摘? 要：以一個生活問題為切入點，設計了作為定積分學習驅動問題的學習任務. 分情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個環(huán)節(jié)完整呈現(xiàn)了將實際問題轉化為數(shù)學問題，并運用定積分加以解決的過程. 探討了此學習任務中各個環(huán)節(jié)所涉及的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，并對驅動問題的設計提出一些看法.

關鍵詞：核心素養(yǎng);驅動問題;定積分

一、背景

高中階段的微積分教學是高中數(shù)學教學中值得研究的一個問題. 面對高中學生，微積分教什么、怎么教是一線教師關注的焦點. 縱覽古今中外高中階段微積分課程的發(fā)展，可知微積分教學及其改革的艱巨性、復雜性和緊迫性.

過去十余年，筆者曾面向不同的學生群體教授過一元微積分課程，內容從一元函數(shù)的極限至無窮級數(shù)為止. 這些授課對象包括：低年級（非數(shù)學專業(yè)）本科生;選修大學先修課程（或者美國AP課程）的高中生、少數(shù)資優(yōu)初中生等. 上述課程的共同特點是偏重計算，淡化以實數(shù)理論為代表的部分內容. 大多數(shù)學生關注的焦點也集中在“是什么”，而很少追究“為什么”，更遑論主動思考“還有什么”. 不少學生對所學內容考完就忘，在今后的學習、工作中遇到實際問題，也很難想起借助微積分來尋求解答，這不能不說是教學的遺憾.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出，高中數(shù)學課程應當凸顯數(shù)學的內在邏輯和思想方法，強調數(shù)學與生活及其他學科的聯(lián)系，提升學生應用數(shù)學解決實際問題的能力. 據(jù)此，筆者產(chǎn)生了用“問題解決”來推動微積分學習的想法. 本文把一個源自日常生活的趣味問題作為定積分教學的驅動問題，嘗試設計一個包含情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個環(huán)節(jié)的學習任務，并藉此來發(fā)展學生的相關數(shù)學素養(yǎng).

二、任務設計

1. 設計目標與重、難點

認知目標：掌握定積分的定義，認識變化率和總改變量之間的關系，拓展對速率的認識.

能力目標：運用類比、數(shù)學化的思想，提高合情推理能力，培養(yǎng)數(shù)學交流、表達能力，嘗試數(shù)學建模的過程，體驗基本的問題解決過程. 著重發(fā)展學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).

育人目標：通過做數(shù)學，親歷將總改變量轉化為定積分的過程，并體驗數(shù)學與生活的聯(lián)系，從而引導學生主動發(fā)現(xiàn)問題，自主運用數(shù)學工具解決問題，感悟數(shù)學的無處不在和巨大能量.

任務重點：將實際問題轉化為定積分，鼓勵學生主動思考、積極交流.

任務難點：建立適當?shù)谋环e函數(shù)，將問題轉化為定積分并求解.

2. 教學環(huán)節(jié)

（1）情境與問題.

情境：生活中經(jīng)常聽到消費者用“一抓準”來形容資深售貨員能在不借助儀器的情況下，直接抓取顧客所需分量的商品，以此稱贊他們的業(yè)務能力. 現(xiàn)在來考慮一個與“一抓準”類似的“一開準”問題.

早晨刷牙，擰開水龍頭，用杯子接水，是一個每天都要重復的動作. 通常的做法是，先擰開水龍頭，等待杯中的水“差不多”裝滿，再迅速地關閉水龍頭，以防止浪費. 那么，以什么樣的角速度開關水龍頭，可以使得當水龍頭從完全關閉的狀態(tài)變成完全打開，不作任何中間停留，直接再以相同速度回到完全關閉之后，總的出水量恰好能達到指定的值？

問題：試計算能實現(xiàn)“一開準”接水過程的開關水龍頭的“角速度”.

（2）知識與技能.

知識：定積分的概念.

如果函數(shù)[fx]在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點[a=x0<x1< … <xi-1<xi< … <xn=b]將區(qū)間[a，b]等分成[n]個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi-1，xi]上任取一點[ξi][i=1，2，…，n，] 作和式[i=1nfξiΔx=i=1nb-anfξi，] 當[n→+∞]時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)[fx]在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作[ abfxdx，] 即[ a bfxdx=limn→+∞i=1nb-anfξi.] 這里，[a]與[b]分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)[fx]叫做被積函數(shù)，[x]叫做積分變量，[fxdx]叫做被積式.

技能：曲邊圖形面積問題與變力做功問題的解決示范.

