孫軍波

[摘? 要] 創(chuàng)設(shè)合適的問題情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題，可以提高課堂效率進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).根據(jù)情境創(chuàng)設(shè)理念和方法，以《隨機(jī)變量及其分布列（第一課時(shí)）》為例，進(jìn)行了問題情境的教學(xué)實(shí)踐，并指出創(chuàng)設(shè)情境要緊扣教學(xué)目標(biāo)，注意所設(shè)情境需是學(xué)生熟悉的內(nèi)容，具有趣味性，提出和設(shè)計(jì)的問題是合理有效的.

[關(guān)鍵詞] 創(chuàng)設(shè)情境;問題情境;隨機(jī)變量及其分布列

引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).”[1]在“實(shí)施建議”中進(jìn)一步指出“情境創(chuàng)設(shè)與問題設(shè)計(jì)有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).” 所謂啟發(fā)式教學(xué)，即教師根據(jù)知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系和學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，創(chuàng)設(shè)一種教學(xué)中的問題情境，以引起認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生自主建構(gòu)的思維活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生融會(huì)貫通地掌握知識(shí)，發(fā)展智力，形成能力. 因此，從教學(xué)的角度來講，創(chuàng)設(shè)問題情境成了啟發(fā)式教學(xué)思想應(yīng)用于教學(xué)實(shí)際的中間橋梁. 那么在具體的高中數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐中，如何設(shè)計(jì)合適的問題情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)是有挑戰(zhàn)性的，也是值得研究的.

情境創(chuàng)設(shè)的概念界定

情境創(chuàng)設(shè)就是教師根據(jù)授課內(nèi)容，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，綜合利用多種教學(xué)手段，創(chuàng)造設(shè)計(jì)出各種外顯的教學(xué)活動(dòng)形式和問題，從而營(yíng)造出一種樂學(xué)的學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生產(chǎn)生良好的求知心理.當(dāng)然，在創(chuàng)設(shè)的“情境”中，也包含了問題設(shè)計(jì). 問題情境指的是在學(xué)生與問題之間形成這樣一種情境：具有一定概括性的問題與學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間產(chǎn)生了內(nèi)部矛盾沖突，學(xué)生擁有足夠的知識(shí)、技能來獨(dú)立理解這一矛盾沖突，但又無法解決之，再在教師的幫助下，經(jīng)過學(xué)生主動(dòng)地分析問題、探索并提出解決問題的方法、檢驗(yàn)這種方法等思維活動(dòng)，達(dá)到掌握知識(shí)、發(fā)展能力的目的.

《隨機(jī)變量及其分布列（第一課時(shí)）》情境再創(chuàng)設(shè)的緣由

隨機(jī)變量是概率單元中重要的基本概念，在整個(gè)概率論中起著承上啟下的作用. 在高中階段，這節(jié)課原位于人教A版選修2-3第二章“隨機(jī)變量及其分布列”第一課時(shí)，在新教材中位于選擇性必修第三冊(cè)第七章“隨機(jī)變量及其分布”第三課時(shí). 學(xué)生在隨機(jī)事件概率的基礎(chǔ)上，下一步將學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量及其概率分布、均值、方差等內(nèi)容，后續(xù)內(nèi)容都是以“隨機(jī)變量”為研究對(duì)象的，所以隨機(jī)變量是概率單元的一個(gè)重要概念.但在這節(jié)課中，有兩個(gè)關(guān)鍵的環(huán)節(jié)很難處理好：

（1）學(xué)會(huì)了隨機(jī)事件及概率，為什么又要引入隨機(jī)變量的概念呢？即需要先通過具體實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生感受“用數(shù)來刻畫隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”的必要性，然后才是如何用數(shù)來刻畫的問題.

（2）如何去理解隨機(jī)變量這個(gè)概念？引入后對(duì)概率問題的研究產(chǎn)生了什么樣的作用？這些需要結(jié)合實(shí)際生活情境才能夠消除學(xué)生的困惑，降低后續(xù)概念的學(xué)習(xí)難度.

基于研究型教學(xué)模式的情境創(chuàng)設(shè)[2]

1. 創(chuàng)設(shè)生活情境，提出問題

情境一：師：“各位同學(xué)，有沒有送禮物的煩惱？老師也有這樣的煩惱，今年想送妻子一份既便宜又有新意的禮物，名字叫‘希望，你們猜猜是什么？”

（學(xué)生笑，紛紛問是什么）

師：“我選擇一些具有特殊意義的日子，根據(jù)這些數(shù)字去買彩票送她，你們覺得會(huì)中獎(jiǎng)嗎？”

（學(xué)生活動(dòng)，齊喊會(huì)）

師：“但是，老師遇到一個(gè)難題，發(fā)現(xiàn)彩票有很多種，那選哪一種作禮物合適呢？如果從雙色球、15選5、大樂透中三選一，你會(huì)根據(jù)什么來選？”

