王聰培 黃威

摘 要：“數(shù)學(xué)廣角”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的亮點(diǎn)，側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。探究—建構(gòu)教學(xué)模式是以問題為中心，以“尋疑—示疑—探疑—質(zhì)疑—點(diǎn)疑—析疑—留疑”為步驟的教學(xué)過程。以“鴿巢問題”教學(xué)為例，探究—建構(gòu)教學(xué)模式將問題貫徹全過程，重視教師指導(dǎo)，同時(shí)要求教師妥善把握課堂進(jìn)程。探究—建構(gòu)模式在“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)中的應(yīng)用，有助于把學(xué)生培養(yǎng)成有獨(dú)立數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想的人。

關(guān)鍵詞：探究—建構(gòu)教學(xué)模式;數(shù)學(xué)廣角;數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G623.5? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：2095-5995（2020）02-0048-04

一、問題的提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中提出，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生主動(dòng)地、富有個(gè)性地學(xué)習(xí)，[1]不斷增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。為有效落實(shí)這一目標(biāo)，人教版教科書從二年級上冊到六年級下冊的最后一個(gè)單元特別增設(shè)了“數(shù)學(xué)廣角”這一板塊，期望通過生動(dòng)有趣的生活化案例與數(shù)學(xué)故事，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，系統(tǒng)且有步驟地引導(dǎo)學(xué)生感悟和理解數(shù)學(xué)思想方法。然而，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐中，教師對“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)卻存在諸多問題。一方面，部分?jǐn)?shù)學(xué)教師對“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)目標(biāo)把握不準(zhǔn)，把“數(shù)學(xué)廣角”與其他單元等同視之，在課堂上往往重視問題解決而輕視思想方法，或重視方法灌輸而輕視過程指導(dǎo);另一方面，由于“數(shù)學(xué)廣角”缺乏相關(guān)的教學(xué)實(shí)施建議，許多教師在課堂上隨意對待，既不重視教學(xué)方法的選取，也不重視教學(xué)材料的組織，“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)時(shí)常演變成學(xué)生的自學(xué)課或閱讀課。很顯然，諸如此般的“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)并未遵循編者的初心，其結(jié)果只能是與培育學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)背道而馳。

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)者對于整個(gè)問題或?qū)W習(xí)任務(wù)擁有自主權(quán)，教師教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的自我控制技能，使學(xué)生成為自主的學(xué)習(xí)者。[2]探究—建構(gòu)教學(xué)模式由王培德提出，是指導(dǎo)學(xué)生以積極探索的方式建立知識(shí)結(jié)構(gòu)和能力結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生體驗(yàn)個(gè)性化的認(rèn)知過程，實(shí)現(xiàn)心理結(jié)構(gòu)自我構(gòu)建的教學(xué)模式?！皵?shù)學(xué)廣角”理想的教學(xué)效果是學(xué)生能用“數(shù)學(xué)廣角”學(xué)習(xí)過程中獲得的思考問題的方法去解決生活中的實(shí)際問題。探究—建構(gòu)教學(xué)模式下，學(xué)生的求疑、釋疑心理能更加精確地為教師所捕捉;在教師引導(dǎo)下自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究問題、解決問題的過程中，學(xué)生能從數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等多個(gè)維度有所收獲，進(jìn)而提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、探究—建構(gòu)教學(xué)模式下“鴿巢問題”的教學(xué)過程 雅斯貝爾斯認(rèn)為，教育者不能無視學(xué)生的現(xiàn)實(shí)處境和精神狀況，而認(rèn)為自己比學(xué)生優(yōu)越，對學(xué)生耳提面命，不能與學(xué)生平等相待，更不能向?qū)W生敞開自己的心扉，這樣的教育者制定的教學(xué)計(jì)劃，必然以自我為中心。當(dāng)教師只是把答案灌輸給學(xué)生以便讓他們記住時(shí)，他（她）會(huì)把學(xué)生推回到機(jī)械的、自然的水平，在這個(gè)水平上，學(xué)生將退化成無動(dòng)機(jī)或條件反射式的動(dòng)物。[3]教學(xué)必須由“目中無人”轉(zhuǎn)變?yōu)椤澳恐杏腥恕?，直至“全身心育人”。探究—建?gòu)教學(xué)模式主張教師與學(xué)生以問題為中心共同探究，在學(xué)習(xí)過程中增進(jìn)彼此的了解與信任，使師生之間的情感發(fā)生碰撞，讓教師得以進(jìn)入學(xué)生的精神世界，構(gòu)建知識(shí)與情感相互交融的師生共同體，增強(qiáng)學(xué)生自我效能感，促使學(xué)生個(gè)性的成長。本模式中的“探究”是指學(xué)生積極參與教師教學(xué)的全過程，獨(dú)立探索或共同探索而達(dá)成主動(dòng)學(xué)習(xí)的活動(dòng)。本模式中“建構(gòu)”是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是主動(dòng)的建構(gòu)過程，而不是被動(dòng)地接受過程。學(xué)生在探究學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上，自主建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而完善自身心理結(jié)構(gòu)。本教學(xué)模式的主要教學(xué)環(huán)節(jié)分為7個(gè)階段：尋疑，示疑，探疑，質(zhì)疑，點(diǎn)疑，析疑，留疑。

