張雪敏

摘 要：本文回歸到二元一次不等式的幾何意義這個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)來解決一類線性規(guī)劃問題。

關(guān)鍵詞：二元一次不等式;線性規(guī)劃;最大值;最小值

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生應(yīng)把握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)和本質(zhì)?！白プ”举|(zhì)，突出主線，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維自然地流淌?！盵1]以此來培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維。這與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中提出的培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”、“邏輯推理”也不謀而合。

一、回歸基礎(chǔ)，找尋二元一次不等式的幾何意義

在平面直角坐標(biāo)系中，直線ax+by+c=0把整個(gè)平面直角坐標(biāo)系分成了三部分。第一部分是直線上的點(diǎn)（x1，y1）滿足ax1+by1+c=0，而直線ax+by+c=0外的點(diǎn)以直線ax+by+c=0為界分成另外兩部分。其中，一側(cè)上任意一點(diǎn)（x2，y2）滿足不等式ax2+by2+c>0，另一側(cè)上任意一點(diǎn)（x3，y3）滿足不等式ax3+by3+c<0。這也是不等式的幾何意義。由此，我們得出結(jié)論：1.在直線ax+by+c=0同側(cè)的兩點(diǎn)（x4，y4）與（x5，y5）滿足不等式。2.在直線ax+by+c=0異側(cè)的兩點(diǎn)（x4，y4）與（x5，y5）滿足不等式。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)看似簡單，卻可以解決一類線性規(guī)劃問題。

二、找準(zhǔn)切入點(diǎn)，化平面幾何問題為線性規(guī)劃問題

線性規(guī)劃是不等式與解析幾何的結(jié)合，是數(shù)與形的結(jié)合。能夠用代數(shù)的方法來解決解析幾何問題是線性規(guī)劃的特征之一。

例1.已知點(diǎn)（1-，2）與（2，-3）在直線2x+3y+c=0的兩側(cè)，求c的取值范圍。

分析：由前分析所得：

，即得：。

例2.已知直線l過點(diǎn)P（-1，2）且與以為端點(diǎn)的線段相交，求直線l的斜率k的取值范圍。

分析：設(shè)直線l為：y-2=k（x+1）即kx-y+k+2=0，則此題轉(zhuǎn)化為例1類似的點(diǎn)A、B在直線l的兩側(cè)，即：得或。

總結(jié)：在解析幾何中涉及到點(diǎn)與線的位置關(guān)系的同側(cè)異側(cè)問題，可以運(yùn)用簡單線性規(guī)劃中不等式的幾何意義來進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

三、合理轉(zhuǎn)化，找到問題本質(zhì)

在高考題中，更多的是綜合性的題目，這就要求我們回歸基礎(chǔ)，找到本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化與化歸。

點(diǎn)與直線位置關(guān)系的同側(cè)異側(cè)問題，還會(huì)以其他形式出現(xiàn)。如直線l穿過可行域或不穿過可行域問題，同樣可以運(yùn)用相同的方法來解決。如例3.

例3.（2018寧波高三第一學(xué)期期末試卷）關(guān)于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（x0，y0）滿足x0-2y0=3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）

A.（-∞，-3） B.（-1，1） C.（-∞，-1） D.（-1，+∞）

分析：

很多數(shù)學(xué)問題看似平淡無奇，但若能挖掘其內(nèi)涵，適當(dāng)變化，常常會(huì)有意想不到的收獲。

由以上分析，可得總結(jié)：

1.直線l不穿過可行域可行域頂點(diǎn)在直線l同側(cè)點(diǎn)代入直線方程左側(cè)后所得不等號(hào)方向一致。

2.直線l穿過可行域可行域中存在其中兩個(gè)端點(diǎn)在直線l異側(cè)兩點(diǎn)代入直線方程左側(cè)后所得不等號(hào)方向相反。

四、運(yùn)用不等式幾何意義去目標(biāo)函數(shù)絕對值

不等式的幾何意義有時(shí)候還能起到去絕對值的作用，如例4.

例4：（2015浙江卷理第14題）若實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值為

分析：此題畫可行域非常簡單，所以難點(diǎn)在于如何去掉目標(biāo)函數(shù)中的絕對值而變?yōu)槌Ｒ?guī)的線性規(guī)劃問題了。在這里不等式的幾何意義再一次大顯身手。

如圖，直線6-x-3y=0在圓x2+y2=1上方，可行域中的點(diǎn)（x，y）與（0，0）同側(cè)，把（0，0）代入線6-x-3y=6>0，則可得可行域中的點(diǎn)滿足6-x-3y>0，則可得實(shí)現(xiàn)了去掉絕對值的目的。由于（0，0）到直線2x+y-2=0的距離，所以直線2x+y-2=0把圓面x2+y2≤1這個(gè)可行域分成了兩部分。由得。當(dāng)可行域在直線2x+y-2=0的下方的圓面時(shí)，點(diǎn)（x，y）與（0，0）同側(cè)，2x+y-2的符號(hào)與（0，0）代入的同號(hào)，即則可得，得所求的目標(biāo)函數(shù)如圖，顯然在出取到使得相似的，當(dāng)可行域在直線2x+y-2=0的上方的圓面時(shí)，點(diǎn)（x，y）與（0，0）異側(cè)，即2x+y-2>0，可得，得所求的目標(biāo)函數(shù)顯然在出取到使得，綜上。

數(shù)學(xué)教師的任務(wù)在返璞歸真，把數(shù)學(xué)的形式化邏輯鏈條恢復(fù)成當(dāng)初數(shù)學(xué)家發(fā)明創(chuàng)造時(shí)的火熱思考。就像張奠宙教授說：要把數(shù)學(xué)從”冰冷的美麗”升華到“火熱的思考”?！?】

參考文獻(xiàn)

[1]《尋找數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量》李昌官.P083寧波出版社

[2]《數(shù)學(xué)教育隨想集》張奠宙.P47華東師范大學(xué)出版社