胡劍

[摘要]數(shù)形結(jié)合策略可以將抽象的數(shù)量關(guān)系具體化，把無(wú)形的解題思路形象化。數(shù)形結(jié)合中，“數(shù)”與“形”的信息相互滲透，通過(guò)幾何圖形的“翻譯”、數(shù)字信息的“轉(zhuǎn)換”、線段圖的“呈現(xiàn)”、數(shù)的特征的“構(gòu)造”一系列的有意識(shí)訓(xùn)練，使學(xué)生思維的廣度、深度、靈敏性與準(zhǔn)確性都得到充分的發(fā)展，不僅使解題簡(jiǎn)捷迅速，還開(kāi)拓解題思路，讓思維看得見(jiàn)、摸得著。

[關(guān)鍵詞]轉(zhuǎn)化;數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)思想方法;思維

[中圖分類(lèi)號(hào)]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)] 1007-9068（ 2020） 29-0033-03

數(shù)學(xué)思想方法有很多，數(shù)形結(jié)合就是其中的一種，它在實(shí)踐中的應(yīng)用是比較廣泛的。一方面，通過(guò)圖形的性質(zhì)將許多比較抽象的數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)概念簡(jiǎn)單化、形象化，增強(qiáng)直觀感;另一方面，把圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，可以獲得準(zhǔn)確的結(jié)論。思維是無(wú)形的，數(shù)形結(jié)合策略能為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧?，可以將抽象的?shù)量關(guān)系具體化，把無(wú)形的解題思路形象化，讓思維看得見(jiàn)、摸得著。馬云鵬教授說(shuō)：“數(shù)學(xué)基本思想是研究數(shù)學(xué)科學(xué)不可缺少的思想，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，理解和掌握數(shù)學(xué)所應(yīng)追求和達(dá)成的目標(biāo)?！薄皵?shù)學(xué)的思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，特別是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所運(yùn)用的方法。這些方法一般來(lái)講是具有一定的可操作性，同時(shí)反映數(shù)學(xué)的某些思想，不是一般意義上的具體方法。”數(shù)形結(jié)合中“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，其實(shí)就是一種相互轉(zhuǎn)化、相互滲透。一線教師要怎樣來(lái)搭建“數(shù)”與“形”的這座橋呢？不妨通過(guò)以下四個(gè)途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)。

一、數(shù)形結(jié)合，可以通過(guò)幾何圖形來(lái)“翻譯”

人與幾何的關(guān)系，可以追溯到幾千年前。人類(lèi)早期的世界觀，往往是通過(guò)幾何來(lái)構(gòu)建的。中國(guó)人對(duì)世界的理解，可以用方與圓來(lái)表示。圓代表了整體和統(tǒng)一，是順從而包容的;方則是圓的推演和發(fā)展，包含了秩序和規(guī)則。兩千多年前，柏拉圖就說(shuō)過(guò)：“上帝將以幾何的形式永存?！睆囊稽c(diǎn)一線開(kāi)始，以無(wú)窮無(wú)盡結(jié)束。幾何看似簡(jiǎn)單，卻能延伸出復(fù)雜多變的邏輯。幾何，是實(shí)實(shí)在在的從“無(wú)形”變“有形”。

數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，又必須符合現(xiàn)實(shí)。數(shù)形結(jié)合，能較好地促進(jìn)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際，靈活解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)。在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)“翻譯”成圖形，可啟發(fā)思維，找到解題思路。

【例題】有若干臺(tái)機(jī)器需要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)共同完成一項(xiàng)作業(yè)。如果增加2臺(tái)，只需要規(guī)定時(shí)間的7/8就能完成;如果減少2臺(tái)，則要推遲2/3小時(shí)才能做完。問(wèn)：一臺(tái)機(jī)器完成這項(xiàng)作業(yè)需要幾小時(shí)？

【分析與解答】教師先引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出示意圖（如圖1）。用AB表示原來(lái)完成這項(xiàng)工作所需要的機(jī)器臺(tái)數(shù)，用AF表示所需要的時(shí)間，因此長(zhǎng)方形ABEF的面積就是完成這項(xiàng)作業(yè)的工作總量。

