綦小剛　丁小東

摘 要：論文首先通過(guò)排隊(duì)論計(jì)算出超市在營(yíng)業(yè)期間各時(shí)段來(lái)客數(shù)相對(duì)應(yīng)的最優(yōu)的需要開(kāi)放的收銀臺(tái)的數(shù)量，然后根據(jù)排班的約束條件線性規(guī)劃求解出不同班次的人員安排，并對(duì)某公司旗下的幾個(gè)大型超市的真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，最后闡述了該優(yōu)化策略的優(yōu)越性和局限性。

關(guān)鍵詞：排隊(duì)論；線性規(guī)劃；排班優(yōu)化

一、引言

大多數(shù)顧客在大型超市（Hypermarket）購(gòu)物時(shí)唯一能夠感受到服務(wù)的地點(diǎn)就是收銀臺(tái)，在這種感受當(dāng)中最強(qiáng)烈的就是對(duì)排隊(duì)時(shí)等候時(shí)間的感受。根據(jù)心理學(xué)研究：一個(gè)人在超市等候時(shí)間超過(guò)7分鐘，就明顯感到情緒急躁起來(lái)。對(duì)超市來(lái)講，如果開(kāi)放的收銀臺(tái)不夠，就造成過(guò)度排隊(duì)等候；如果開(kāi)放過(guò)多的收銀臺(tái)，又造成公司資源的浪費(fèi)。

本論文研究的目的是要實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)優(yōu)化，保證服務(wù)、降低損耗。由于保證服務(wù)（顧客要求）與降低服務(wù)強(qiáng)度（收銀臺(tái)要求）是相互矛盾的，因而最終的評(píng)價(jià)要借助于經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)，即讓顧客等待引起的損失與服務(wù)工作發(fā)生費(fèi)用之和最小。從實(shí)際工作來(lái)看，這一標(biāo)準(zhǔn)也是十分有意義的，因?yàn)樘峁┓?wù)者與被服務(wù)者的利益往往有很大的關(guān)聯(lián)性：即服務(wù)質(zhì)量越高，顧客就越多，利潤(rùn)也越高，這在大型超市中有更顯著地體現(xiàn)。

二、基于排隊(duì)論的收銀臺(tái)最優(yōu)開(kāi)放數(shù)量模型

1.模型的建立和分析

大型超市顧客的到來(lái)基本是隨機(jī)的，因此認(rèn)為超市收銀系統(tǒng)服務(wù)是一個(gè)典型的隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行較長(zhǎng)時(shí)間達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，系統(tǒng)的情況按實(shí)際總結(jié)如下：

（1）排隊(duì)結(jié)構(gòu)是多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)結(jié)果如（圖1），系統(tǒng)有c個(gè)平行的收銀臺(tái)1，每個(gè)收銀臺(tái)的服務(wù)時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量，服從參數(shù)為μ的負(fù)指數(shù)分布。

（2）顧客的到達(dá)時(shí)間符合非時(shí)間齊次泊松過(guò)程（Non-homogene-

ous Position Process）到達(dá)速率是λ（t）。顧客在不同時(shí)間段的到達(dá)速率不同，但在某一時(shí)間段內(nèi)到達(dá)速率是固定的，即在某一時(shí)間段內(nèi)顧客的到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為λ的泊松過(guò)程。2

（3）系統(tǒng)中如顧客數(shù)大于收銀臺(tái)數(shù)，則不會(huì)有空閑的收銀臺(tái)，進(jìn)入系統(tǒng)的顧客可隨時(shí)改變其隊(duì)列。

（4）到達(dá)過(guò)程、服務(wù)過(guò)程和各個(gè)服務(wù)過(guò)程之間都是相互獨(dú)立的。

（5）假設(shè)系統(tǒng)的等待位置為∞，服務(wù)規(guī)則是先來(lái)先服務(wù)即FC-

FS。

假如超市規(guī)定各收銀排隊(duì)人數(shù)不超過(guò)5人，顧客在收銀臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)中的平均等待時(shí)間不超過(guò)7分鐘，則c應(yīng)該滿(mǎn)足條件：

2.模型的編程實(shí)現(xiàn)