例1 （曲邊圖形面積）如圖1，求由函數(shù)[fx=x2]的圖象與直線[x=1，y=0]所圍成的平面圖形的面積[S.]

解：按照分割、近似代替、求和、取極限的步驟，得[S=limn→+∞Sn=limn→+∞i=1n1nfi-1n=limn→+∞131-1n1-12n=13.]

例2 （變力做功）如圖2，在彈性限度內，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置[l]m處，求克服彈力所做的功. 解：在彈性限度內，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力[Fx]與彈簧拉伸（或壓縮）的長度[x]成正比，

即[Fx=kx，] 其中常數(shù)[k]是比例系數(shù).

由變力做功公式，得

[W=0lkxdx=12kx2l0=12kl2]（J）.

（3）思維與表達.

思維：通過對上述兩例的學習，已初步理解了定積分的意義和從已知變化率求出總改變量的一般過程. 與變力做功的例題類似，在“一開準”問題中，杯子里水量的變化率也是一個隨時間變化的（非常值）函數(shù)，但是在非常短的時間區(qū)間內，這一變化率的變化也非常小，從而可以近似地看作一個常數(shù). 如此，便完成了曲邊梯形計算中關鍵的“近似代替”步驟，使得把曲邊梯形面積的計算過程用于“一開準”問題的設想成為可能.

表達：如同例題所展示的，利用定積分解決問題，需要突破兩個關口：其一，是變化率函數(shù)，即被積函數(shù)的確定;其二，是變化率與改變量之間由定積分確定的等量關系.

此問題中的變化率是單位時間內由水龍頭中流出的水量，這個量一般稱為水的流量. 易知，流量可由水流的橫截面積與水管內水的流速確定，而隨著水龍頭開的“大小”改變的是面積. 因此，假設流速穩(wěn)定，只需求出橫截面積隨時間變化的函數(shù)即可.

問題解決.

① 一般假設.

首先，明確問題中談論的“水龍頭”的工作原理. 假設我們所考慮的水龍頭是以球閥來控制水流的，其內部結構如圖3所示.

其次，是水管口徑、水在管內的流速這兩個關鍵數(shù)據(jù). 考慮常見的4分管，管徑按11.5毫米計算. 流速則與工程計算的約定相同，按1米 / 秒計算.

理想化假設：一方面，令球閥閥芯開口的圓面與球心的距離為球體半徑的[22，] 從而當閥芯上的開口面與閥體上的開口面垂直時，龍頭恰好完全關閉;另一方面，當水龍頭把手轉動[θ]角時，水流的截面由一個弓形和一個橢圓中的弓形組成，如圖4陰影部分所示.

[O][A][B][圖4]

同時，我們也假設管內水流速度平穩(wěn)，呈勻速流動，且管內各處直徑相同，不考慮雜質、污垢等造成的影響.

② 面積函數(shù).

由面積射影定理，得所求面積為[r2arccostanπ-2θ4-]

[tanπ-2θ41-tan2π-2θ41+sinθ，r=OA.]

按照以上分析得到的模型固然比較精確，但是并不實用. 為此，考慮模型中最復雜的部分：[Sθ=][arccostanπ-2θ4-tanπ-2θ41-tan2π-2θ4，] 其圖象如圖5所示.

不難發(fā)現(xiàn)[Sθ]的圖象與函數(shù)[S=θ]的圖象非常接近，這啟發(fā)我們用[r2θ1+sinθ]來取代原先的模型. 結合水龍頭的管徑與出水速度等數(shù)據(jù)，得到簡化的流量模型：[vθ=10011.522 · θ1+sinθ≈33.06θ1+sinθ]（單位：厘米3 / 秒）.

③ 積分方程.

回到最初的問題，設水杯的容量為500毫升，水龍頭勻速地從完全關閉到完全打開用時為[T.] 由定積分的定義，可得[02T33.06π2TT-T-t1+sinπ2TT-T-tdt=500.]其意義為：以角速度[π2T]將水龍頭勻速地從完全關閉狀態(tài)打開到最大，再以同樣的速度將水龍頭勻速地關上，中間不作任何停留，總共經(jīng)過時間[2T]后，在這一過程中從該水龍頭共流出500毫升的水.

