江蘇省海門中學(xué) (226100) 渠懷蓮

向量具有數(shù)與形的雙重身份，是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁，尤其是數(shù)量積問題的求解更是體現(xiàn)大小與方向的兩大要素.在平面幾何圖形給定后，求解相關(guān)的數(shù)量積問題，我們可以有一下幾種處理問題的策略：向量的三種表示對應(yīng)三種運(yùn)算，圖形表示即構(gòu)造幾何圖形直線與圓、解三角形等；字母表示即基底法；坐標(biāo)表示即建立平面直角坐標(biāo)系解析法.

圖1

解法1:如圖1，共起點(diǎn)向量基底化，旨在使學(xué)生產(chǎn)生“基底”意識(shí)，圖形中向量“基底”是表示向量的基本方法，轉(zhuǎn)化過程主要運(yùn)用平行四邊形法則和三角形法則.

解法2:兩邊點(diǎn)乘同一個(gè)向量，利用數(shù)量積的幾何意義——投影求解.

圖2

解：建系法是平面向量“代數(shù)”化的體現(xiàn)，將向量用坐標(biāo)表示，實(shí)現(xiàn)向量式向數(shù)量式的轉(zhuǎn)化，建系時(shí)往往要借助平面向量中有關(guān)垂直向量的關(guān)系來處理，以此對應(yīng)的向量為坐標(biāo)軸所在的直線，或利用對稱性建系，不同的建系會(huì)導(dǎo)致不同的運(yùn)算效果.

注：此題若用基底法很難實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，因?yàn)閭€(gè)向量的模均未知.

圖3

解法1:利用幾何確定點(diǎn)O的位置，利用平面幾何圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用簡單的幾何性質(zhì)，結(jié)合向量運(yùn)算的幾何意義(三角形法則或平行四邊形法則等)來分析與求解，往往可以使解題更直觀，更簡捷，便于判斷與操作.

解法2:建立平面直角坐標(biāo)系，引入角元，利用三角函數(shù)法，是平面向量問題在解三角形中的強(qiáng)有理的方法，是平面向量問題向直角三角形或化斜為直充分體現(xiàn).借助三角函數(shù)的定義、三角恒等變換公式等，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式等加以有效轉(zhuǎn)化與求解.

結(jié)語：在培養(yǎng)學(xué)生在解決圖形中的數(shù)量積問題能夠靈活地轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生形成正確的幾何性質(zhì)、基底意識(shí)即解析思想方法.學(xué)生解題“意識(shí)目標(biāo)”的培養(yǎng)，是需要老師在一段時(shí)間內(nèi)或者長時(shí)間內(nèi)不斷地滲透強(qiáng)化形成的.希望學(xué)生做到以原型啟發(fā)為突破口，深入研究試題的命制方向進(jìn)行拓展和深化，使學(xué)生在不斷地積累沉淀的過程中加深對知識(shí)的解，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.