關啟學，代 京，王偉光，姜月秋*

(1. 沈陽理工大學 信息科學與工程學院，沈陽 110159；2. 中國運載火箭技術研究院，北京 100076； 3.火箭軍工程大學，西安 710025)

0 引 言

近年來，航天器編隊飛行(Spacecraft Formation Flying)姿態(tài)跟蹤控制問題由于其在深空探測等領域的廣泛應用，引起諸多學者的關注。與傳統(tǒng)的單航天器飛行相比，分布式編隊飛行具有靈活性和模塊化[1-4]等許多優(yōu)勢。

需要指出的是，對于實際條件下航天器姿態(tài)跟蹤控制問題的研究具有很好的工程價值。如由于環(huán)境因素的影響，外部干擾總是不可避免的，這可能會降低系統(tǒng)穩(wěn)定性，因此設計具有高精度和魯棒性的姿態(tài)跟蹤控制協(xié)議是一個具有挑戰(zhàn)性的問題。

姿態(tài)跟蹤控制意味著設計合適的控制協(xié)議使航天器能夠以一定的精度跟蹤上時變期望軌跡。文獻[5]提出一種考慮動態(tài)不確定性和外部擾動的分布式自適應滑?？刂茀f(xié)議，能夠自適應保證航天器相對姿態(tài)和角速度在期望值鄰域附近。文獻[6]利用sigmod函數(shù)得到非線性延遲反饋控制律，解決了未知時滯條件下姿態(tài)跟蹤問題。文獻[7]提出一種新的切換角速度觀測器，解決在無角速率測量情況下姿態(tài)跟蹤控制問題。

基于上述分析，本文主要研究在無角速度測量、飽和輸入和外部擾動的情況下航天器編隊飛行的有限時間姿態(tài)跟蹤控制問題。

1 問題建模

航天器姿態(tài)模型假設為剛體模型，使用改進Rodrigues參數(shù)(MRPs)描述航天器的剛體姿態(tài)運動。每個航天器的姿態(tài)運動學和動力學方程描述如下：

(1)

式中：n為飛行器的數(shù)量；Ji∈3×3為第i個飛行器的慣性矩陣；ui∈3×3為控制輸入；di∈3為外部干擾;ωi∈3為相對于機體固定框架I的角速度;qi∈3為用于描述飛行器姿態(tài)的修正Rodrigues參數(shù)，定義為

(2)

式中：ρi為歐拉軸；φi為歐拉角。用于姿態(tài)描述的MRPs的最大優(yōu)點是可以對高達360°的特征軸旋轉有效。符號×表示矩陣反對稱算子，定義為

(3)

Ei∈3×3為文獻[8]中給出的雅可比矩陣：

(4)

用類似文獻[9]中的數(shù)學變換方法，式(1)可轉換為

(5)

假設1：所有其他航天器都無法獲得角速度； 每個航天器的態(tài)度，包括虛擬領航者和追隨者，只能在局部領域內(nèi)使用。

(6)

式中：c0為一個給定的正常數(shù)。

1.1 代數(shù)圖論

對于多個剛體，信息可以在鄰居成員之間傳輸，因此，通過有向/無向圖描述信息流的語義是很自然的。令Γ={ν,ε,C}為一個無向圖，其中ν={1,…,n}為節(jié)點的集合；ε?ν×ν為邊的集合；C=[cij]為圖Γ的加權鄰接矩陣，節(jié)點i為第i個剛體，鄰接元cij為第i個和第j個剛體之間的通訊關系，即(i,j)∈ε?cij>0。此時，節(jié)點i和j稱為鄰居，相應地，用Νi={j|(i,j)∈ε}表示節(jié)點i的所有鄰居的集合。對于任意兩個節(jié)點i和j，如果之間至少存在一條路徑，那么就稱圖Γ是一個連通圖。如果沒有自循環(huán)重復邊，則稱圖是簡單的。通過使用圖拓撲Γ，可以描述剛體之間的通信結構。

定義加權圖Γ的拉普拉斯矩陣為

L=D-C

(7)

