林水助

在實(shí)施新課改之前，我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育重視演繹推理，而在實(shí)施新課改后，演繹推理相對(duì)來說被弱化，與之相比，合情推理得到重視。一線的中小學(xué)教師，還有一些高校學(xué)者都積極投入到對(duì)“合情推理”的研究當(dāng)中去，試圖在教學(xué)活動(dòng)中引入合情推理，為的是契合課標(biāo)的要求，而演繹推理在數(shù)學(xué)上是作為一種嚴(yán)格的推理方法使用，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的體現(xiàn)。 因此，合情推理與演繹推理是相輔相成的。

筆者以具體案例加以闡述，以執(zhí)教新北師大版六年級(jí)下冊(cè)第一單元復(fù)習(xí)中一實(shí)踐活動(dòng)為例，本課教材中，設(shè)計(jì)了一個(gè)用4張完全一樣的長方形紙（長16cm，寬4cm）卷成不同的圓柱形的活動(dòng)，其實(shí)踐活動(dòng)目的是通過 “用長方形紙卷圓柱形”的探索活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的圓柱的表面積和體積的知識(shí)，經(jīng)歷探索規(guī)律的過程，體會(huì)一些變量之間的關(guān)系。教學(xué)重難點(diǎn)：體會(huì)在圓柱側(cè)面積相等的情況下，體積不等，理解其原由。

一、運(yùn)用合情推理，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人學(xué)習(xí)和生活經(jīng)常使用的思維方式。在小學(xué)階段，主要學(xué)習(xí)合情推理，即歸納推理和類比推理。而歸納推理又多表現(xiàn)為不完全歸納推理”。在本課教學(xué)中，先采用合情推理中的不完全歸納法推理，讓學(xué)生經(jīng)過觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、比較，再進(jìn)行歸納、類比，驗(yàn)證得出規(guī)律。

教學(xué)實(shí)例簡述：

1、觀察和猜想

教師拿出兩張同樣的長方形紙，一張橫著卷成圓柱形，另一張豎著卷成圓柱形，兩個(gè)圓柱的體積一樣大嗎？學(xué)生出現(xiàn)不同的意見：兩個(gè)圓柱的體積一樣大，兩個(gè)圓柱的體積不一樣大，認(rèn)為粗短的圓柱體積大，或覺得細(xì)長的圓柱體積大。

2、實(shí)驗(yàn)和比較

學(xué)生小組合作完成驗(yàn)證活動(dòng)，將紙圍成不同的圓柱，把測(cè)量和計(jì)算的數(shù)據(jù)填在下面的表格中。

學(xué)生得出結(jié)論：側(cè)面積相等時(shí)，粗短的圓柱體積大，細(xì)長的圓柱體積小。

3、歸納和類比

把兩張這樣的長方形紙橫著對(duì)折，沿著虛線剪開，將兩張長方形紙換個(gè)方向粘在一起（接口處忽略不計(jì)）。得到兩張新的長方形紙，長32cm，寬2cm。一張橫著卷成圓柱形，另一張豎著卷成圓柱形。把測(cè)量和計(jì)算的數(shù)據(jù)填在表格中。

4、驗(yàn)證得出規(guī)律

學(xué)生把四個(gè)圓柱形按體積由大到小排列，討論得出規(guī)律：在側(cè)面積相等時(shí)，圓柱的底面積越小，它的體積就越小;圓柱的底面積越大，它的體積就越大。

剛才的活動(dòng)過程，就是一個(gè)猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證的過程，我們根據(jù)一些實(shí)例得出了這個(gè)規(guī)律，但學(xué)生還是不明白其中的原由。我們通過合情推理得出在側(cè)面積相等時(shí)，圓柱的底面積越小，它的體積就越小;圓柱的底面積越大，它的體積就越大，但是為什么呢？其中的原由需要運(yùn)用演繹推理來加以驗(yàn)證理解。

二、妙用演繹推理，驗(yàn)證理解。

1、接軌初中的演繹推理

引導(dǎo)學(xué)生列式研究，比如這個(gè)長方形紙的長為a，寬為b，且a>b。得出結(jié)論：以b為底面周長、a為高，V=Л（ ） a= ，以a為底面周長、b為高，V=Л（ ） b= ）可是根據(jù)班級(jí)實(shí)際情況，這種演繹推理的證明可以使班里一些優(yōu)秀學(xué)生得到提高，但不作為基本要求。

