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        構(gòu)造等比型數(shù)列求遞推數(shù)列的通項(xiàng)

        2020-09-10 17:07:15王洪信
        關(guān)鍵詞:等比數(shù)列通項(xiàng)

        摘 要:本文針對常見的遞推數(shù)列,歸納出一種統(tǒng)一的方法——用待定系數(shù)法構(gòu)造等比型數(shù)列來求通項(xiàng).

        關(guān)鍵詞:遞推數(shù)列;待定系數(shù);等比數(shù)列;通項(xiàng)

        中圖分類號:G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A ? ? ?文章編號:1008-0333(2020)10-0056-02

        收稿日期:2020-01-05

        作者簡介:王洪信(1972.9-),男,本科,高級教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

        解決遞推數(shù)列問題,求出通項(xiàng)是關(guān)鍵.而求遞推數(shù)列的通項(xiàng),方法多樣靈活,不易掌握.本文就幾類常見的遞推數(shù)列,總結(jié)出一種統(tǒng)一的方法——用待定系數(shù)來構(gòu)造出等比數(shù)列.這種方法簡便,易于掌握,實(shí)用性強(qiáng).下面分類說明.

        一、an+1=pan+q(p、q為常數(shù),p≠1,q≠0)型

        這是最常見的一階遞推數(shù)列.用待定系數(shù)法,設(shè)遞推式可化成等比數(shù)列的形式:

        與原遞推式比較系數(shù),可知2x=1,得x=12,這樣有an+1+12=3(an+12).所以數(shù)列{an+12}是公比為3的等比數(shù)列,該數(shù)列的首項(xiàng)是a1+12=32.

        略解 設(shè)遞推式可化為an+x=2(an-1+x),即an=2an-1+x,與原遞推式比較系數(shù),得x=1.可知{an+1}是公比為2,首項(xiàng)為a1+1=2的等比數(shù)列.故an+1=2×2n-1,得an=2n-1.

        二、an+1=pan+f(n)(常數(shù)p≠1)型

        其中的f(n)是我們熟知的數(shù)列,如等差數(shù)列、等比數(shù)列等.

        1.{f(n)}是等差數(shù)列,即f(n)=An+B.

        此時(shí)設(shè)遞推式an+1=pan+An+B可化成an+1+x(n+1)y=p(an+xn+y),即

        an+1=pan+(p-1)xn+(p-1)y-x.

        與原遞推式比較系數(shù),得(p-1)x=A,

        (p-1)y-x=B,可解出x,y.從而知{an+xn+y}是公比為p的等比數(shù)列.

        例3 設(shè)a1=1,an+1=2an+2n+1,求an.

        解 設(shè)遞推可化為an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),即an+1=2an+xn+(y-x).

        2.{f(n)}是等比數(shù)列,即f(n)=rqn.

        設(shè)遞推式an+1=pan+rqn可化成an+1+xqn+1=p(an+xqn),即an+1=pan+x(p-q)qn.

        與原遞推式比較系數(shù)有x(p-q)=r,解出x,從而知{an+xqn}是公比為p的等比數(shù)列.

        點(diǎn)評 從上述兩例可以看出,當(dāng)f(n)是關(guān)于n的一次式(即等差數(shù)列),那么設(shè)出的待定式也是一次式(如xn+y);當(dāng)f(n)是關(guān)于n的指數(shù)式(即等比數(shù)列),那么設(shè)出的待定式也是指數(shù)式(如xqn).簡言之,設(shè)出與f(n)同型的待定式.

        三、an+2=pan+1+qan(常數(shù)pq≠0)型

        這是二階遞推數(shù)列,用待定系數(shù)法,設(shè)遞推式可化成等比數(shù)列的形式:

        xy=q.可解得x、y的值,從而可知{an+1+yan}是公比為x的等比數(shù)列.再列出關(guān)于an、an+1的方程組,解出an.

        例5 (見課標(biāo)教科書數(shù)學(xué)必修5 P696題)設(shè)a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求an.

        點(diǎn)評 本例由待定系數(shù)的方程組只得一組解,雖然只能得到一個(gè)含有an+1與an的關(guān)系式,無法解得an,但這個(gè)關(guān)系式可轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列的問題,可方便地求出an.

        參考文獻(xiàn):

        [1]惠潤科.淺談遞推數(shù)列中等差數(shù)列、等比數(shù)列的復(fù)習(xí)[J].數(shù)學(xué)通訊(上),2010(11,12):45-46.

        [2]鄧顯亮.遞推關(guān)系求通項(xiàng)5法[J].數(shù)理天地,2011(11):11.

        [3]劉再平.遞推數(shù)列問題的探究[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2014(3):36-37.

        [責(zé)任編輯:李 璟]

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