關(guān)圖示，從而更好地幫助學生理解和應(yīng)用法向量.

聚焦幾何特征，把握問題本質(zhì)

為了關(guān)注圖形的幾何特征，促使學生能夠獨立描述解決立體幾何問題的一般程序，教師應(yīng)引導(dǎo)幫助學生建立空間直角坐標系，而圖形幾何特征是構(gòu)建坐標系的必要條件，實質(zhì)上，高中數(shù)學教學中接觸到的立體幾何圖形往往復(fù)雜多樣，如果不注重空間幾何特征，則很難掌握問題的本質(zhì).

例如，如圖4所示，已知等邊三角形的邊長為2，點P為△ABC內(nèi)的一點，試求■·（■+■）的最小值.

如果按照傳統(tǒng)方式，要求■·（■+■）的最小值，則需要先判斷點P的位置，然后求得PA的模長，顯然，這種解題模式較為麻煩. 若在此解題過程中，利用等邊三角形的對稱性，按照圖4所示建立平面直角坐標系，則在平面圖形與向量之間建立了聯(lián)系，使得該問題轉(zhuǎn)換為如下形式，即：

不妨設(shè)P（x，y），則■=（-x，■-y），■+■=（-2x，-2y），因此，■·（■+■）=2x2+2y-■■-■，當且僅當P為0，■時，則■·（■+■）取得最小值，最小值為-■.

又如，如圖5所示，已知D′H⊥菱形ABCD，AB=5，AC=6，AE=CF=■，OD′=■，則試求二面角B-D′A-C的正弦值.

顯然，熟知圖形的幾何特征是解決問題的關(guān)鍵. 通過幾何直觀建立直角坐標系，即以H為原點，建立H-xyz直角坐標系，將幾何條件坐標化，利用代數(shù)方法很快便能求出二面角B-D′A-C的正弦值.值得一提的是，上述題目解決中，若僅考慮平面，則坐標原點還可以選取點O，但坐標原點選取點O后，會大幅度增加運算的難度.

總之，在具體教學實踐中，教師應(yīng)引導(dǎo)學生從平面向量入手，緊扣問題結(jié)構(gòu)，采取類比遷移式的教學方法，并及時總結(jié)歸納，有效把握問題本質(zhì)，最大限度地避免由平面向量所帶來的負遷移. 只有這樣，才能實現(xiàn)由二維的平面向量正向遷移至三維的空間向量，才能形成空間向量部分的圖式構(gòu)建，有效培養(yǎng)學生的空間想象能力.

參考文獻：

[1]? 向往. 基于類比遷移理論的空間向量教學研究[J]. 湖南師范大學，2019（5）.

[2]? 余建國. 數(shù)學核心素養(yǎng)視域下的“空間向量的基本定理”教學[J]. 中學教研（數(shù)學），2019（5）.