師：長(zhǎng)方形ABEF的面積與長(zhǎng)方形ACDG的面積相等嗎？為什么？（相等，因?yàn)楣ぷ骺偭恳粯樱?/p>

師：那么面積①與面積②呢？（也相等）為什么？（同時(shí)減去空白部分面積后剩余面積也相等）

（師板書(shū)：②的面積=2×7/8，①的面積=（1一7/8）×原來(lái)的臺(tái)數(shù)）

師：現(xiàn)在能算出原來(lái)的臺(tái)數(shù)嗎？請(qǐng)算出來(lái)。

生1：2×7/8÷（1一7/8）=14（臺(tái)）。

師：用同樣的思維方法算出原時(shí)間（如圖2）。

生2：根據(jù)①②面積相等很容易列出算式（ 14-2）×2/3÷2=4（小時(shí)），從而算出一臺(tái)機(jī)器完成這項(xiàng)作業(yè)需要14x4=56（小時(shí)）。

顯然，解決這道題的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)：一是等量關(guān)系，工作效率×工作時(shí)間=工作總量，對(duì)應(yīng)著另外一個(gè)等式，長(zhǎng)×寬=長(zhǎng)方形面積;二是等積變形，工作總量是不變的，面積相等，同時(shí)減去相同的面積后也相等。

學(xué)生大多趨向定向思維，但這種思維往往會(huì)降低解題的速度和質(zhì)量。因此，引導(dǎo)學(xué)生從定向思維走出來(lái)，是突破難點(diǎn)的重要手段，教師正確引導(dǎo)就會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。教師在備課時(shí)要根據(jù)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)習(xí)慣，認(rèn)真設(shè)計(jì)習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行由數(shù)到形的思維轉(zhuǎn)變，要求學(xué)生帶著這種思維去想、去看、去思考。

二、數(shù)形結(jié)合，可以從數(shù)字信息入手來(lái)“轉(zhuǎn)換”

從“數(shù)”中提取信息，然后構(gòu)造成“形”，著眼點(diǎn)還是來(lái)自課本基礎(chǔ)知識(shí)。教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生看問(wèn)題從哪人手、從什么角度看，找出問(wèn)題內(nèi)在的規(guī)律，怎么從數(shù)字信息中來(lái)架構(gòu)這個(gè)形，逐步形成由淺人深，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。

【例題】已知五個(gè)數(shù)依次是13、12、15、25、20，它們每相鄰的兩個(gè)數(shù)相乘得到四個(gè)數(shù)，這四個(gè)數(shù)每相鄰兩個(gè)數(shù)相乘得到三個(gè)數(shù)……最后乘得一個(gè)數(shù)。問(wèn)：最后這個(gè)數(shù)的末尾有幾個(gè)連續(xù)的07

【分析與解答】本題只告訴我們數(shù)字信息，如果按要求逐次相乘，求得最后的積后再數(shù)出有幾個(gè)0，顯然不是個(gè)好辦法。本題中，要得到一個(gè)0，必須要有一個(gè)2和一個(gè)5相乘。那么要想知道最后的乘積末尾有幾個(gè)0，就必須清楚這個(gè)數(shù)的因數(shù)中有幾個(gè)2、幾個(gè)5。不妨按如下方法來(lái)求。

師：先求有幾個(gè)因數(shù)2。13的因數(shù)中無(wú)2，記作“0”;12的因數(shù)中有2個(gè)2，記作“2”;15的因數(shù)中無(wú)2，記作“0”;25的因數(shù)中無(wú)2，記作“0”;20的因數(shù)中有2個(gè)2，記作“2”。

師：先把所記的結(jié)果填入圖3第二行相應(yīng)的圈內(nèi)，再按如下的方法操作：因數(shù)中不合2的數(shù)和含有2個(gè)2的數(shù)相乘，積中有0+2=2（個(gè)）2，因此只要把第二行相鄰兩個(gè)數(shù)的和填入第三行相應(yīng)的圈內(nèi)，第三行相鄰兩個(gè)數(shù)的和填入第四行相應(yīng)的圈內(nèi)，即可以得到最后的積中共有10個(gè)2。如圖4所示。