（一）尋疑——課前預(yù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)問題

“尋疑”是學(xué)生課前預(yù)習(xí)的中心任務(wù)，其目的在于讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)其認(rèn)知的疑難點(diǎn)。尋疑不僅能培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，使其養(yǎng)成良好的課前預(yù)習(xí)習(xí)慣，也可以改變其過度依賴教師、被動(dòng)學(xué)習(xí)的局面。這樣一來，學(xué)生在課上會(huì)帶著課前預(yù)習(xí)發(fā)現(xiàn)的問題投入學(xué)習(xí)，這無疑激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激活了學(xué)生的求知欲望。如在學(xué)習(xí)“鴿巢問題”之前，學(xué)生需要自主預(yù)習(xí)教科書第68頁至第70頁，細(xì)讀并思考教科書上的三個(gè)例題。預(yù)習(xí)之后，學(xué)生往往對“總有”“一定有”“至少”等較為抽象的邏輯判斷詞匯會(huì)產(chǎn)生一定的困惑，且難以理解例題的推導(dǎo)過程。

（二）示疑——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，揭示問題

在學(xué)生尋疑的基礎(chǔ)上，教師要有目的地引入或創(chuàng)造具有一定情境的、以形象為主體的、生動(dòng)具體的場景，借助這些物景來闡述主要的典型問題。對于學(xué)生無法利用已有知識(shí)解決的問題，教師要以真實(shí)情境的方式呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地參與到課堂中來。如在學(xué)習(xí)“鴿巢問題”之初，教師可以利用學(xué)生熟悉的撲克牌設(shè)計(jì)游戲。教師將手中的撲克牌去掉兩張王，請5位同學(xué)上臺(tái)，隨機(jī)抽出一張，并由教師猜花色。三輪游戲過后，教師總是猜測“至少有兩張牌的花色是相同的”，這就激起了學(xué)生的好奇心。此時(shí)，教師就可以將問題進(jìn)行歸納并予以清晰闡述，進(jìn)而切入本節(jié)課的主題“鴿巢問題”，帶領(lǐng)學(xué)生展開探究。

（三）探疑——深入課堂，緊扣問題

第斯多惠說：一個(gè)壞的老師奉送真理，一個(gè)好的老師則教人發(fā)現(xiàn)真理。教師把握好了探疑，也就抓住了課堂教學(xué)的脈搏。探疑是對創(chuàng)設(shè)情境所揭示的問題進(jìn)行反復(fù)、持續(xù)的探究。在探索過程中學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生許多對解決問題有利的想法，教師應(yīng)集中地把較有代表性的列出來，引導(dǎo)學(xué)生分析和預(yù)測該方法的可行性。如，教師出示例1——“把4個(gè)蘋果放進(jìn)3個(gè)抽屜里，可以怎么放？”教師可以組織學(xué)生以個(gè)人或同桌為單位，利用學(xué)具或畫圖來探討擺放方法，并做好詳細(xì)記錄。學(xué)生通過交流反饋后，發(fā)現(xiàn)有四種不同的方法：（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1）。隨后教師可請學(xué)生用語言表述這四種方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化的表達(dá)。在隨后幾組練習(xí)中，教師就可以與學(xué)生共同總結(jié)出這樣的結(jié)論：不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)了2個(gè)蘋果。這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生抓住“總有”“至少”兩個(gè)關(guān)鍵詞，進(jìn)一步對“總有”“至少”的含義作出規(guī)范性描述，以此強(qiáng)化學(xué)生對相關(guān)聯(lián)的邏輯判斷詞進(jìn)行整理和區(qū)分的能力。

