程路加

摘 要：幾何從小學(xué)的正方形長方形開始，再到初高中的立體幾何，一直是數(shù)學(xué)中的重點，也是考試的必考點。小學(xué)階段的平面幾何，是小學(xué)數(shù)學(xué)階段的一個重點知識，在小升初的考試中也占據(jù)了較大比例。基于此，本文主要就小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)幾何題類型進行了分析和總結(jié)。在內(nèi)容上，首先從熟練小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何公式、把握小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何思想兩個維度就小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何知識點進行了歸納和總結(jié);其次簡要總結(jié)了現(xiàn)階段小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何常見考點;最后，分填空題類型、解答題類型兩個層面對小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何考試形式進行了歸納，并就其經(jīng)驗方法和解題技巧進行了總結(jié)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);基礎(chǔ)幾何;考試形式;經(jīng)驗總結(jié)

整個數(shù)學(xué)知識中，最重要的兩類知識就是數(shù)字和圖形，而圖形用數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語來說就是幾何，一個由古希臘語演變而來的詞匯。在數(shù)學(xué)王國中，幾何占據(jù)半壁江山，是大家在數(shù)學(xué)考試中必考的知識，也是很多同學(xué)非常容易丟分的知識。小學(xué)數(shù)學(xué)主要分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率和解決問題這四大模塊。小學(xué)的幾何問題雖然沒有初高中的復(fù)雜、有難度，但也是很重要的一部分，需要熟練掌握平面幾何知識和常見考點題型。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何知識點及學(xué)習(xí)策略

圖形與幾何部分課程是我國中小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科知識的重要組成部分。新課標中規(guī)定的圖形與立體幾何的內(nèi)容和知識結(jié)構(gòu)以"立體-平面-立體"的圖形為知識主線，以"圖形的認識、測量、圖形與位置、圖形與變換"四條知識線索有序展開，遵循教師和學(xué)生的認知發(fā)展特點，各個學(xué)段逐層推進。

（一）注重運用平面幾何公式

小學(xué)生的數(shù)學(xué)平面圖在幾何基礎(chǔ)知識中，幾何最主要的考察測量項目之一就是測量圖形的直線周長、面積和圖形的體積，而對于我們最常見的基本幾何圖形，這些都被認為是需要有基本幾何計算公式的，也是小學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)的過程中，在學(xué)習(xí)和計算幾何的時候最常用的基本幾何計算方法。比如小學(xué)生的數(shù)學(xué)平面圖在幾何基礎(chǔ)知識中三角形的面積計算公式：面積=底×高÷2，很多學(xué)生學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何知識過程中在計算時經(jīng)常忘記最后的除以2，導(dǎo)致計算的錯誤。

例1 四邊形ABCD是長方形，點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD 上，若△AED，△DEF，四邊形BCFE的面積比是1：3：5，則AE：BE是多少？

分析：作為最基礎(chǔ)的幾何計算的方法，幾何計算公式的學(xué)習(xí)是一定要爛熟于胸的，做到隨時隨地都能夠絲毫不差的把它背出來。對于這樣的情況，就需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中從本質(zhì)上了解這個公式是怎么得到的，加深理解才能熟練地掌握公式，為進一步的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

（二）注重運用小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何思想

小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何知識中能夠熟練運用幾何公式主要針對的是學(xué)習(xí)過程中簡單的幾何題目，但是要想解決其他有些難度的小學(xué)數(shù)學(xué)幾何題，還需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中把握小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何思想，這就需要幫助學(xué)生能夠理解和把握解幾何題常用的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想。

例2 如圖所示，在長方形ABCD中，AB的長是6厘米，BC的長是8厘米，四邊形EFHG的面積是5平方厘米，求出陰影部分的面積。

解析：本題中的幾何圖形第一感覺是亂，線段縱橫相互交錯，規(guī)則圖形與不規(guī)則圖形重疊并存。尤其是年齡尚幼的小學(xué)生，容易束手無策。但作為標準的小學(xué)數(shù)學(xué)考試題，考試有時間限定，因此這是對做題者的知識積累和破題效率的檢驗，也是對思維敏捷度和邏輯性的測試。

根據(jù)題意，首先從已知條件入手，因為四邊形ABCD為長方形，AC和BD是長方形的對角線，且相交于H，所以可根據(jù)其性質(zhì)得出隱含于其中的其它條件：

