姜勇鋼

(江蘇省海門市第一中學 226100)

一、四心的定義和基本關系

在這里，我們所強調的“四心”主要是指在一個三角形當中的重心、垂心、外心和內心.重心是三角形三條中線的交點，我們通常用G來表示；而垂心是三角形三條高線的交點，用H表示；外心是三角形三條中垂線的交點，用O表示；內心就是三角形的三條角平分線的交點，用I表示.以下面這個三角形為例，三角形的重心、垂線、外心、內心在三角形中的大致位置如圖所示，在此三角形中，三角形的四心都是有不同的向量表示的，現(xiàn)給大家整理了這樣一些結論，更方便同學們在學習的時候快速記憶.具體表示如下：

圖1

我們在解決向量問題當中提到的四心就是以上的這四種向量的關系，雖然常規(guī)來看內容還是蠻簡單的，但是理解起來卻有很大的難度，而且這類題目在短時間內肯定是搞不定的，所以我們在求解問題的過程中，一定要把題目特殊化，即要把題目當中給出的三角形特殊化，想象成等腰直角三角形，切記不要變成等邊三角形，這是因為等邊三角形四心合一，即重心、垂心、外心、內心四個心是同一個點.而等要直角三角形的四心就不是同一個心，但是這四心卻都在一條高線上，如圖1所示.正是由于很多的三角形都不滿足這個關系，而只有在等腰直角三角形中，這四個心才能進行區(qū)分，而且這四個心都在高線CD上，這樣一來題目就能夠很快地得到解決.下面將具體以實際問題來給同學們呈現(xiàn)這種題目的分析過程和解題思路.

二、利用基本關系解決實際問題

審題的過程是非常關鍵的，同學們在解答問題的時候，應該按照一定的技巧來進行思考，這樣更容易得出正確的答案.先看例題一：

A.外心 B.垂心 C.內心 D.重心

分析在同學們拿到這道題目的時候，首先應該把這個三角形特殊成一個等腰直角三角形來對題目要求進行判斷，接下來我們假設這個等腰直角三角形的腰長為2，則三角形的關系以及各邊的長如圖2所示.

圖2

那么接下來我們試著做一種假設，如果A選項是正確的，那么題目中出現(xiàn)的點O就應該在D點的位置上，接下來我們試著把數(shù)值代入到題目中給出的關系當中來進行判斷：

這樣看來A選項是不正確的.也許有些同學不明白為什么這樣判斷，其實我們把題目內容賦予一個特殊值，如果特殊值不滿足題目的某選項，那么就可以判斷這個選項是不正確的.同學們接著按照這種思路來看B選項是否正確：

圖3

若題目中的點O是三角形的垂心，那么點O應該在C點的位置上，如圖3所示.繼續(xù)對題目當中給出的關系代入特殊數(shù)值進行驗證，可以得到

接下來我們再看例題二：

分析在這道題目的審題過程中，我們仍然采取相同的做法，先把這個等腰直角三角形畫出來，然后把題目中給出的已知條件進行推導和轉換，如圖4所示.

圖4

所以即可求得m=1.

雖然四心問題聽起來很可怕，看起來公式也比較繁瑣，但是如果同學們能夠扎實的掌握，在平常的考試或練習當中一旦出現(xiàn)了這樣的一種問題，同學們就能快速地運用公式或是各個“心”在等腰直角三角形當中的位置快速地解出問題的答案.