該程序在數(shù)學(xué)優(yōu)化建模軟件LINGO 11.0中測(cè)試通過(guò)。我們以某門(mén)店在某個(gè)星期日7：00～8：00時(shí)段為例，運(yùn)行結(jié)果為：此時(shí)段最優(yōu)開(kāi)放的收銀臺(tái)數(shù)是3臺(tái)。程序如下：

min=c；

T=1.26； ！匯總統(tǒng)計(jì)收銀員平均客流算術(shù)平均值得出μ=47.62117人次/小時(shí)，所以收銀員的服務(wù)時(shí)間服從T=60分鐘/μ=1.26分鐘/人的負(fù)指數(shù)分布；

R=1.55； ！根據(jù)公司IT系統(tǒng)導(dǎo)出得到在該時(shí)段顧客到達(dá)速率λ的值為R=1.55人/分鐘；

a=R*T； ！由a=λ/μ推導(dǎo)出；

a/c<1； ！排隊(duì)系統(tǒng)中服務(wù)員的利用率為ρ=a/c<1；

L_q<=5；W_q<=7；

P_wait=@peb（a，c）；

W_q=P_wait*T/（c-a）；

L_q=（a/c）/（c-a）*P_wait；

@gin（c）；

三、規(guī)劃求解最優(yōu)排班模型

得出每時(shí)段的最優(yōu)開(kāi)放的收銀臺(tái)之后，接下來(lái)我們共同探討一下如何通過(guò)線性規(guī)劃求解計(jì)算出最優(yōu)的排班收銀員人數(shù)。

1.模型的建立和分析

（1）線性規(guī)劃模型的建立，如圖2。模型介紹：

①來(lái)客數(shù)時(shí)段分解：把超市營(yíng)業(yè)時(shí)間按小時(shí)劃分。

②當(dāng)班工時(shí)：匯總超市門(mén)店的每個(gè)班次的累計(jì)工時(shí)數(shù)，“0”表示用餐狀態(tài)或下班狀態(tài)。

③當(dāng)班人數(shù)：表示每個(gè)班次安排的收銀人數(shù)總和。

④班次：超市門(mén)店的班次。例如：7-16表示上班時(shí)間從7：00～16：00。

⑤理論收銀臺(tái)最優(yōu)開(kāi)放數(shù)：通過(guò)LINGO編程計(jì)算出每個(gè)來(lái)客時(shí)段的理論收銀臺(tái)最優(yōu)開(kāi)放數(shù)。

⑥排班最優(yōu)人數(shù)：表示某一小時(shí)的時(shí)段內(nèi)，各班次收銀員人數(shù)之和。例如9點(diǎn)～10點(diǎn)期間排班最優(yōu)人數(shù)為：

X3=Y1*1+Y2*1+Y3*1+Y4*0+Y5*0

⑦浪費(fèi)工時(shí)：通過(guò)“排班最優(yōu)人數(shù)”減去“理論收銀臺(tái)最優(yōu)開(kāi)放數(shù)”的值，來(lái)評(píng)估實(shí)際排班的人數(shù)與理論收銀臺(tái)最優(yōu)開(kāi)放數(shù)之間的差距。正數(shù)表示開(kāi)放的收銀臺(tái)偏多，負(fù)數(shù)表示開(kāi)放的收銀臺(tái)不足以應(yīng)對(duì)當(dāng)前的客流量。

（2）模型的約束條件分析

決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)三種信息的單元格區(qū)域?yàn)椋?/p>

①?zèng)Q策變量：在C19～G19單元格中（即當(dāng)班人數(shù)）；

②目標(biāo)函數(shù)：在I19單元格中（即全天總工時(shí)）；

③約束函數(shù)在第I3～I(xiàn)17行。約束函數(shù)主要是確保“排班最優(yōu)人數(shù)”不小于“理論收銀臺(tái)最優(yōu)開(kāi)放數(shù)”，約束條件如下：

X1，即I3=SUMPRODUCT（C3：G3，C19：G19）≥H3

X2，即I4=SUMPRODUCT（C4：G4，C19：G19）≥H4

......