考慮被積函數(shù)的圖象（圖6），結合定積分作為曲邊圖形面積的幾何意義，由函數(shù)[T-T-t]的對稱性知，被積函數(shù)在區(qū)間[0，T]和[T，2T]上的積分相等，故方程可變形為[33.060Tπ2Tt1+sinπ2Ttdt=250.] 再換元[u=πt2T，] 它對應著圖象的伸縮變換（圖7），故同樣由定積分的幾何意義（實質上是簡單的換元積分法），可得方程化簡為[33.06 · 2Tπ0π2u1+sinudu=250.] 注意該方程已經(jīng)把原來關于[T]的積分方程轉化成了代數(shù)方程. 借助計算器，得定積分[0π2u1+sinudu≈2.233 70，]代入方程解得[T≈5.32]（秒）.

（4）交流與反思.

交流：上述計算過程中有兩個值得探討的問題. 首先，為求定積分[02T33.06π2TT-T-t1+sinπ2TT-T-tdt]的值，我們運用了函數(shù)的對稱性來幫助簡化算式;而為了求解得到的（積分）方程，又通過變量替換的方法將[T]從積分號下“解放”出來. 這一現(xiàn)象在定積分的計算中是否具有普遍性？

其次，最后的定積分[0π2u1+sinudu]是通過計算器的幫助來求值的，但是其被積函數(shù)是我們熟悉的初等函數(shù)之積. 這樣的積分可以不借助計算器求解嗎？

反思：在我們對模型的初步簡化中選擇[S=θ]來進行近似，更多地依賴于對函數(shù)圖象的直觀感知，這是一種不太嚴謹?shù)奶幚硎侄? 在數(shù)學上更加合理的做法是利用最小二乘法來尋找已知函數(shù)[Sθ]的線性逼近. 可得到[Sθ≈lθ=1.040 49θ-0.054 73.]

為比較這兩個逼近，在同一坐標系中作三個函數(shù)[S=Sθ，S=θ]和[S=lθ]的圖象，如圖8所示. 容易發(fā)現(xiàn)，三個圖象在[θ=0]附近的偏差相對明顯，在[θ=π2]附近則相當接近.

分別計算三個函數(shù)與[1+sinθ]相乘之后的積分，得[0π2Sθ1+sinθdθ≈2.183 48; 0π2θ1+sinθdθ≈2.233 70;][0π2lθ1+sinθdθ≈2.183 44.] 因而，在積分的意義下，[lθ]給出了更好的逼近. 與此同時，我們不禁要問：最初的觀察[Sθ≈θ]只是一種單純的巧合，還是背后另有道理呢？

為此，考查[Sθ]在[θ=π2]處的泰勒展開式，可知[Sθ=π2+θ-π2+124θ-π23+oθ-π24，] 值得注意的是，[Sθ-π2]是關于[θ-π2]的奇函數(shù). 因此，當[θ]與[π2]相差不大時，用[S=θ]對[S=Sθ]進行逼近既有微分運算的支持，也是符合直觀感知的. 但是由于原問題關注的是函數(shù)[S=Sθ]在積分中的行為，因此最小二乘法給出的逼近[S=lθ]更佳.

三、小結

上述問題解決的各個環(huán)節(jié)中涉及的數(shù)學學科核心素養(yǎng)總結如下表.

此外，積分方程化為代數(shù)方程的變形過程隱藏了換元積分公式和分部積分公式. 在現(xiàn)階段的知識基礎上，這些公式的推導可以作為拓展學習的內容定性地展開. 同時，其背后的一般性事實又能作為激發(fā)學生進一步學習微積分熱情的突破點.

事實上，在教學中將數(shù)學知識技能與生活、科學問題相結合的想法由來已久，國內外很多同行也已進行了許多嘗試. 但是在實踐過程中，往往會遇到各種障礙：學生對學科之間的聯(lián)系認識不足，導致無法識別驅動問題中潛在的數(shù)學問題;求解問題所需的數(shù)學能力低于學生當前學習的數(shù)學課程的要求，貶低了數(shù)學應用的價值;數(shù)學教師難以轉換角色，扮演“數(shù)學的使用者”，凡此種種，不一而足. 筆者認為，要解決上述種種矛盾，尋找恰當?shù)尿寗訂栴}不失為一個可行的解決方案. 因此，本文進行了一個初步的嘗試，試圖幫助教師解決“怎么教”的困惑，也為學生提供更多“為什么而學”的理由，希望能起到拋磚引玉的作用.

參考文獻：

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[3]DOIG B，WILLIAMS J，SWANSON D，et al. Interdisciplinary Mathematics Education[M]. Cham，Switzerland：Springer Open，2019.

收稿日期：2020-09-21

作者簡介：汪健（1984— ），男，中學一級教師，主要從事單元設計研究.