2、適用六年級(jí)級(jí)的演繹推理

教學(xué)實(shí)例簡述：

（1）半徑擴(kuò)大2倍，高縮小到原來的 ，體積的變化

把兩張這樣的長方形紙橫著對(duì)折，沿著虛線剪開，將兩張長方形紙換個(gè)方向粘在一起（接口處忽略不計(jì)）。得到兩張新的長方形紙，長32cm，寬2cm。一張橫著卷成圓柱形，另一張豎著卷成圓柱形。

長32cm，寬2cm。一張橫著卷成圓柱形與剛開始的長方形長16cm，寬4cm的長方形橫著卷成圓柱形進(jìn)行對(duì)比，長（也就是圓柱形的底面周長）擴(kuò)大2倍，寬（也就是圓柱形的高）縮小到原來的 ，體積會(huì)有什么變化？剛開始大部分學(xué)生認(rèn)為不變。學(xué)生通過實(shí)際計(jì)算發(fā)現(xiàn)體積是變大了，再把這兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，找出其中原由。

長（也就是圓柱形的底面周長）擴(kuò)大2倍，半徑也是擴(kuò)大2倍，因?yàn)榈酌娣e=半徑×半徑×∏，所以底面積擴(kuò)大4倍，高縮小到原來的 ，圓柱的體積=底面積×高，推出體積擴(kuò)大2倍，從表格里的數(shù)據(jù)可以再次驗(yàn)證。

（2）半徑縮小到原來的 ，高擴(kuò)大2倍，體積的變化

同理，長32cm，寬2cm。另一張豎著卷成圓柱形與剛開始的長方形長16cm，寬4cm的長方形豎著卷成圓柱形進(jìn)行對(duì)比，寬（也就是圓柱形的底面周長）縮小到原來的 ，長（也就是圓柱形的高）擴(kuò)大2倍，體積會(huì)有什么變化？學(xué)生通過實(shí)際計(jì)算發(fā)現(xiàn)體積是縮小了，再把兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，找出其中原由。

寬（也就是圓柱形的底面周長）縮小到原來的 ，半徑也是縮小到原來的 ，因?yàn)榈酌娣e=半徑×半徑×∏，所以縮小到原來的 ，高擴(kuò)大2倍，圓柱的體積=底面積×高，推出體積縮小到原來的 ，從表格里的數(shù)據(jù)可以再次驗(yàn)證。

（3）長方形的面積相等，長和寬的變化成反比例。

由于長方形的面積相等，長和寬的變化成反比例，長擴(kuò)大幾倍（或縮小到原來的幾分之幾），寬反而縮小到原來的幾分之幾（或擴(kuò)大倍），半徑會(huì)擴(kuò)大或縮小到原來的幾分之幾，相應(yīng)的底面積會(huì)擴(kuò)大（或縮小）平方倍。固底面積的大小決定因素較大。所以可以得出，側(cè)面積相等時(shí)，粗短的圓柱體積大，細(xì)長的圓柱體積小。

三、教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的基礎(chǔ)上發(fā)展演繹推理

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人學(xué)習(xí)和生活經(jīng)常使用的思維方式。在小學(xué)階段，主要學(xué)習(xí)合情推理，即歸納推理和類比推理。而歸納推理又多表現(xiàn)為不完全歸納推理”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如能重視強(qiáng)化學(xué)生的推理意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，既有利于幫助學(xué)生形成言必有據(jù)一絲不茍的良好習(xí)慣，也有利于學(xué)生掌握科學(xué)的思維方法，促進(jìn)已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、技能的有效遷移，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

對(duì)于小學(xué)六年級(jí)的學(xué)生，老師應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力，但要求上盡量還是循序漸進(jìn)。而合情推理對(duì)學(xué)生來說，就顯得容易得多，且形式多樣，學(xué)生可以通過動(dòng)手做一做、試一試、猜一猜、想一想、可以通過單獨(dú)思考、小組交流等形式，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展培養(yǎng)合情推理能力。學(xué)生的合情推理能力強(qiáng)了，有助于演繹推理能力的培養(yǎng)和提高，所以這兩種推理方式是相輔相成的。也可以說是“吹盡黃沙始見金”吧。