（三）注重運用空間觀念和思維能力

小學(xué)階段學(xué)習(xí)的幾何都是比較簡單直觀的。因此，多觀察對學(xué)好幾何特別有利。通過空間思維將原有圖形轉(zhuǎn)化或補全，以便于更清晰的明確條件和所求問題。

思路：將陰影部分的面積看成兩個或多個規(guī)則圖形的差。

在幾何學(xué)習(xí)中，有許多圖形大同小異，例如正方形、長方形、梯形，直線和射線等，在做題過程中針對這類圖形時，一定要讓學(xué)生多思考，通過分析和對比，找出這些圖形的相同點和不同點。對于幾何中的公式、定理可以做到有效清晰的運用，進而取得好成績。

二、常見考點和對應(yīng)知識點系統(tǒng)總結(jié)策略

下面以小學(xué)數(shù)學(xué)中較為常見的三角形為例，對三角形常見考點和對應(yīng)知識點進行總結(jié)。

例5 如圖，已知三角形ABC的面積為14平方厘米，且DC=3DB，AE=ED，求陰影部分的面積是多少平方厘米。

分析：此題只是告訴了整個大三角形的面積，而沒有給出任何線段的長度，所以此題肯定不能直接用公式求面積。題中給出AE=ED，這個條件怎么使用呢？如果連接DF，這樣就可以得到兩個面積相等的三角形，于是陰影部分的面積就等于三角形DCF的面積。

接著看題中的條件DC=3DB，根據(jù)“等高的三角形面積之比等于底邊之比”可以推出S△DCF

=3S△BDF，再結(jié)合△CDF，△CAF，△BDF的面積之和等于三角形ABC的面積，即為14平方厘米，得出等量關(guān)系，于是問題即可得到解決。

解析：這道題有一定難度，如果不能正確把相等面積進行轉(zhuǎn)化，將無法得出結(jié)果。解題的關(guān)鍵是理解等高的三角形面積之比等于底邊之比。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何考試形式

小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何考試形式主要可以分為概念以及基本性質(zhì)的考察、公式運用、平面圖形的周長、面積、高的求解，這類題目主要以填空題的形式出現(xiàn)，難度較低。平面幾何出現(xiàn)大題中，常見類型是求陰影面積。平面圖形的面積問題一直是考察的重難點內(nèi)容，可分為規(guī)則、不規(guī)則以及組合圖形。

（一）小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何填空題類型

填空題多考察基礎(chǔ)概念和性質(zhì)。如，邊長增加1分米變?yōu)?6分米，面積變?yōu)?6×16=256平方分米，則面積增加了____。

在計算中涉及到確定圖形、選擇公式、計算結(jié)果。原面積為15×15=225平方分米，增加了256-225=31平方分米。應(yīng)該注意到，做小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何填空題類型需要注意它的常見陷阱---單位。首先要看題目中有沒有單位，沒有單位的要寫上，其次要看單位是否統(tǒng)一，不統(tǒng)一的要化成統(tǒng)一單位。此外，小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何填空題類型畫草圖也是一種好方法。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何解答題類型

小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何解答題以求陰影面積為主，此類題要注意方法。如，以下圖形求陰影面積：

（1）求下圖中的陰影面積

該種小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何解答題類型的方法是重新組合法，就是將小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何解答題中的不規(guī)則圖形拆開，根據(jù)情況，組合成一個新的熟悉的平面幾何組合圖形去求解。組合后如下圖：轉(zhuǎn)換成一個圓，一個正方形，直接求即可。

（2）求下列陰影部分面積

該種小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何解答題類型一般是用旋轉(zhuǎn)法，左半圖形繞B點逆時針方向旋轉(zhuǎn)180度，使A與C重合，從而構(gòu)成下圖的樣子，此時陰影部分的面積可以看做半圓面積減去中間等腰三角形的面積。

（三）小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何基本方法總結(jié)

對于不規(guī)則圖形的面積通常比較難于求解，但掌握一些解題方法，有助于我們快速的解決問題。常見的求平面圖形的面積的方法，除了上面兩種方法，還有直接求法，輔助線法，割補法，平移法，對稱添補法，大家在平面幾何專題的時候，務(wù)必重視這些基本方法。

