摘 要：本文針對常見的遞推數列，歸納出一種統一的方法——用待定系數法構造等比型數列來求通項.

關鍵詞：遞推數列;待定系數;等比數列;通項

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0056-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：王洪信（1972.9-），男，本科，高級教師，從事高中數學教學研究.

解決遞推數列問題，求出通項是關鍵.而求遞推數列的通項，方法多樣靈活，不易掌握.本文就幾類常見的遞推數列，總結出一種統一的方法——用待定系數來構造出等比數列.這種方法簡便，易于掌握，實用性強.下面分類說明.

一、an+1=pan+q（p、q為常數，p≠1，q≠0）型

這是最常見的一階遞推數列.用待定系數法，設遞推式可化成等比數列的形式：

與原遞推式比較系數，可知2x=1，得x=12，這樣有an+1+12=3（an+12）.所以數列{an+12}是公比為3的等比數列，該數列的首項是a1+12=32.

略解 設遞推式可化為an+x=2（an-1+x），即an=2an-1+x，與原遞推式比較系數，得x=1.可知{an+1}是公比為2，首項為a1+1=2的等比數列.故an+1=2×2n-1，得an=2n-1.

二、an+1=pan+f（n）（常數p≠1）型

其中的f（n）是我們熟知的數列，如等差數列、等比數列等.

1.{f（n）}是等差數列，即f（n）=An+B.

此時設遞推式an+1=pan+An+B可化成an+1+x（n+1）y=p（an+xn+y），即

an+1=pan+（p-1）xn+（p-1）y-x.

與原遞推式比較系數，得（p-1）x=A，

（p-1）y-x=B，可解出x，y.從而知{an+xn+y}是公比為p的等比數列.

例3 設a1=1，an+1=2an+2n+1，求an.

解 設遞推可化為an+1+x（n+1）+y=2（an+xn+y），即an+1=2an+xn+（y-x）.

2.{f（n）}是等比數列，即f（n）=rqn.

設遞推式an+1=pan+rqn可化成an+1+xqn+1=p（an+xqn），即an+1=pan+x（p-q）qn.

與原遞推式比較系數有x（p-q）=r，解出x，從而知{an+xqn}是公比為p的等比數列.

點評 從上述兩例可以看出，當f（n）是關于n的一次式（即等差數列），那么設出的待定式也是一次式（如xn+y）;當f（n）是關于n的指數式（即等比數列），那么設出的待定式也是指數式（如xqn）.簡言之，設出與f（n）同型的待定式.

三、an+2=pan+1+qan（常數pq≠0）型

這是二階遞推數列，用待定系數法，設遞推式可化成等比數列的形式：

xy=q.可解得x、y的值，從而可知{an+1+yan}是公比為x的等比數列.再列出關于an、an+1的方程組，解出an.

例5 （見課標教科書數學必修5 P696題）設a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），求an.

點評 本例由待定系數的方程組只得一組解，雖然只能得到一個含有an+1與an的關系式，無法解得an，但這個關系式可轉化成等差數列的問題，可方便地求出an.

參考文獻：

[1]惠潤科.淺談遞推數列中等差數列、等比數列的復習[J].數學通訊（上），2010（11，12）：45-46.

[2]鄧顯亮.遞推關系求通項5法[J].數理天地，2011（11）：11.

[3]劉再平.遞推數列問題的探究[J].中學生數學，2014（3）：36-37.

[責任編輯：李 璟]