劉興安

[摘? 要] 以二次函數(shù)復(fù)習(xí)教學(xué)為例，根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，大膽設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，有效組織實(shí)施教學(xué)過(guò)程，取得了良好的教學(xué)預(yù)期，有效實(shí)現(xiàn)了學(xué)生知識(shí)體系的構(gòu)建，以及核心素養(yǎng)的生成.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);復(fù)習(xí)課;核心素養(yǎng)

九年級(jí)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，不能就是講幾道典型例題了事，而應(yīng)厘清數(shù)學(xué)對(duì)象的基本思路與方法，勾起學(xué)生回憶，讓學(xué)生重構(gòu)知識(shí)體系，通過(guò)一系列有序的問(wèn)題提升學(xué)生的思維水平，通過(guò)典型例題的解讀提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力;同時(shí)，在各個(gè)環(huán)節(jié)不斷滲透數(shù)學(xué)基本思想方法，全面落實(shí)核心素養(yǎng). 筆者在前不久執(zhí)教了一節(jié)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，課題為“二次函數(shù)”，根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，大膽設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，有效組織實(shí)施教學(xué)過(guò)程，贏得了一致好評(píng). 現(xiàn)將本節(jié)課作一呈現(xiàn)，以供點(diǎn)評(píng).

學(xué)情分析

本節(jié)課所授班級(jí)的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，知識(shí)接受能力強(qiáng)，普遍成績(jī)比較好.二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)學(xué)生在新知學(xué)習(xí)時(shí)已經(jīng)掌握，能夠用二次函數(shù)的模型解決具體的實(shí)際問(wèn)題，對(duì)于函數(shù)的學(xué)習(xí)積累了一些基本方法與經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生有一定的觀察能力、總結(jié)概括能力，知道數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想.但學(xué)生的思維還是以形象思維為主，處于由形象思維向抽象思維過(guò)渡的階段.

復(fù)習(xí)目標(biāo)

（1）掌握二次函數(shù)：形式、圖像與性質(zhì)，學(xué)會(huì)運(yùn)用不同的方法確定二次函數(shù)解析式;理解二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者的相互聯(lián)系.

（2）親歷二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)的梳理過(guò)程，進(jìn)一步熟悉研究函數(shù)的基本思路與方法，提升觀察圖形、分析圖形的能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.

（3）體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，學(xué)會(huì)從生活化問(wèn)題中抽象函數(shù)模型，并應(yīng)用其解決生活問(wèn)題，使數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)落地生根.

教學(xué)呈現(xiàn)

1. 溫故知新，知識(shí)再構(gòu)

師：二次函數(shù)是我們九年級(jí)學(xué)習(xí)的一類(lèi)函數(shù)，關(guān)于二次函數(shù)我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？這些內(nèi)容又是如何學(xué)習(xí)得到的？

生：二次函數(shù)我們學(xué)習(xí)了它的概念、圖像與性質(zhì);二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的相互關(guān)系;二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用;二次函數(shù)圖像與幾何圖形的綜合;等等.

生：二次函數(shù)的研究是這樣的：由實(shí)際生活的事例，提取二次函數(shù)模型;由二次函數(shù)的表達(dá)式用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)的圖像;由二次函數(shù)的圖像來(lái)研究二次函數(shù)的性質(zhì)，在研究二次函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，按從特殊到一般的規(guī)律進(jìn)行研究;然后探究二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系，最后應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.

師：在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的過(guò)程中，我們學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想與方法？

生：待定系數(shù)法、配方法、數(shù)形結(jié)合思想、從特殊到一般的思想、方程思想、函數(shù)思想.

師：請(qǐng)同學(xué)們用自己的方式表示二次函數(shù)所有知識(shí)點(diǎn)之間的縱橫關(guān)系.

經(jīng)過(guò)15分鐘的討論、爭(zhēng)論，師生共同總結(jié)的內(nèi)容如圖1.

設(shè)計(jì)意圖? 在復(fù)習(xí)前，在學(xué)生頭腦中二次函數(shù)的知識(shí)是孤立的、分散的，所以，復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生再建知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，理清二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展脈絡(luò)，掌握二次函數(shù)的核心知識(shí)與研究函數(shù)的一般方法，不僅要通過(guò)文字語(yǔ)言表述二次函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，而且要與圖形語(yǔ)言、符合語(yǔ)言相互配合與轉(zhuǎn)化，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解與掌握，從而提高學(xué)生對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)、相關(guān)思想方法的理解與認(rèn)識(shí).