師：再求有幾個(gè)因數(shù)5。用同樣的方法，最后的積中有15個(gè)因數(shù)5，如圖5所示。（想一想，第二行是怎么來(lái)的？）

于是可以知道，最后的積中有“10”個(gè)因數(shù)2和“15”個(gè)因數(shù)5，即這個(gè)數(shù)的末尾有10個(gè)0。

抽象思維如果脫離直觀，一般是很有限度的。這道題的核心是抓住一共有“幾個(gè)2”和“幾個(gè)5”，從“數(shù)”到“形”畫(huà)圖，就是整理這些2和5。從這樣的角度看，學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合，用畫(huà)圖的策略整理?xiàng)l件和問(wèn)題，進(jìn)而分析數(shù)量關(guān)系，解決問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，幫助學(xué)生形成“在抽象中看出直觀”的意識(shí)和能力。

三、數(shù)形結(jié)合，可以借助線段圖來(lái)“呈現(xiàn)”

行程問(wèn)題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的一個(gè)重要板塊，它可以變化各種各樣的形式，且難度各異。解決這類(lèi)問(wèn)題，好的邏輯思維能力非常關(guān)鍵。線段圖既可以描述情境，又可以將重要信息進(jìn)行標(biāo)注。課堂上，教師可以圍繞教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)疑問(wèn)，層層推進(jìn)來(lái)觸發(fā)學(xué)生的情感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與意識(shí)，主動(dòng)探究數(shù)與形應(yīng)如何轉(zhuǎn)換。

【例題】甲、乙、丙三人同時(shí)從東村向西村行走，甲每小時(shí)比乙快6千米，比丙快7.5千米。甲行了3.5小時(shí)到達(dá)西村，然后立即原路返回，在距離西村15千米處與乙相遇，問(wèn)：丙行了多少小時(shí)和甲相遇？

【分析與解答】首先我和學(xué)生一起完成這道題的線段圖（如圖6）。圖的完成非常關(guān)鍵。

師：當(dāng)甲到達(dá)A點(diǎn)后返回與乙相遇時(shí)，甲比乙多行了多少千米？

生1：15x2=30（千米）。

師：從開(kāi)始到甲、乙在B點(diǎn)相遇，經(jīng)過(guò)了多少小時(shí)？

生2：30÷6=5（小時(shí)）。

師：甲行完全程花了3.5小時(shí)，再往回行15千米用了幾小時(shí)？你現(xiàn)在能算出甲、乙、丙的速度嗎？

生3：5-3.5=1.5（小時(shí)）。甲的速度是15÷1.5=10（千米/時(shí)），乙的速度是10-6=4（千米/時(shí)），丙的速度是10-7.5=2.5（千米/時(shí)）。

師：求出總路程。

生4：lOx3.5=35（千米）。

師：丙行了多長(zhǎng)時(shí)間與甲相遇？為什么這樣求？

生5：35x2÷（ 10+2.5） =5.6（小時(shí)）。因?yàn)榧缀捅麖拈_(kāi)始到相遇共同走了2個(gè)全程。

結(jié)合線段圖，通過(guò)層層梳理，把一道較難的題分解成5個(gè)學(xué)生容易理解的基本問(wèn)題，這樣把課本知識(shí)和難題有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，讓知識(shí)水平較差的學(xué)生也能體會(huì)到解決難題的喜悅。

線段圖只是將數(shù)學(xué)信息具體化的一種方式，將數(shù)轉(zhuǎn)化為形的最大好處就是直觀具體。從小學(xué)就開(kāi)始培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，有利于學(xué)生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣，使之今后即使遇到更加復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)也不至于手忙腳亂，而是有更多的思路去解決。線段圖仍是揭示小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系最基本、最自然的手段。對(duì)于某些問(wèn)題，如果線段圖不能清晰地顯示其數(shù)量關(guān)系，則可以通過(guò)對(duì)線段圖的分析與改造，設(shè)計(jì)出能清晰地顯示其數(shù)量關(guān)系的其他圖形，使解題過(guò)程變得更簡(jiǎn)潔、更方便。

四、數(shù)形結(jié)合，可以通過(guò)數(shù)的特征來(lái)“構(gòu)造”

數(shù)形結(jié)合解題，實(shí)際上是一個(gè)“數(shù)”與“形”互相轉(zhuǎn)化的過(guò)程，即把題目中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形，將抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，再根據(jù)對(duì)圖形的觀察、分析、聯(lián)想，逐步轉(zhuǎn)化成算式，以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生克服思維定式，鼓勵(lì)學(xué)生大膽合理地進(jìn)行想象，讓學(xué)生充分展現(xiàn)他們的發(fā)明和創(chuàng)造，培養(yǎng)他們的獨(dú)立思考能力和探索精神，不拘泥于教師教過(guò)的一般解題模式，追求新穎的解題方法，能從新的角度、用靈活的方法解決問(wèn)題。