一是幾何三大圖形變換：對稱、平移、旋轉(zhuǎn)，這三類幾何圖形的各種變換和方法幾乎貫穿了從小學(xué)到高中的所有幾何學(xué)習(xí)題目，尤其在高中平面幾何的題目中經(jīng)常被學(xué)生遇到，巧用這些圖形轉(zhuǎn)化方法可以很快幫助學(xué)生完成對幾何圖形的變換和轉(zhuǎn)化，達到快速解題的理想目的。

例6 用3個棱長為2分米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的體積是（）立方分米，表面積是（）平方分米。

解析：根據(jù)拼切前后，體積之不變，可知這個長方體的體積就是原來3個正方體體積之和，V==3×2×2×2=24立方分米;拼一次，減少兩個面，用3個棱長為2分米的正方體拼成一個長方體，拼了2次，就減少4個面，S==4×2×2=16平方分米，3個正方體表面積之和為S=3×=3×6×2×2=72平方分米，72-16=56平方分米.

二是熟練運用等積幾何變形。等積幾何變形就是在能夠保證幾何圖形面積固定不變的基礎(chǔ)上，將圖形的幾何形狀和長度進行了改變，轉(zhuǎn)化為我們自己想要的幾何圖形，能夠熟練的掌握和運用等積變形的知識和方法，可以有效的幫助大家提高我們掌握幾何數(shù)學(xué)解題的能力。

例7 一個圓錐的體積是9.42立方分米，底面直徑是6分米，它的高是（）分米，和它等底等高的圓柱的體積是（）立方分米。

解析：由V=Sh÷3，可知h=3V÷S=9.42×3÷（3.14×3×3）=1分米，又知等底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍，可知圓柱的體積列式為9.42×3=28.26立方分米（注意，圓錐的高h=3V÷S，而不是h=V÷S）.

三是所謂的幾何基礎(chǔ)模型。所謂的幾何模型是在對幾何的基礎(chǔ)知識上，通過對實踐研究驗證得到的一些比較通用的理論性質(zhì)，運用這些幾何基礎(chǔ)知識，可以將一些比較復(fù)雜的幾何設(shè)計題目得出。通過簡單地計算分析得出的結(jié)果，是我們解決復(fù)雜的幾何題目常用到的一種方法。

例8 一個圓柱的體積是6立方厘米，與它等底等高的圓錐的體積是（）立方厘米。

解析：根據(jù)等底等高的圓錐體積是圓柱體積的1/3，列式為6×1/3=2立方厘米。

四是拼接和割補。顧名思義，割補的技巧和方法就是將所有圖形全部進行分割或者拼接填補，組成一個有規(guī)則的圖形，方便考生求出圖形面積，而在實際的運用中，有些簡單的題目只是需要簡單學(xué)會運用圖形分割或者拼接填補的技巧和方法，而有些復(fù)雜的題目需要先將所有圖形全部進行分割后再直接進行圖形拼接和填補。

例9 一個大直角三角形，灰色區(qū)域為正方形，正方形的一個頂點把直角三角形的斜邊分割成8和4兩段，求陰影區(qū)域的面積。

解析：在小學(xué)幾何題的計算中，尤其是計算陰影面積，我們最常用到的方法就是“割補法”。在計算幾個部分的面積時，我們通常可以把幾個部分分開再重新組合成新的簡單圖形，然后再進行計算。將陰影的小三角形逆時針旋轉(zhuǎn)90度，正好與陰影的大三角形拼成一個新的直角三角形。且直角邊分別為4和8，再用三角形面積公式就可以求出它的面積。

四、小結(jié)

圖形與幾何主要研究現(xiàn)實世界中的物體和幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換，讓學(xué)生掌握相應(yīng)的基礎(chǔ)知識和基本技能，學(xué)會解決簡單的實際問題，豐富對現(xiàn)實空間及圖形的認識，更好地認識和理解人類的生存空間，發(fā)展形象思維，培養(yǎng)空間觀念和創(chuàng)新意識。其實小學(xué)立體幾何的題型不管怎么變，最基本的還是圍繞正方體、長方體、圓柱、圓錐這些基本圖形來展開，學(xué)會轉(zhuǎn)化、了解題目意思、學(xué)會畫圖、總結(jié)規(guī)律，那么在考試中，這類題目的分數(shù)一定可以拿下！

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