2. 數(shù)形聯(lián)手，構(gòu)建聯(lián)系

師：畫(huà)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像的一般步驟是什么？

生：畫(huà)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像的一般步驟是：（1）先將二次函數(shù)的表達(dá)式配方成y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，找出拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo);（2）以對(duì)稱(chēng)軸為中心列表;（3）描點(diǎn)，連線.

師：如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖2所示，觀察函數(shù)圖像，你能從中得到什么信息呢？

生：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，得到拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），（3，0）.

生：當(dāng)x<-1或x>3時(shí)，y>0;當(dāng)x=-1或3時(shí)，y=0;當(dāng)-1

生：根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可求得拋物線的解析式為y=■x2-■x-2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為1，-■.

生：一元二次方程■x2-■x-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，一元二次方程■x2-■x-2=-■有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

師：如圖3，如果增加直線y=-■x，觀察圖像，你又能得到什么樣的結(jié)論？

生：聯(lián)立得方程組y=■x2-■x-2，y=-■x，解得x■=-2，y■=■;x■=■，y■=-■.說(shuō)明直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為-2，■，■，-■.

師：根據(jù)圖像信息，可以求出函數(shù)解析式、方程的解或方程組的解，可以得到不等式的解集，那么同學(xué)們能從中得到不等式組的解集嗎？

生：不等式組■x2-■x-2>0，-■x>0 的解集是x<-1;不等式組■x2-■x-2>0，-■x<0 的解集是x>3.

設(shè)計(jì)意圖? 函數(shù)解析式反映了函數(shù)中兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系，而函數(shù)圖像則是用圖形反映了兩個(gè)變量之間的變化趨勢(shì)，函數(shù)解析式精確不直觀，函數(shù)圖像直觀不精確，當(dāng)兩者結(jié)合時(shí)，就能發(fā)揮兩者的優(yōu)勢(shì)，通過(guò)觀察函數(shù)圖像，利用函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)等特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了諸多有用的結(jié)論，從而將二次函數(shù)、二次方程、二次不等式三個(gè)二次有機(jī)結(jié)合在一起，加強(qiáng)了三者之間的溝通與比較.

3. 應(yīng)用模型，回歸生活

數(shù)學(xué)知識(shí)抽象于生活，同時(shí)又服務(wù)于生活，通過(guò)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，是落實(shí)核心素養(yǎng)的有效舉措，對(duì)促進(jìn)學(xué)生的核心素養(yǎng)生成具有重要作用.

例如，大華超市在銷(xiāo)售一種商品時(shí)發(fā)現(xiàn)，商品每月賣(mài)出的數(shù)量是銷(xiāo)售單價(jià)的一次函數(shù)，其中某種商品的銷(xiāo)售單價(jià)與月銷(xiāo)售量之間有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 注：月銷(xiāo)售利潤(rùn)=月銷(xiāo)售量×（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）.

（1）①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;

②當(dāng)該商品的售價(jià)是多少元時(shí)，月銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).

（2）為控制銷(xiāo)量，大華超市提高了銷(xiāo)售單價(jià)，在原來(lái)的基礎(chǔ)上增加了m元，但是超市又不想讓單價(jià)超過(guò)40元，超市要想得到2600元的利潤(rùn)，應(yīng)該增加多少元？

設(shè)計(jì)意圖? 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用體現(xiàn)了二次函數(shù)模型的應(yīng)用價(jià)值. 學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出二次函數(shù)的模型，然后應(yīng)用二次函數(shù)最值的性質(zhì)確定獲得最大利潤(rùn)時(shí)的單價(jià)，使數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)落地生根，在應(yīng)用的過(guò)程中，提高了學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.

教學(xué)感悟

梳理舊知時(shí)，要注重知識(shí)與方法并重，不僅要讓學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的知識(shí)與方法，再建知識(shí)結(jié)構(gòu)，而且將知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展的歷程也作為梳理的重點(diǎn). 本節(jié)課就重新梳理了一下研究函數(shù)的一般套路與程序，學(xué)生可以使用這種方法研究其他的函數(shù)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)做好鋪墊;重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的提煉與升華，它對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的生成、研究方法的使用、解答試題的策略都有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義，如本節(jié)復(fù)習(xí)課就向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、從特殊到一般、方程思想、函數(shù)思想等;重視模型的回歸應(yīng)用，落實(shí)核心素養(yǎng)，本節(jié)課要求學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出二次函數(shù)的模型，然后應(yīng)用二次函數(shù)最值的性質(zhì)確定獲得最大利潤(rùn)時(shí)的單價(jià)，使數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)落地生根，在應(yīng)用的過(guò)程中，提高了學(xué)生處理關(guān)鍵問(wèn)題的能力.