姜敏霞

摘要：最短路徑模型是初中數(shù)學九大模型之一，而本次所要探討的旋轉(zhuǎn)型最值問題又是最短路徑其中的模型之一。最值問題在初中數(shù)學中占了很大的比重，是中考數(shù)學的熱點問題，它主要考查學生對平時所學數(shù)學內(nèi)容的綜合運用能力，具有較強的靈活應(yīng)用性。其關(guān)鍵是要以數(shù)學思想方法為指導，找準問題的切入點，建立恰當?shù)臄?shù)學解題模型，尋找捷徑，從而把問題化繁為簡，使問題得以解決。

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)型最值;問題;中考數(shù)學;數(shù)學思想;最短路徑;模型

1.旋轉(zhuǎn)型最值問題的研究背景

最值問題是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，具有較大的靈活性和應(yīng)用性，同時也是一類綜合性較強的數(shù)學問題，是中考數(shù)學的熱點問題。它主要考查學生對平時所學數(shù)學內(nèi)容的綜合運用能力，關(guān)鍵是要學會以數(shù)學思想方法為指導思想，找準問題的切入點，構(gòu)建合適的問題解決的數(shù)學模型，找尋問題解決的捷徑，從而把最值問題由復雜轉(zhuǎn)為簡單，使問題得以解決。

旋轉(zhuǎn)型最值問題首次出現(xiàn)在浙教版初中數(shù)學九年級上冊第三章的圓中，這也是學生在初中階段內(nèi)首次接觸與圓相聯(lián)系的問題。不過當時并未具體出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)型最值問題的跡象，反而是在九年級下冊第二章與圓有關(guān)的位置關(guān)系這一章節(jié)中才真正出現(xiàn)。與圓有關(guān)的位置關(guān)系這一章節(jié)中首先講訴的是點與圓的位置關(guān)系，這也是旋轉(zhuǎn)型最值問題的基礎(chǔ)題型。其基本題型如下所示：

如圖，設(shè)圓的半徑為r，平面內(nèi)任一點到圓心的距離為d，則

1.點在圓外d>r，如點A

2.點在圓上d=r，如點B

3.點在圓內(nèi)d

至此，學生們充分理解到點與圓的位置關(guān)系可以通過點到圓心的距離d和該圓的半徑r的大小比較來判斷。點在圓外，d>r;點在圓上，d=r;點在圓內(nèi)，d

2.旋轉(zhuǎn)型最值問題研究中出現(xiàn)的問題

旋轉(zhuǎn)型最值問題是中考數(shù)學的重要內(nèi)容，具有較強的靈活應(yīng)用性，也是一類綜合性較大的問題。因為它貫穿了初中數(shù)學的始終，是一個熱點問題，所以學生們平常在做題時會發(fā)現(xiàn)書本的知識點難以應(yīng)用在實際題目當中。一方面可能是學生剛遇到此類題型，還沒有熟悉題目類型;另一方面還是因為題目的靈活多變性，使得學生們不能以慣性思維來做題。

比如在2018年嘉興市中考中有一道選擇題：

1.用反證法證明時，假設(shè)結(jié)論“點在圓外”不成立，那么點與圓的位置關(guān)系只能是（? ?）

A.點在園內(nèi)? ? ? B.點在圓上? ? ?C.點在圓心上? ? ?D.點在圓上或圓內(nèi)

解析：此題著重考查學生對點與圓的位置關(guān)系的掌握情況，以及它的實際應(yīng)用能力。點與圓的位置總共只有三種，因此要使“點在圓外”不成立，只能使點在圓上或圓內(nèi)，故選D.

上訴題目是點與圓的位置關(guān)系這類題型的基本題，題型較為簡單，是學生們都能夠掌握的題型，但題型一旦發(fā)生變化，基礎(chǔ)掌握不夠扎實的學生犯錯的概率便會變大，甚至還會學生對此束手無策。如此類題型：

2.如圖，已知線段OA=4，OB=2，OB繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)360°，問AB的最大值和最小值分別是多少？

3.如圖，已知線段OA=4，OB=2，以點O為圓心，OB、OC為半徑作圓，點P是兩圓所組成圓環(huán)內(nèi)部一點（包括邊界）。問：

（1）若PA的最大值為10，則OC的值為？

（2）若PA的最小值為1，則OC的值又是多少？

3.旋轉(zhuǎn)型最值問題中的解決方法及實際運用

對于這類題型，關(guān)鍵是要學會以數(shù)學思想方法為指導思想，找準問題的切入點，構(gòu)建合適的問題解決的數(shù)學模型，找尋問題解決的捷徑，從而把旋轉(zhuǎn)型最值問題由復雜轉(zhuǎn)為簡單，使問題得以解決。

問題2中講述OB繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)360°即點B在以O(shè)為圓心，半徑為2的圓上，OA=4意味著點A在圓外，本題可以描述為圓外一點到圓上一動點的距離最大值和最小值的問題。另一方面，我們可以看到線段OA，OB，AB在平面內(nèi)可以構(gòu)成一個三角形，而三角形有一個基本性質(zhì)：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。因此可將問題轉(zhuǎn)化到三角形的性質(zhì)上來進行解決。由此我們可以知道線段AB的最大值為OA+OB，最小值為OA-OB。

問題3 中點P不再像點B一樣在圓周上運動，而是在圓環(huán)內(nèi)部（包括邊界）運動，大大增加了本題的難度。在問題2中我們運用了三角形的基本性質(zhì)進行求解，那是否也可以用它來求解問題3呢？我們不妨從這方面來考慮?？紤]最值問題時我們需要考慮邊界問題，當點P在以O(shè)B為半徑的圓周上時，這就是問題2 所要求解的問題。故點P出現(xiàn)在以O(shè)C為半徑的圓周上時才是問題解決的關(guān)鍵點。根據(jù)三角形性質(zhì)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，可知線段PA的最大值為OA+OC，最小值為OA-OC，即可求解此題。

4.旋轉(zhuǎn)型最值問題在初中數(shù)學的發(fā)展

最值問題是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，是中考數(shù)學的熱點問題，它主要考查學生對平時所學數(shù)學內(nèi)容的綜合運用能力，具有較強的靈活應(yīng)用性。其關(guān)鍵是要以數(shù)學思想方法為指導，找準問題的切入點，建立恰當?shù)臄?shù)學解題模型，尋找解決問題的捷徑，從而把問題化繁為簡，使問題得以解決。

在碰到此類問題時需靜下心來，沉著應(yīng)對，不要被它復雜的外表所欺騙，找準關(guān)鍵點，掰開題目所要傳達的真正意義，運用恰當?shù)姆椒ㄟM行求解。