X15，即I15=SUMPRODUCT（C17：G17，C19：G19）≥H17

（3）線性規(guī)劃求解

“線性規(guī)劃”是Excel系統(tǒng)中的較少用到的一個(gè)宏，需要進(jìn)行加載才能運(yùn)行。把模型的約束條件錄入到規(guī)劃求解參數(shù)中去，最優(yōu)配置結(jié)果將會(huì)顯示在目標(biāo)單元格中。如圖3

四、數(shù)據(jù)驗(yàn)證

我們以某門(mén)店在2015年12月20日星期日的數(shù)據(jù)為例。當(dāng)天來(lái)客數(shù)為11917人。該門(mén)店的當(dāng)日耗用的總工時(shí)是316個(gè)小時(shí)，當(dāng)班的收銀員39人。

1.驗(yàn)證最優(yōu)開(kāi)放的收銀臺(tái)數(shù)量

匯總統(tǒng)計(jì)收銀員平均客流量算術(shù)平均值之后得到收銀員當(dāng)日的服務(wù)時(shí)間為47.62117人次/小時(shí)，其負(fù)指數(shù)分布為1.26min/人次。每時(shí)段的顧客到達(dá)數(shù)是從公司IT系統(tǒng)中導(dǎo)出，詳見(jiàn)表1。通過(guò)Lingo可分別計(jì)算出每匯總統(tǒng)小時(shí)收銀臺(tái)最優(yōu)開(kāi)放數(shù)。

結(jié)論：當(dāng)日14點(diǎn)之前和17點(diǎn)之后開(kāi)放的收銀臺(tái)偏多，營(yíng)業(yè)期間兩端時(shí)段開(kāi)放的收銀臺(tái)浪費(fèi)率4甚至多達(dá)100%，而在當(dāng)日14：00～17：00這3個(gè)小時(shí)的高峰期間開(kāi)放的收銀臺(tái)又偏少。

2.驗(yàn)證最優(yōu)排班人數(shù)

我們結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)當(dāng)班人數(shù)來(lái)對(duì)比線性規(guī)劃模型優(yōu)化的排班人數(shù)。結(jié)合圖3計(jì)算結(jié)果得出表2。

結(jié)論：最優(yōu)解的全天當(dāng)班總?cè)藬?shù)由原來(lái)的39人下降到34人，全天總工時(shí)由原來(lái)的316小時(shí)降低到291小時(shí)，最終節(jié)約了5個(gè)人工，25個(gè)工時(shí)。

五、結(jié)語(yǔ)

本論文研究的目的雖然是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)優(yōu)化，但并不僅僅是為了精簡(jiǎn)員工，而是通過(guò)優(yōu)化提高管理效率，把現(xiàn)代企業(yè)管理意識(shí)植入到超市管理當(dāng)中，逐漸建立起一個(gè)科學(xué)化的管理機(jī)制。

1.模型的優(yōu)勢(shì)

（1）負(fù)責(zé)排班的前端主管可以利用模型，根據(jù)季節(jié)不同、來(lái)客數(shù)時(shí)段峰值的變化而設(shè)計(jì)班次及最優(yōu)人數(shù)，也可以驗(yàn)證排班的合理性。

（2）該優(yōu)化策略具有靈活的可操作性。例如：門(mén)店因?yàn)槿藛T短缺，則可以去除此時(shí)段的約束條件，即允許“浪費(fèi)時(shí)間”字段是負(fù)數(shù)的情況，這相當(dāng)于人為修正來(lái)客流曲線從而實(shí)現(xiàn)更優(yōu)化、更具有現(xiàn)實(shí)意義的排班策略。

（3）該模型不僅考慮到了換班吃飯的問(wèn)題，甚至還可以外延“班次”字段的定義，即讓班次對(duì)應(yīng)到每個(gè)收銀員。

（4）模型把來(lái)客數(shù)按時(shí)段分解，通過(guò)與“理論收銀臺(tái)最優(yōu)開(kāi)放數(shù)”的對(duì)比，使前端領(lǐng)班或主管能對(duì)當(dāng)前收銀員應(yīng)對(duì)來(lái)客數(shù)的承載量進(jìn)行預(yù)估，為其現(xiàn)場(chǎng)管理提供了便利，同時(shí)也為前端領(lǐng)班或主管的管理能力的評(píng)估提供了量化的手段。

（5）模型也可以在連鎖門(mén)店之間橫向?qū)Ρ绕淝岸说氖浙y現(xiàn)狀，從而形成良性的水平競(jìng)爭(zhēng)局面，提供結(jié)構(gòu)性的管理數(shù)據(jù)。如案例中的門(mén)店服務(wù)效率近期總體在45～50人/小時(shí)之間，同比另一門(mén)店B高達(dá)60～65人/小時(shí)之間，而門(mén)店C只有30～35人/小時(shí)之間。顯而易見(jiàn)，門(mén)店B的收銀員多為熟手或業(yè)務(wù)熟練度較高，門(mén)店C的收銀員多為新手或業(yè)務(wù)熟練度較低。