（學(xué)生活動(dòng)，選什么的都有）

師接著問：首先我們可能會(huì)根據(jù)什么來決定購(gòu)買哪種彩票？

（學(xué)生活動(dòng)，紛紛答中一等獎(jiǎng)的概率）

師追問：根據(jù)計(jì)算得出雙色球、15選5、大樂透中一等獎(jiǎng)的概率分別為■、■、■，那選哪個(gè)？

（學(xué)生回答：還要考慮獎(jiǎng)金）

師：為什么還想知道一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金，為什么用試驗(yàn)結(jié)果一等獎(jiǎng)來表述阻礙了判斷？

（學(xué)生答：一等獎(jiǎng)沒有準(zhǔn)確區(qū)分出試驗(yàn)結(jié)果的不同）

師：選擇哪一種彩票不僅需要考慮中獎(jiǎng)的概率，也需要考慮中獎(jiǎng)的結(jié)果背后隱藏著的數(shù)量，即同時(shí)考慮隨機(jī)事件的數(shù)量化結(jié)果和發(fā)生的概率，生活中雙色球和大樂透的銷量遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于15選5.

情境二：如何選擇優(yōu)秀的射擊運(yùn)動(dòng)員代表國(guó)家隊(duì)參加比賽？

（學(xué)生答：根據(jù)射得準(zhǔn)不準(zhǔn);追問，如何區(qū)別哪個(gè)更準(zhǔn)呢？）

師：這些不同的概率模型有什么共同的特點(diǎn)？是不是可以建立統(tǒng)一的概率模型？這就需要將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化.

設(shè)計(jì)意圖：通過具體問題出發(fā)，學(xué)生體會(huì)到不僅需要考慮中一等獎(jiǎng)的概率，也需考慮一等獎(jiǎng)對(duì)應(yīng)著的數(shù)量化結(jié)果;加上射擊選手選拔等問題，感受到不同的概率問題之間可能存在著的共同特點(diǎn)，即需要考慮隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)量化結(jié)果，通過生活情境體會(huì)到隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)量化的必要性.

2. 回歸基礎(chǔ)情境尋求方法

情境三：投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，試驗(yàn)結(jié)果可否用數(shù)來表示？

情境四：投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，試驗(yàn)結(jié)果可否用數(shù)來表示？

分析：投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，結(jié)果為一點(diǎn)、二點(diǎn)、……、六點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)字為1，2，…，6，如果結(jié)果中有數(shù)字特征，一般可以考慮用這些數(shù)來表示試驗(yàn)的結(jié)果;投擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種結(jié)果，雖然結(jié)果不是數(shù)字，但可以用數(shù)1和0分別表示正面向上和反面向上.

設(shè)計(jì)意圖：以退求進(jìn)，從學(xué)生接觸的生活例子投骰子和拋硬幣入手，再研究推廣到一般實(shí)驗(yàn)結(jié)果如何進(jìn)行數(shù)量化.即從最簡(jiǎn)單的試驗(yàn)入手，探索試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程，特別是無數(shù)量的結(jié)果如何進(jìn)行數(shù)量化.

3. 立足情境歸納抽象概念

隨機(jī)變量：在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化.像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量.常用字母X，ξ等表示.

練習(xí)：下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果能否用隨機(jī)變量來表示？若能請(qǐng)寫出各隨機(jī)變量可能的取值，并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.

（1）拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和;

（2）某足球隊(duì)在5次點(diǎn)球中射進(jìn)的球數(shù);

（3）一瓶150 ml的礦泉水的實(shí)際水量和150 ml的差值.

分析：顯然（1）（2）隨機(jī)變量取值可以一一列出，（3）不能一一列出，通過上述問題分析，可以提出離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量這兩個(gè)概念.

追問：隨機(jī)變量和函數(shù)有沒有什么類似的地方？（學(xué)生活動(dòng)：都是一種映射）

設(shè)計(jì)意圖：立足基本問題情境，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟㈦S機(jī)變量的概念模型，將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化，為后面的概率分布列打下基礎(chǔ)，也為后續(xù)使用函數(shù)思想解決概率問題做好鋪墊.

4. 創(chuàng)設(shè)使用數(shù)學(xué)語言情境

例1：在含有10件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽取4件，含有的次品件數(shù)X隨抽取結(jié)果的變化而變化.問： X的取值范圍是多少？{X<3}表示什么事件？

（學(xué)生口頭回答，教師黑板板書）

思考題：根據(jù)課前調(diào)查大樂透彩票的中獎(jiǎng)結(jié)果，嘗試定義一個(gè)隨機(jī)變量X表示中獎(jiǎng)結(jié)果.