（四）質(zhì)疑——發(fā)散思維，審思問題

古人云：“于不疑處有疑，方是進(jìn)矣。”質(zhì)疑，就是要不斷啟發(fā)學(xué)生提出有明確指向性的問題。教師要鼓勵(lì)學(xué)生從不同方向、不同角度質(zhì)疑，尤其要注重培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑的及時(shí)性。對于學(xué)生腦子里常常出現(xiàn)的閃念，教師切不可置若罔聞。這種閃念，往往意味著學(xué)生思維進(jìn)入最佳狀態(tài)，是最富有創(chuàng)造性的時(shí)候。閃念的價(jià)值十分珍貴，一旦出現(xiàn)，教師就可以借此拓展和深化教學(xué)內(nèi)容。如教師提問，將100個(gè)蘋果放進(jìn)99個(gè)抽屜，一個(gè)抽屜至少有幾個(gè)蘋果？學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)用枚舉法解決此問題存在困難。這時(shí)教師要及時(shí)指出，枚舉法適用于數(shù)量較少的問題，詢問學(xué)生是否還有其他的方法，尤其是針對數(shù)量較多的情況?？梢?，利用好閃念，教師可以順勢推進(jìn)課堂教學(xué)。

（五）點(diǎn)疑——點(diǎn)撥迷津，拓展問題

在學(xué)生質(zhì)疑的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)根據(jù)問題的性質(zhì)、難易或綜合程度給予啟發(fā)性指導(dǎo)，引導(dǎo)他們學(xué)會(huì)如何思考，進(jìn)一步激發(fā)他們的求知?jiǎng)訖C(jī)。教師需要?jiǎng)?chuàng)造一個(gè)愉快輕松的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生自由學(xué)習(xí)。在啟發(fā)過程中，教師可以通過提問來檢查學(xué)生的思維，但在提問中要盡力避免引導(dǎo)或暗示，給予的點(diǎn)撥要恰當(dāng)、得體，以給學(xué)生留有思考余地。如，在熟悉教科書上的例題后，針對教師拋出的“怎樣才能使這個(gè)抽屜里放進(jìn)的蘋果盡可能少呢？”這一問題，學(xué)生表示可以先把蘋果平均分，然后把剩下的蘋果再放入其中一個(gè)抽屜。教師繼而追問平均分的目的是什么，并組織學(xué)生討論交流。隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生展開分析，從最不利的情況來考慮，先平均分，假設(shè)每個(gè)抽屜里都放進(jìn)1個(gè)蘋果，就可以使放的較多的這個(gè)抽屜里的蘋果盡可能少，學(xué)生能很快地得出不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)了2個(gè)蘋果的結(jié)論。教師繼續(xù)提問，這種情況怎么用算式表示出來呢？然后請學(xué)生上臺(tái)板書：4÷3=1……1，1+1=2。最后，教師小結(jié)：在數(shù)學(xué)上我們把這種方法叫作假設(shè)法。