2.模型的不足和改善

（1）優(yōu)化在提高人力資源使用效率的同時(shí)，也降低應(yīng)對(duì)突發(fā)情況的能力。當(dāng)現(xiàn)場(chǎng)發(fā)生斷電、個(gè)別收銀員突發(fā)性曠工等情況時(shí)，將難以應(yīng)對(duì)，實(shí)際應(yīng)用要考慮增加一定比例的彈性。

（2）模型僅僅考慮到收銀工作本身，現(xiàn)實(shí)中在收銀員當(dāng)班期間，除了收銀的工作，還有開(kāi)關(guān)店、收銀臺(tái)側(cè)架的補(bǔ)貨、清潔、現(xiàn)金清點(diǎn)等工作。建議合理利用"浪費(fèi)工時(shí)"字段中數(shù)據(jù)，來(lái)安排收銀以外的相關(guān)工作，更能提高效率。

（3）模型中的客流高峰僅僅細(xì)分到以小時(shí)數(shù)為基數(shù)單位，有時(shí)客流會(huì)集中在更細(xì)分的時(shí)間段，造成瞬時(shí)擁堵，這種現(xiàn)象在某些特殊時(shí)段甚至是常態(tài)。例如在21：00～22：00超市營(yíng)業(yè)的最后時(shí)段，通常會(huì)出現(xiàn)100多位顧客集中在21：30～21：45時(shí)段買(mǎi)單。要解決這一問(wèn)題，必須采用其他方案解決。

（4）在最優(yōu)服務(wù)和最優(yōu)效率之間平衡的問(wèn)題。這兩者的矛盾在于：顧客的來(lái)客流是非對(duì)稱(chēng)、非平滑的曲線，有些時(shí)刻的曲線是突兀的；同時(shí)，不可能安排收銀員上班一、二個(gè)小時(shí)之后就要求其下班，也要考慮人性化管理的問(wèn)題。

注釋?zhuān)?/p>

①每個(gè)收銀臺(tái)對(duì)應(yīng)一個(gè)收銀員

②符合以下四個(gè)性質(zhì)的顧客流稱(chēng)為泊松流又稱(chēng)最簡(jiǎn)單流。

a.流的平穩(wěn)性。在時(shí)間區(qū)間[t，t+△t]內(nèi)到達(dá)k位顧客的概率與t無(wú)關(guān)，只與△t有關(guān)。

b.流的無(wú)后效性（獨(dú)立性）。顧客的到來(lái)是不相關(guān)聯(lián)的，或稱(chēng)為相互獨(dú)立的。在兩個(gè)互不交叉時(shí)段τ1和τ2內(nèi)，來(lái)到系統(tǒng)的顧客數(shù)是相互獨(dú)立的。

c.流的普通性。在足夠小（充分?。┑臅r(shí)間間隔內(nèi)，或稱(chēng)為“同一瞬間”，正好有兩個(gè)或兩個(gè)以上顧客來(lái)到系統(tǒng)的概率為高階無(wú)窮小，可以忽略。

d.流的有限性。在任意的有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)，到達(dá)有限位顧客的概率為1。換言之，有0個(gè)顧客至有k個(gè)顧客（k→∞）這些情況中，必定有一種要發(fā)生。

③該超市實(shí)際是從早上七點(diǎn)半開(kāi)始營(yíng)業(yè)，所以半小時(shí)內(nèi)來(lái)客數(shù)是93，則每小時(shí)客流是186。

④有些大型超市中，還存在賣(mài)場(chǎng)內(nèi)的單獨(dú)收銀機(jī)、出口換購(gòu)等收銀臺(tái)，統(tǒng)計(jì)時(shí)需要除去這些收銀員占據(jù)的工時(shí)，也要除去這些收銀臺(tái)承載的客流數(shù)，本案例中已經(jīng)去除。

參考文獻(xiàn)：

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[2]孫昌言，陳偉忠.工商管理中的定量分析方法[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2003.

作者簡(jiǎn)介：綦小剛（1977- ），男，上海，曾任卜蜂蓮花某門(mén)店副店，同濟(jì)大學(xué)2010級(jí)MBA；丁小東（1981- ），男，上海，曾任卜蜂蓮花某門(mén)店副店，華東理工大學(xué)2009級(jí)MBA