引理1[10]： 如果Γ={ν,ε,C}為一個無向連通圖，那么拉普拉斯矩陣L為對稱矩陣，其n個實特征值可以按升序排列：

0=λ1<λ2≤λ3≤…≤λn≤2dM

(8)

文中只考慮Γ的拓撲結構是簡單和固定的，也就是說C是時不變矩陣。

1.2 有限時間狀態(tài)觀測器

為處理未知系統(tǒng)狀態(tài)，一種可行的方法是設計觀察者來近似其實際值。文獻[11]中提到的擴展狀態(tài)觀測器(Extended State Observer，ESO)在完成非線性動態(tài)估計方面具有很高的效率，ESO將系統(tǒng)干擾視為擴展狀態(tài)進行估算。在給出ESO前，需要有限時間的定義和引理。

提出一種新的擴展狀態(tài)觀測器：

(9)

估計誤差的有限時間收斂可以在以下引理中給出：

對于剛體姿態(tài)控制，一個顯著的屬性是“分離屬性”，詳細證明見文獻[7]。

2 主要結果

2.1 姿態(tài)跟蹤誤差系統(tǒng)

為了便于分析，引入兩種狀態(tài)變量來測量每個航天器的絕對和相對狀態(tài)誤差。絕對狀態(tài)誤差是第i個航天器的姿態(tài)和姿態(tài)速度跟蹤誤差，與虛擬領航者(期望軌跡)有關，其定義如下：

(10)

將式(10)調(diào)用到式(5)，可得到姿態(tài)跟蹤誤差動態(tài)系統(tǒng)：

(11)

定義：

那么，式(11)可以用矢量形式表示：

(12)

鄰居成員之間的系統(tǒng)狀態(tài)相對錯誤可定義為

(13)

定義αi1,αi2,αi3∈3為第i個航天器的整體跟蹤誤差，可以寫為

(14)

(15)

定義：

集中態(tài)度跟蹤誤差可以表示為

(16)

式中：M=(L+Β)?I3∈3n×3n。由于有向圖有一個生長樹，所以L+Β是可逆的。因此，α1和α2的動力學方程可以用矢量形式寫為

(17)

滑動模式變量si=δαi1+αi2，其中δ為正常數(shù)參數(shù)。那么，si對于時間求導，即

(18)

定義:

則式(17)可以寫為

(19)

2.2 控制協(xié)議設計和穩(wěn)定性分析

第i個航天器的滑動模式控制協(xié)議為

(20)

(21)

(22)

定理1： 考慮式(9)、式(20)和假設1～2得到滿足，滑動流形將會聚到該區(qū)域：

(23)

證明： 考慮以下Lyapunov函數(shù)候選項:

(24)

對式(24)兩側進行微分并集成式(20)，可以得到Lyapunov函數(shù)的時間導數(shù)：

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

證明完成。

從式(28)～(29)可知，滑動流形s會在無限時間Tf收斂到范圍Θ中。此外，從式(30)可知，M的特征值決定了參數(shù)Θ的大小。

2.3 具有輸入飽和度的姿態(tài)跟蹤的滑動模式控制

在實際工程中，輸入飽和度作為最重要的非平滑非線性應該在控制設計中明確考慮。因此，提出姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)方程式(1)的滑?？刂?，在該部分存在未知非對稱輸入飽和、外部干擾和無角速度測量?？紤]未知輸入飽和約束，控制輸入ui由下式給出：

(32)

式中：vrik為設計好的控制輸入命令，且k=1, 2, 3；umini和umaxi為控制輸入飽和度的未知參數(shù)，umini≠umaxi表示非對稱輸入飽和度。

為了進一步分析未知非對稱輸入飽和的影響，式(1)可以轉換為

(33)

(34)

考慮式(34)和式(12)，得到

(35)

由于未知的復合擾動Di，式(17)被修改為

(36)

基于有限時間觀測器的輸出，將滑動模態(tài)姿態(tài)跟蹤控制設計為

(37)