（六）析疑——解惑答疑，升華問題

在質(zhì)疑和點(diǎn)疑的基礎(chǔ)上，教師通過析疑來進(jìn)一步調(diào)動(dòng)學(xué)生探索欲望，有助于學(xué)生思維的發(fā)展。學(xué)起于思，思源于疑，有疑才能有思，無思則不能釋疑。教師釋疑可以使學(xué)生初步形成圖式結(jié)構(gòu)，從一種情境遷移到另一種情境，并將漸趨復(fù)雜的圖式結(jié)構(gòu)系統(tǒng)建構(gòu)為自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教師析疑不是簡單地回答學(xué)生的問題，而是和學(xué)生一起共同探討解決問題的辦法。析疑給學(xué)生和教師都提供了共同創(chuàng)造成功、體驗(yàn)成功的機(jī)會(huì)和條件，使教師和學(xué)生共享成功的喜悅。如學(xué)生對于假設(shè)法解題中到底是“商+1”還是“商+余數(shù)”存在爭議，這時(shí)教師出示練習(xí)題，讓學(xué)生在不同的問題中去歸納總結(jié)。學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練，能獨(dú)立解決問題，交流反饋后最終知道答案是“商+1”。教師再次強(qiáng)調(diào)，學(xué)生完成相應(yīng)練習(xí)時(shí)，一定要搞清楚什么是“抽屜”，什么是“蘋果”。教師總結(jié)課堂內(nèi)容，歸納得出：把多于n個(gè)的蘋果放進(jìn)n個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里有2個(gè)或2個(gè)以上的蘋果。這就是“抽屜原理”，也叫“鴿巢問題”。

（七）留疑——反思余味，留下問題

在析疑之后，即基本完成了課堂教學(xué)任務(wù)之后，教師可留下富有啟發(fā)性和開放性的思考題，給學(xué)生充分的思考余地和廣闊的探索空間。留疑過程應(yīng)充分考慮學(xué)生的個(gè)體差異，學(xué)生的基礎(chǔ)不同，課堂吸收率也不盡相同。教師可布置4個(gè)題目，讓學(xué)生根據(jù)自身情況去完成。第一題：咱們班上有45個(gè)學(xué)生，那么至少有幾個(gè)同學(xué)在同一個(gè)月生日？第二題：把11本書放進(jìn)3個(gè)抽屜，那至少有一個(gè)抽屜有幾本書呢？第三題：劉阿姨參加飛鏢比賽，投了5鏢，戰(zhàn)績是41環(huán)。劉阿姨至少有一鏢不低于9環(huán)，為什么？第四題：一個(gè)口袋里放有若干個(gè)紅黃藍(lán)三種顏色的球，先從中取出一些球，至少要取出多少球才一定會(huì)有2個(gè)球的顏色是一樣的？這些問題可以幫助學(xué)生鞏固復(fù)習(xí)和深入思考如何用數(shù)學(xué)語言表示鴿巢問題。

三、探究—建構(gòu)模式下“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)中需注意的問題 “數(shù)學(xué)廣角”以大眾化的、生活化的方式反映數(shù)學(xué)的思想與方法，使學(xué)生在貼近實(shí)際的問題情境中，通過觀察、操作、思考、交流和運(yùn)用，逐步形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)，感受數(shù)學(xué)創(chuàng)造的樂趣，增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。在探究—建構(gòu)教學(xué)模式下，“數(shù)學(xué)廣角”的學(xué)習(xí)始終是學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系、形成問題解決能力、發(fā)展學(xué)科思維品質(zhì)的過程。在學(xué)習(xí)的全過程尤其是課堂教學(xué)中，教師要找好自己的角色定位，積極引導(dǎo)學(xué)生全程參與探究，以便學(xué)生有效地建構(gòu)和發(fā)展自己的知識(shí)體系和思維結(jié)構(gòu)。值得注意的是，要恰到好處地利用探究—建構(gòu)教學(xué)模式進(jìn)行“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)，教師需要從全局上正確、合理地把握該模式的核心特征，以便在教學(xué)時(shí)融會(huì)貫通。

（一）將問題貫穿始終

陳獻(xiàn)章曾指出：“學(xué)貴有疑，大疑大進(jìn)，小疑小進(jìn)，疑而能問，已得智識(shí)之半?！盵4]在探究—建構(gòu)教學(xué)模式中，問題始終貫穿于教學(xué)的全過程，含括在尋疑、示疑、探疑、質(zhì)疑、點(diǎn)疑、析疑和留疑每一環(huán)節(jié)中，即教師在尋疑時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，在示疑時(shí)幫助學(xué)生明確問題，在探疑時(shí)引導(dǎo)學(xué)生抓住問題，在質(zhì)疑時(shí)推動(dòng)學(xué)生審視問題，在點(diǎn)疑時(shí)輔助學(xué)生解決問題，在析疑時(shí)帶動(dòng)學(xué)生拓展問題，在留疑時(shí)提倡學(xué)生應(yīng)用問題。值得注意的是，在作為課堂主體部分的探疑階段，教師要通過個(gè)人或小組合作學(xué)習(xí)的形式讓學(xué)生自由探索，積極參與，大膽闡釋問題。當(dāng)然，并非學(xué)生的每一次探索都能產(chǎn)生與解決問題直接相關(guān)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，但其意義絕不僅僅在于尋得正確答案，而在于激發(fā)學(xué)生對問題的敏感性和好奇心，使學(xué)生養(yǎng)成批判性思維，形成自己獨(dú)立的見解，這是教學(xué)中可遇而不可求的生成性、創(chuàng)造性成果。在析疑階段，教師也不能單單關(guān)注學(xué)生回答問題的對錯(cuò)，而是要因勢利導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)遷移，培養(yǎng)學(xué)生跨情境思考問題的能力。

