董文彬

摘要：圖形教學應緊扣圖形的本質(zhì)特征來進行課堂學習活動的設計，只有這樣才能促進學生在學習中更深刻地認識圖形，進而發(fā)展學生的空間觀念和高階思維。具體在“圓”這一單元的教學中應把握圓的普遍存在性、廣泛對稱性、各點均勻性以及圓的曲線研究方法，并在此基礎，上借助評價題重塑“圓”的教學。

關鍵詞：圖形教學;圓;整體把握空間觀念

圖形與幾何是小學數(shù)學教學的核心內(nèi)容。無疑，圖形內(nèi)容的教學應緊扣圖形的核心本質(zhì)特征進行課堂學習活動的設計，只有這樣才能促進學生在學習沖更深刻地認識圖形，進而發(fā)展學生的空間觀念和高階思維。下面僅以小學數(shù)學教材中六年級“圓”這個單元為例，探討如何在單元教學中重新認識和整體把握圖形的核心本質(zhì)特征，如何通過評價倒逼和撬動圖形教學的過程性思考，以發(fā)展學生的空間觀念，提高學生的高階思維水平。

一、重識：把握圓的本質(zhì)特征

在整體審視單元教學的前期，教師須思考一個核心問題：在小學階段學習圓，最重要的是什么？筆者認為，應該是圓的三個特性和一種研究方法。

1.圓的普遍存在性

在現(xiàn)實世界中，從橋梁、剪紙、中外建筑、著名標志設計到天體、粒子運動等等，圓在生活中的現(xiàn)實模型幾乎是無處不在的。相比其他平面圖形而言，圓的現(xiàn)實模型是所有平面圖形中最普遍存在的一種。而作i為思維對象的圓，其思維特征體現(xiàn)為高度與深度的抽：象概括，只存在于數(shù)學世界里，在現(xiàn)實世界中找不到。

2.圓的廣泛對稱性

其一，圓是軸對稱圖形，并且對稱軸有無數(shù)條，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸。其二，圓是：旋轉(zhuǎn)對稱圖形，任意角度旋轉(zhuǎn)并映射到自身上，即旋：轉(zhuǎn)任何一個角度都與原來的圖形完全重合，圓具有任意的旋轉(zhuǎn)不變性。圓的這兩種對稱性是廣泛存在的，i從這種角，度來看，圓在所有平面圖形中是最“和諧”的一種圖形。

3.圓的各點均勻性

圓的各點均勻性是指圓在每一點處的向心程度（即彎曲程度）都一樣，圓上的每一個點都是“平等”的。從圓上任意一點到圓心的距離都相等（即“一中同1長”），圓周上各處的向心（彎曲）程度相同。

4.圓的曲線研究方法

圓是學生在小學階段數(shù)學中第一次認識的曲邊'平面圖形，用直線逼近曲線、用有限逼近無限、用有限線段來逼近曲線，這種以直代曲、，化無窮為有限，用逼：近極限（如割圓術）的方法進行的研究貫穿于整個圓的教學。而這種極限思想的滲透也是學生在學習中最I難理解的。

如果說圓心、半徑、直徑等是圓的“外貌“的話，那么圓的普遍存在性廣泛對稱性、各點均勻性和以直代曲的研究方法就是圓的內(nèi)在“性格”。在實際教學中，要特別重視讓學生感受圓作為曲邊圖形的這種內(nèi)在“性格”特征，在學習中逐步積累研究圓這種曲邊圖形的方法和經(jīng)驗。在圓的整個單元的后續(xù)學習中，學生還要學習圓的周長、圓的面積等內(nèi)容，認識了圓的普遍存在性廣泛對稱性、各點均勻性和以直代曲這些本質(zhì)特征和研究方法，能夠直接影響和決定圓的周長和面積的推導過程、推導方法，以及解決問題中的實際應用。

圓的周長和圓的面積的學習要特別關注周長、面積計算公式等的推導過程及過程性的思考。需要說明的是，關注圓的周長、面積公式的推導過程，不是為了刻意追求過程，而是為了啟發(fā)學生在推導過程中思考圖形的轉(zhuǎn)化、位置對應關系的變化，這些思考有助于對圓的本質(zhì)特征的再關注、再認識，并以此發(fā)展學生的空間觀念和高階思維。

二、重塑：評價撬動圓的學習的過程性思考

為幫助學生深刻認識圓的上述本質(zhì)特征和研究方法，通過評價來撬動課堂學習的過程性思考是非常重要的一+條途徑。通過評價題目的設計來考查學生的學習效果，倒逼課堂教學行為發(fā)生根本性轉(zhuǎn)變，讓學生對圓的學習和研究達到最本質(zhì)、最核心的認識與理解是非常必要的。下面舉例說明。

比如圖7是兩塊圓形銅鏡邊緣的殘片，對比這兩塊銅鏡殘片，哪塊銅鏡的面積大呢？

這是對圓的各點均勻性的測查，學生可以借助對圓的特征的理解，通過感性思考一空間想象還原圓的整體，也可以通過理性思考或看弧度，圓越大，彎曲的程度就平緩一些，圓越小，彎曲的程度就越大，或延長外圓，找到半徑，直接判斷半徑的長短來解決。這樣的評價題目是在問題解決的情境中呈現(xiàn)，測評的過程既是調(diào)動學生知識經(jīng)驗進行思考的過程，也是學生對圓的特征再思考、再學習的過程。如果能將這種：思考外化在課堂上，讓不同學生豐富的思維互相磁撞，將會產(chǎn)生更深入的學習效果。

比如請從圖8大圓中描出一個或幾個小圓，使描出的小圓和大圓組成的新圖形的對稱軸的數(shù)量分別：滿足“有無數(shù)條對稱軸”“只有一條對稱軸”只有兩條對稱軸”“只有三條對稱軸”，分別應該怎樣描？