【例題】計(jì)算：1/2+1/4+1/8+ 1/16+1/32 =？

【分析與解答】可以引導(dǎo)學(xué)生按如下兩個(gè)層次來(lái)思考：第一層次，讓學(xué)生依據(jù)已有的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，或按從左到右的順序依次計(jì)算，或通過(guò)把算式中的分?jǐn)?shù)都通分成分母相同的分?jǐn)?shù)算出結(jié)果;第二層次，也是最關(guān)鍵的思維環(huán)節(jié)，啟發(fā)學(xué)生在下面的圖形（如圖7）中表示出算式中的每一個(gè)加數(shù)。很顯然，這里要通過(guò)分?jǐn)?shù)的意義來(lái)進(jìn)行構(gòu)造。1/2表示把單位“1”平均分成2份，取其中的一份，單位“1”即是圖中大正方形。并且，這5個(gè)分?jǐn)?shù)都可以在這個(gè)大正方形中找到對(duì)應(yīng)的位置。完成后可以發(fā)現(xiàn)，原題中5個(gè)分?jǐn)?shù)的和就等于總面積減去剩余面積的差，即1與1/32的差。由此，1/2+1/4+1/8+1/16+=1-1/32=31/32。如此，就使一道相對(duì)復(fù)雜的異分母分?jǐn)?shù)連加題轉(zhuǎn)化為能夠直接口算的減法題。

實(shí)踐證明，數(shù)形結(jié)合可以促進(jìn)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性，激發(fā)學(xué)生的靈感，使之頓悟，獲得較優(yōu)化的解法。下面的例題也可以用類(lèi)似的思路解答：

【例題】求1+2+3+4+5+6+7=？

【分析與解答】這道題在初中只要用等差數(shù)列公式就可以輕而易舉解決，但小學(xué)階段該怎么進(jìn)行思考呢？不妨也構(gòu)造圖形來(lái)試一試。

這些數(shù)都是自然數(shù)，根據(jù)題意構(gòu)造圖8，轉(zhuǎn)化成求正方形的個(gè)數(shù)之和，圖9也是求正方形的個(gè)數(shù)之和，把圖8和圖9合并成圖10，這樣拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，容易求得長(zhǎng)方形里正方形的個(gè)數(shù)是（1+7）x7=56，它的一半是56÷2=28。

這里不需要用到等差數(shù)列的知識(shí)，通過(guò)構(gòu)造圖形，轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的求正方形個(gè)數(shù)。由此，我們還可以繼續(xù)強(qiáng)化和延伸：求1+2+3+4+5+-+100=？

多年的教學(xué)實(shí)踐證明，經(jīng)過(guò)幾何圖形的“翻譯”、數(shù)字信息的“轉(zhuǎn)換”、線段圖的“呈現(xiàn)”、數(shù)的特征來(lái)“構(gòu)造”一系列的數(shù)形結(jié)合訓(xùn)練，學(xué)生思維的廣度、深度、靈敏性與準(zhǔn)確性都得到充分的發(fā)展，學(xué)生的創(chuàng)造性思維也得以培養(yǎng)。這一切也體現(xiàn)了“以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，導(dǎo)學(xué)為主線”的教學(xué)思想。南京大學(xué)鄭毓信撰文寫(xiě)道：“相對(duì)于‘常規(guī)思維的改進(jìn)，數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)主要體現(xiàn)了思維發(fā)展的新的可能性;當(dāng)然，在具體從事后一方面的工作時(shí)，又應(yīng)采取更為廣泛的視角，即應(yīng)當(dāng)更加重視數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思想方法的普遍意義?！苯虒W(xué)大綱強(qiáng)調(diào)：“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要使學(xué)生既長(zhǎng)知識(shí)，又長(zhǎng)智慧?！币虼?，在加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的同時(shí)，要把發(fā)展智力和培養(yǎng)能力貫穿教學(xué)始終，讓思維看得見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合的思想起著很重要的作用。

[參考文獻(xiàn)]

[1]馬云鵬，關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個(gè)問(wèn)題[J].課程·教材·教法，2015（9）.

[2]鄭毓信.“數(shù)學(xué)與思維”之深思[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015， 24（1）

（責(zé)編吳美玲）