（二）重視教師指導(dǎo)

以往探究教學(xué)中存在一個(gè)很大的問題：學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性被調(diào)動(dòng)起來了，課堂上呈現(xiàn)出活躍的氛圍，但實(shí)際上學(xué)生并未完全掌握教師預(yù)設(shè)的教學(xué)內(nèi)容。導(dǎo)致這種現(xiàn)象的一個(gè)重要原因就是教師缺乏對學(xué)生學(xué)習(xí)過程進(jìn)行針對性指導(dǎo)。探究—建構(gòu)教學(xué)模式是突出學(xué)生主體地位的教學(xué)法，遵循該模式的教學(xué)是師生雙邊的活動(dòng)過程，也是師生相互依賴、相互合作的辯證統(tǒng)一過程。教師要明確自身角色定位，即組織者和引導(dǎo)者而非問題解題者，同時(shí)也要引導(dǎo)和督促學(xué)生成為主動(dòng)探索知識(shí)的建構(gòu)者，而非單純的模仿者。在課堂中，教師要善于捕捉學(xué)生的“認(rèn)知失衡點(diǎn)”，把握學(xué)生的學(xué)習(xí)心理特征，然后以平等、尊重的態(tài)度鼓勵(lì)學(xué)生積極參與到教學(xué)活動(dòng)中來，循序漸進(jìn)地啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生共同探索，與學(xué)生一起感受、體驗(yàn)成

功和挫折，生成、分享和交流成果。

（三）妥善把握課堂進(jìn)程

探究—建構(gòu)教學(xué)模式的教學(xué)過程分為七個(gè)環(huán)節(jié)，看起來操作比較煩瑣，教學(xué)節(jié)奏不易把控，課堂效率較低，教學(xué)目標(biāo)難以達(dá)成。實(shí)際上，教師只要課前認(rèn)真?zhèn)湔n，把握課程標(biāo)準(zhǔn)的理念和要求，熟悉教科書中的關(guān)鍵性內(nèi)容，了解學(xué)生認(rèn)知和理解上的疑難點(diǎn);課中營造一種輕松、愉悅、活潑的氛圍，然后充分利用自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)調(diào)節(jié)課堂進(jìn)程，妥善處理好各環(huán)節(jié)的銜接;課后注重教學(xué)反思與學(xué)生反饋，就能取得不錯(cuò)的教學(xué)效果。當(dāng)然，盡管新授課強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)的實(shí)效性，但教師切不可因一味追趕教學(xué)進(jìn)度而忽略了學(xué)生提出的有意義、有價(jià)值的想法和觀點(diǎn)，以免影響了學(xué)生的積極性，得不償失。

“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)意在培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，讓學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的能力。在“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的自主建構(gòu)，使學(xué)生愛學(xué)、會(huì)學(xué)、活學(xué)。由愛學(xué)而入境，會(huì)學(xué)而曉理，活學(xué)而動(dòng)情，整個(gè)教學(xué)系統(tǒng)就能產(chǎn)生最大限度的共鳴。[5]教師運(yùn)用探究—建構(gòu)教學(xué)模式來對“數(shù)學(xué)廣角”實(shí)施教學(xué)，可以把學(xué)生培養(yǎng)成有獨(dú)立數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想的一代新人。

（王聰培 黃威，湖南師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院，長沙 410081）

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（責(zé)任編輯：徐 璐）