王壯
【摘要】函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)十分重要的性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)問題中十分有力的工具.本文介紹了函數(shù)單調(diào)性在解題中的若干應(yīng)用,其中包括應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性證明不等式、解不等式、比較大小、求最值、解方程、解決實際問題,和求參變量的取值范圍等方面的問題.
【關(guān)鍵詞】單調(diào)性;不等式;最值;方程
前言
在函數(shù)的眾多性質(zhì)中,函數(shù)單調(diào)性是最為關(guān)鍵的,不論是高考的趨勢,還是新課標內(nèi)容所提倡的數(shù)學理念.都對學生學習函數(shù)單調(diào)性提出比較高的層次要求,但是因為在函數(shù)函數(shù)單調(diào)性學習過程中函數(shù)單調(diào)性證明和應(yīng)用是比較復(fù)雜的.這就使得學生在解題和學習過程中遇到了很多困難,所以這就要求學生要熟練掌握以及運用函數(shù)單調(diào)性的定義能夠利用單調(diào)性解決各種問題,從而才能更好的應(yīng)用單調(diào)性解決問題,而在其應(yīng)用中又體現(xiàn)很多的數(shù)學思想,本文就函數(shù)單調(diào)性解決問題這一點進行了整理歸類,將平時遇到的問題整理出來.
一、利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式
想要利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式,首先得構(gòu)造出函數(shù).那么就得對不等式進行變換. 通過移項不等式的一邊變?yōu)?,那么另一邊就是所構(gòu)造出來的函數(shù).設(shè)為函數(shù)則原式就變成了或等關(guān)系.即證明滿足這種關(guān)系,就能證明原不等式成立.此時就用到了函數(shù)的單調(diào)性.對函數(shù)當中包含的符號進行具體分析,找出其中的特點,并且利用這些特點來制定具體的解決方法.這樣才能確定函數(shù)的增減性,利用函數(shù)單調(diào)性,可以推出所需要的不等式關(guān)系,從而原不等式就得到了證明.
二、利用函數(shù)單調(diào)性解不等式
想要利用函數(shù)單調(diào)性解不等式.這類問題有時候不能直接利用原不等式來證明,這時就要對原式進行等價變換,構(gòu)造出新的不等式關(guān)系,使問題變得簡單.首先要利用函數(shù)本身的性質(zhì),對原不等式等價變換構(gòu)造出新的不等式關(guān)系,然后接下來對新的不等式進行運算得出結(jié)果,有時這個結(jié)果就是要解的不等式的結(jié)果,但有的時候,還需要根據(jù)實際問題具體分析才能解除不等式.
解決這類問題,核心就是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性進行等價變形之后再求解,那么如何進行等價變形呢?這就是需要注意的地方了.首先觀察題中所給的各種已知條件,有的已知條件時直接給出來的而有的條件需要推導出來,所以這就要求學生熟練掌握式子的變形,并且能夠靈活運用題中給的條件才能更好地解不等式.
三、利用函數(shù)單調(diào)性比較大小
想要利用函數(shù)單調(diào)性比較大小.這就需要學生對函數(shù)等等性有很深的理解,解決這種問題的基礎(chǔ)是要能夠正確的選擇考察函數(shù),可根據(jù)定量,也就是常量和變量.作為比較的依據(jù)想比較兩個函數(shù)的大小.就得分清楚函數(shù)中兩個量的位置,通常進行比較的是變量的大小從而比較函數(shù)的大小,這時就會利用到有特殊問題歸納出一般問題這一數(shù)學思想.所以這類問題的解決方法可以總結(jié)為想要解決一個特殊的問題,就要把它轉(zhuǎn)化成一般的問題.這樣特殊問題的解就比較明確了.
四、利用函數(shù)單調(diào)性求最值
所以解決這類問題,重要的是掌握函數(shù)單調(diào)性的定義.只有掌握了定義,才能夠更好的運用定義來解決問題.但是單單掌握了定義是不夠的,像本題中是很好的運用了定義,但是如果沒有選擇正確合適的賦值是遠遠不能夠達到解題的要求的,所以說賦值法對于解決問題起到了至關(guān)重要的作用,能夠正確的賦值才是解決問題的關(guān)鍵.
五、利用函數(shù)單調(diào)性解方程
利用函數(shù)單調(diào)性解方程,關(guān)鍵的是對原方程進行合理變形,其中包含著各種數(shù)學思想有構(gòu)造函數(shù)思想,換元思想,通過方程兩邊式子的結(jié)構(gòu)和特征來進行觀察,然后構(gòu)造出合適的方程使解題變得簡單容易.這時構(gòu)造法起到了很重要的作用,構(gòu)造法可以讓從另一個角度來思考問題,可以使原有隱晦不清的特性在新構(gòu)造的對象清晰的展現(xiàn)出來達到解決數(shù)學問題的目的.
六、利用函數(shù)單調(diào)性解決實際問題
函數(shù)單調(diào)性在實際生活中的應(yīng)用主要反映在極值(最值)上,如材料優(yōu)化、資源整合、利潤最大化路徑選擇等.首先把生活中實際問題抽象成對應(yīng)的數(shù)學問題,并列出有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式;其次求的導數(shù),并解方程;再次把的兩個端點和上一步中所求的所有極值點,放在一起比較它們函數(shù)值的大小,從而得出函數(shù)的最值;最后根據(jù)實際問題的定義給出答案.
結(jié)束語
本論文主要是講述了利用函數(shù)的特性能解決哪些問題,并舉出了具體的實例來說明在解決實際問題中的具體步驟,想要利用函數(shù)單調(diào)性解題,這樣的問題是有規(guī)律和套路可尋的.例如不能從題目給的已知條件考慮問題,有時還需要根據(jù)題中給的條件證明問題去構(gòu)造函數(shù),使得問題的解決變得簡單明了從而使問題輕易解決.從上面來講,學生在高中函數(shù)單調(diào)性的學習,不光要學習單調(diào)性的定義,更重要的是能夠利用單調(diào)性解決各種各類的數(shù)學問題,因此教師在教學中應(yīng)該有意識的培養(yǎng)學生的綜合運用能力.但是本論文由于受自己的專業(yè)能力和寫作時間的限制,仍存在一些不足.我會繼續(xù)努力為以后的教學做出更大的貢獻.
參考文獻:
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[2]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(第六版)[M],北京:高等教育出版社,2012.