（學(xué)生板書，呈現(xiàn)結(jié)果）

設(shè)計(jì)意圖：通過用隨機(jī)變量的語言描述生活情境，體會(huì)隨機(jī)變量在表達(dá)形式上變得簡(jiǎn)潔，同時(shí)體會(huì)應(yīng)該選擇盡量簡(jiǎn)單且有實(shí)際意義的隨機(jī)變量來表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.

5. 多元聯(lián)系深化問題情境

情境五：投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，如何用隨機(jī)變量X表示試驗(yàn)的結(jié)果？其中一正一反的概率是多少？

分析：通過古典概型計(jì)算獲得答案■，但學(xué)生中也存在著■這一想法，在引入隨機(jī)變量后就可以嘗試進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬判斷哪個(gè)正確？（學(xué)生活動(dòng)，使用電腦模擬）

設(shè)計(jì)意圖：將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，可以借助EXCEL對(duì)這一概率問題進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬，體會(huì)隨機(jī)變量的另一個(gè)作用，即為計(jì)算機(jī)模擬奠定基礎(chǔ).

6. 回顧反思尋找新的情境

回顧：為什么要建立隨機(jī)變量的概念？建立的過程是怎么樣的？它和函數(shù)有什么區(qū)別？

拓展性問題情境？搖請(qǐng)調(diào)查大樂透、15選5和雙色球的相關(guān)規(guī)則，嘗試定義隨機(jī)變量X，并通過電腦模擬推測(cè)三種彩票的盈利.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)源于生活也應(yīng)用于生活，所以課后的拓展性問題的作用既是下一步要研究的問題，也為本單元的問題做好鋪墊.

反思與啟示

本課在鄞州高級(jí)中學(xué)的活動(dòng)中進(jìn)行了實(shí)踐，取得不錯(cuò)的課堂效果. 將核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)課堂上落地其重要途徑之一就是創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，因?yàn)榻處焺?chuàng)設(shè)的情境，既可以是生活問題，也可以是科學(xué)問題，當(dāng)然也可以是數(shù)學(xué)問題，在這些情境中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng). 創(chuàng)設(shè)情境需要注意如下問題：

（一）緊扣本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)

教師在創(chuàng)設(shè)情境時(shí)要緊扣教學(xué)目標(biāo)，創(chuàng)設(shè)的情境符合這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，能激活學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生認(rèn)知沖突從而啟發(fā)學(xué)生如何解決問題.情境的設(shè)置或問題的解決應(yīng)處在學(xué)生的最近認(rèn)知區(qū)域. 創(chuàng)設(shè)的情境中的問題不能天馬行空胡編亂造，必須符合科學(xué)原理和規(guī)律，反映的是客觀事實(shí)和生活常識(shí)，不能誤導(dǎo)學(xué)生.

（二）創(chuàng)設(shè)的情境是學(xué)生熟悉的，具有趣味性

設(shè)計(jì)的問題應(yīng)能讓學(xué)生產(chǎn)生興趣和求知欲. 只有好的情境才能最大限度地激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生接受. 美國(guó)教育家喬納森就這樣描述情境：“情境是利用一個(gè)熟悉的參考物，幫助學(xué)習(xí)者將一個(gè)要探究的概念與熟悉的概念聯(lián)系起來，引導(dǎo)他們利用這些經(jīng)驗(yàn)來解釋、說明，形成自己的科學(xué)知識(shí).”所以教學(xué)情境是聯(lián)系舊知和新知之間的一座橋梁，為學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握新知?jiǎng)?chuàng)造一個(gè)最佳的心理環(huán)境，在此環(huán)境下學(xué)生就能從情感上迅速接納，并對(duì)新知產(chǎn)生進(jìn)一步探究的欲望，從而產(chǎn)生高效的學(xué)習(xí)狀態(tài).

（三）問題提出和設(shè)計(jì)要科學(xué)

設(shè)計(jì)的問題學(xué)生要能直觀明了，不是晦澀難懂，問題需要從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從易到難循序漸進(jìn)地提出，相互間能銜接和過渡. 教師設(shè)計(jì)問題時(shí)可以設(shè)計(jì)能讓學(xué)生獨(dú)立思考的問題，但也可以設(shè)計(jì)能利用小組合作探究學(xué)習(xí)的問題，以培養(yǎng)集體觀念和團(tuán)隊(duì)合作精神，起到立德樹人之效. 同時(shí)需要考慮到師生之間的交流，學(xué)生新穎的想法與教師傳統(tǒng)的思維相碰撞，從而達(dá)到合二為一、融為一體的境界.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 李昌官. 高中數(shù)學(xué)研究型教學(xué)實(shí)踐與探索[J]. 課程·教材·教法，2018（1）.