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        關(guān)注圓的形成 加強(qiáng)解題應(yīng)用

        2020-09-10 17:07:15陳志年
        關(guān)鍵詞:動(dòng)點(diǎn)圓心圓弧

        摘 要:本文簡(jiǎn)述了圓的三種形成方式,解題時(shí)通過(guò)關(guān)注,應(yīng)用于解題,開(kāi)拓了解題思路,有的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化,利用圓的方程及圖形解決顯得很簡(jiǎn)捷,優(yōu)化了解題思路.

        關(guān)鍵詞:圓;形成方式;解題應(yīng)用

        中圖分類號(hào):G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A ? ? ?文章編號(hào):1008-0333(2020)10-0049-02

        收稿日期:2020-01-05

        作者簡(jiǎn)介:陳志年(1962.4-),男,安徽人,本科,中學(xué)高級(jí)教師,從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

        圓是我們大家很熟悉的一種圖形,看似簡(jiǎn)單,實(shí)則奇妙,奇妙得連它的形成方式也多種多樣.下面就圓的三種簡(jiǎn)單形成方式,例析它在解題中的應(yīng)用.

        一、圓的第一種形成方式

        平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓.這是大家熟悉的圓的定義,也稱為圓的第一定義.

        例1 (2014年湖南高考題)在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A(-1,0),B(0,3),C(3,0),動(dòng)點(diǎn)D滿足|CD|=1,則|OA+OB+OD|的取值范圍是( ?).

        A.[4,6] ? ? ?B.[19-1,19+1]

        C.[23,27]D.[7-1,7+1]

        解 ∵|CD|=1,∴動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是以點(diǎn)C為圓心,1為半徑的圓,設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則(x-3)2+y2=1.∵|OA+OB+OD|=(x-1)2+(y+3)2表示圓(x-3)2+y2=1上動(dòng)點(diǎn)D到點(diǎn)(1,-3)的距離,∴|OA+OB+OD|的取值范圍是[7-1,7+1],答案選D.

        例2 (1990年全國(guó)高考題)設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上,離心率e=32,已知點(diǎn)P(0,32)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是7,求這個(gè)橢圓方程,并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于7的點(diǎn)的坐標(biāo).

        解 設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),∵e=32,∴a2=4b2,橢圓方程變?yōu)閤2+4y2=4b2,到點(diǎn) P(0,32)距離等于7的動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓x2+(y-32)2=7.

        ∵點(diǎn)P(0,32)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是7,∴橢圓x2+4y2=4b2內(nèi)切于圓x2+(y-32)2=7.聯(lián)立方程x2+4y2=4b2和x2+(y-32)2=7得關(guān)于y的一元二次方程12y2+12y+19-16b2=0,由Δ=0得b=1,又a=2,∴橢圓方程是x24+y2=1.

        解方程x24+y2=1和x2+(y-32)2=7組成的方程組,得x=3,y=-12或x=-3,y=-12,∴橢圓上到點(diǎn)P的距離等于7的點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,-12)和(-3,-12).

        二、圓的第二種形成方式

        追本溯源,普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2第124頁(yè)習(xí)題:已知點(diǎn)M(x,y)與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0),A(3,0)的距離之比為12,求點(diǎn)M的軌跡方程.經(jīng)研究得點(diǎn)M的軌跡方程是(x+1)2+y2=4,軌跡是圓.

        推廣:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)A,B的距離之比為正數(shù)λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓.與橢圓、雙曲線的第二定義類似,我們把“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為正數(shù)λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓”叫作圓的第二定義.

        例3 (安徽省合肥市2020屆高三調(diào)研性檢測(cè)題)設(shè)直線l:x-3y+m=0上存在點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,0),O(0,0)的距離之比為2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

        .

        解 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則(x-3)2+y2x2+y2=2,化簡(jiǎn)整理得:(x+1)2+y2=4,所以滿足此條件的點(diǎn)P軌跡是圓.又點(diǎn)P在直線l上,所以直線l和圓(x+1)2+y2=4有公共點(diǎn),圓心到直線的距離小于或等于半徑,即|-1-3×0+m|2≤2,解得:-3≤m≤5,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為-3,5.

        例4 在△ABC中,BC=2,ACAB=2,則△ABC面積的最大值為

        .

        解 建立直角坐標(biāo)系xOy,使得B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0)和(1,0).設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則(x-1)2+y2(x+1)2+y2=2,即(x+3)2+y2=8.又y≠0,所以點(diǎn)A的軌跡是以(-3,0)為圓心,半徑為22的圓(除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)).當(dāng)點(diǎn)A在x軸上方最高點(diǎn)或x軸下方最低點(diǎn)時(shí),△ABC面積最大,最大面積為22.

        三、圓的第三種形成方式

        平面內(nèi)對(duì)定線段所張的角為θ(θ為常數(shù)且0<θ<π)或它的補(bǔ)角π-θ的動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓(除去線段兩端點(diǎn)).

        例5 (智學(xué)網(wǎng)試題改編 )在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知向量m=(cosA,cosB),n=(a,2c-b)且m∥n.

        (1)求角A的大小;

        (2)若△ABC是銳角三角形,a=23,求△ABC 面積S的取值范圍.

        解 ?(1)∵m∥n.

        ∴acos B-(2c-b)cos A=0.

        在△ABC中,acosB+bcosA=c,

        ∴c-2ccosA=0,

        ∴cos A= 12.又0

        (2)∵a=23,A=π3,

        ∴點(diǎn)A在以BC為弦,所對(duì)圓周角為π3的圓弧上運(yùn)動(dòng).

        設(shè)P是圓弧的中點(diǎn),A1、A2是圓弧上兩點(diǎn),且∠A1BC=∠A2CB=π2.∵△ABC是銳角三角形, ∴點(diǎn)A在圓弧A1PA2(不含A1、A2兩點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),不難求得△PBC的面積等于33,△A1BC和△A2CB面積相等均為23,∴△ABC 面積S的取值范圍為(23,33\].

        例6 設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸為A1A2,若橢圓C上存在點(diǎn)P使得∠A1PA2=120°,求此橢圓離心率e的取值范圍.

        解 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸的上方. ∵∠A1PA2=120°,可知點(diǎn)P又在以A1A2為弦,所對(duì)圓周角為120°的圓弧上,此圓弧所在圓的圓心為(0,-33a),半徑為233 a,方程為x2+(y+33a)2=43a2.由橢圓和圓的方程消去x,得關(guān)于y的一元二次方程c2b2y2-233ay=0,解得:y=0或y=23ab23c2,其中23ab23c2是橢圓與圓公共點(diǎn)P的縱坐標(biāo),∴23ab23c2≤b,∴e≥63.又e<1,∴此橢圓離心率e的取值范圍是[63,1).

        以上各例我們是通過(guò)關(guān)注圓的三種形成方式,明確點(diǎn)在圓上,通過(guò)圓的方程或圖形解決了問(wèn)題;可見(jiàn),增強(qiáng)意識(shí),適時(shí)而用,切入解題,簡(jiǎn)化思維過(guò)程,收到很好的效果.

        參考文獻(xiàn):

        [1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2[M].北京:人民教育出版社,2007.

        [責(zé)任編輯:李 璟]

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