式中： 0<α<1；ki1>0;ki2>0。

上述設計過程和分析可歸納為以下定理，其中包含具有未知非對稱輸入飽和度的姿態(tài)跟蹤控制動力學方程式(1)的結果。

定理2：考慮具有外部干擾和飽和輸入的姿態(tài)跟蹤動力學方程式(1)和無角速度測量，有限時間觀測器被設計為式(36)。在所提出的滑模跟蹤控制表達式(37)下，所有航天器的姿態(tài)跟蹤誤差可以在有限時間內(nèi)收斂到有界區(qū)域。

3 數(shù)值仿真

為了驗證上述方法的有效性，給出一個多航天器編隊的仿真算例來說明。假設編隊是由6個航天器c1，c2，c3，c4，c5，c6以及一個虛擬領航者l共同組成, 成員之間的通信拓撲結構關系如圖1所示。

圖1 編隊通信拓撲結構

這里認為兩個航天器之間存在通訊關系, 則其拓撲權重大于0，否則為0。由此，可以假設整個航天器編隊的權重鄰接矩陣Α和Β分別為

(38)

(39)

式中：Α表示編隊成員之間的通訊拓撲連接關系;Β代表虛擬領航者l與編隊成員之間的通訊連接關系。

假設航天器為剛體，其慣性矩陣為[15]

為了用式(26)進行模擬，飽和輸入滿足umini=5，umaxi=10，每個航天器的初始狀態(tài)(即姿態(tài)和角速度)為

w1=[1,2,3]T;w2=[2,1,3]T;

w3=[0.9,1.6,1.3]T;w4=[2,1.5,1.2]T;

w5=[1.1,2,2.1]T;w6=[2,1,1.8]T。

每個航天器的正弦波擾動如下：

d1(t)=0.1[sin(t),cos(t),sin(2t)]T；

d2(t)=0.1[sin(2t),cos(2t),sin(4t)]T；

d3(t)=0.1[sin(3t),cos(3t),sin(6t)]T；

d4(t)=0.1[sin(4t),cos(4t),sin(8t)]T；

d5(t)=0.1[sin(5t),cos(5t),sin(10t)]T；

d6(t)=0.1[sin(6t),cos(6t),sin(12t)]T。

航天器所需的時變姿態(tài)是相同的，由下式給出：

(40)

控制增益和觀察者參數(shù)為ki=2，α1=0.8，α2=0.6，α3=0.4，β1=1.25，β2=1.05，β3=0.65。

根據(jù)上述初始條件，對航天器姿態(tài)運動進行仿真計算，結果如圖2～3所示。

圖2 航天器跟蹤角度與時間的關系

圖3 滑模面與時間的關系

從圖2可看出，在編隊控制初期，各航天器的飛行姿態(tài)比較雜亂無章，但在控制器作用下，大約4 s左右，各飛行器的姿態(tài)趨于一致。說明即使存在外部干擾、飽和輸入以及無角速度量測等情況，本文設計的方法依舊可以保證飛行器姿態(tài)在較短時間內(nèi)達到期望的跟蹤狀態(tài)，實現(xiàn)了既定的目的。

圖3表明滑模變量隨著時間的變化關系。從圖中可以看出，在控制器的作用下，系統(tǒng)滑模變量4 s左右收斂到0域附近，實現(xiàn)了編隊成員之間相對狀態(tài)誤差趨于0。

4 結 論

為了解決復雜約束條件(無角速度量測、外部擾動、飽和輸入等)下的航天器編隊姿態(tài)協(xié)同控制問題，本文提出了一種分布式滑模控制協(xié)議。通過數(shù)學轉化將未知非對稱飽和輸入與外部擾動合并為復合擾動，通過設計有限時間觀測器來實時估計航天器姿態(tài)速度和外部擾動； 利用Lyapunov函數(shù)從理論上證明了所設計方法的有效性。文章最后的算例對設計方法進行了仿真驗證。

需要指出的是，在實際工程領域，無角速度量測、外部擾動、飽和輸入等條件均是實際飛行器編隊過程中需要克服的約束。因此, 本文所考慮的約束條件與工程實際貼合比較緊密，具有較強的工程指導意義。后續(xù)還需要進一步考慮編隊成員之間的時延、丟包等約束條件對控制效果的影響。