這是對圓的廣泛對稱性的測查，學生需要思考圓的軸對稱的特性，同時在思考多個大小不同的圓組合在一起時對稱軸的數(shù)量發(fā)生變化的過程中對圓的對稱性產(chǎn)生新的認識。

比如圖9中的圓、正方形和等邊三角形，標出中心點A，想象將下面各個圖形繞著中心點A轉(zhuǎn)動，每個圖形至少旋轉(zhuǎn)多少度與原圖形重合？每個圖形旋轉(zhuǎn)一周的過程中與原圖形重合了幾次？

這是對圓的旋轉(zhuǎn)對稱性的測查。學生通過想象與操作會發(fā)現(xiàn)：正方形至少旋轉(zhuǎn)90°與原圖形重合，等邊三角形至少旋轉(zhuǎn)1200與原圖形重合，而圓旋轉(zhuǎn)任意一個角度都可以與原圖形重合;正方形從起始位置旋轉(zhuǎn)一周會與原圖形重合4次，等邊三角形旋轉(zhuǎn)一周能與原圖形重合3次，而圓旋轉(zhuǎn)一周可與原圖形重合無數(shù)次。對圓的這種廣泛的旋轉(zhuǎn)對稱性的認識需要學生在平時的課堂中不斷經(jīng)歷這樣操作、想象的學習活動，從而積累圓的研究的活動經(jīng)驗，在比較中深刻認識圓的旋轉(zhuǎn)對稱性是區(qū)別于其他圖形的獨有特征。比如有以下幾種形狀的硬紙板。

將這幾塊硬紙板分別沿一條直線滾一滾，描出滾動過程中0點留下的痕跡，下面（）痕跡是圓形紙板滾動過程中留下的。

這是對圓的“各點均勻性”和“一中同長”核心本質(zhì)的測查。需要學生想象各個不同圖形中心在運動中高低的不同變化，重點認識和理解圓心的運動痕跡為什么是直線，進而體會圓區(qū)別于其他平面圖形的本質(zhì)特征——圓心到滾動面的距離即圓的半徑，同一個圓半徑是相等的，圓心在運動過程中距離滾動面的高度直等于半徑，保持不變，所以圓心的運動痕跡是一條直線，這也從數(shù)學的角度解釋了“車輪為什么是圓的”其中的道理。我們在日常課堂教學中要讓學生用硬紙板做各種不同形狀的卡邊，描出中心點O，扎出小孔，固定直尺，滾動圖形，想象并描畫中心點的運動痕跡，在觀察、想象、操作、思考、比較中體會各個平面圖形的不同特征，體會圓區(qū)別其他平面圖形的本質(zhì)特征。

再比如在自制的陀螺上點一個黑點，陀螺在旋轉(zhuǎn)時，黑點可形成一個圓形的痕跡（圖12）。

淘氣也自制了幾個陀螺，并點上了黑點（圖13，標出的是插入火柴棍的地方）。以下哪個陀螺在旋轉(zhuǎn)時黑點可形成一個圓形的痕跡？

這個題目也是對圓“一中同長”本質(zhì)特征的測查。我們應在日常的課堂教學中創(chuàng)設這樣的機會，引導學生按照如.上的方式做一做，注意觀察黑點在旋轉(zhuǎn)時的'痕跡，讓學生在動態(tài)操作過程中感悟圓的定點定長，同時展開數(shù)學的想象，體會只要給一個定點，那么以一定長度為距離旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉曲線就是圓，即圓是到定點的距離等于定長的所有點的集合。

再比如用一張正方形紙折疊三次后，沿虛線剪出一個等腰三角形，打開后的圖形接近圓（圖14）。

用一張同樣大的正方形紙這樣折疊四次后，沿虛線剪出一個等腰三角形，打開后的圖形也接近圓（如圖15）。

上述哪一種方式剪出的圖形更接近圓呢？

這個題目是對圓的曲線研究方法的測查，讓學生感悟正多邊形邊的條數(shù)越多，圖形更接近圓，體會正多邊形逼近于圓的極限思想。

此外，還可以根據(jù)圓的面積推導過程，設計進階性的評價題目。比如將一個圓形紙片沿著它的半徑平均分成若干份以后剪開，用它們可以拼成一個近似的平行四邊形（圖16）。已知這個平行四邊形的周長是，16.56厘米，這個圓形紙片的面積是（）平方厘米。

這是對圓的面積推導過程中的深度思考的測查。需要學生深刻理解圓的面積在推導過程中的圖形轉(zhuǎn)化過程和位置對應關系，根據(jù)平行四邊形相鄰兩條邊的長度分別對應圓周長的一半和半徑，反算出圓的半徑，進而計算圓的面積。這樣的評價題目要求教師在教學過程中將圓等分的份數(shù)盡可能多，同時展開數(shù)學想象，逐漸將學生的注意力由“動手”轉(zhuǎn)向“動腦”，啟發(fā)學生深人思考：為什么要盡可能多地等分？在圖形轉(zhuǎn)化過程中什么變了？什么沒變？如果學生能夠體會到在這個過程中圓的周長增加、面積守恒、與轉(zhuǎn)化后的規(guī)則圖形形狀趨近，那么學生對圓的曲線研究方法、極限思想的理解才算真正達到深入。

總之，只有整體而準確地把握了圓的學習最重要的本質(zhì)特征，并在此基礎上，借助評價題目設計撬動課堂教學中圓的學習的過程性思考，帶著這樣的視角和思想去思考并實踐教學，學生對圓的學習對圖形的理解才能達到一個新的高度、深度和階次學生對圖形知識本質(zhì)的認識才能真正地由“學過走向“學會”。

[責任編輯：陳國慶]