劉艷

[摘 要]泰勒（Taylor）公式可以用來計算比較復(fù)雜的函數(shù)極限，通過典型例題對利用Taylor公式求極限的方法進(jìn)行探討，總結(jié)出技巧性更強(qiáng)、解題效率更高的求解函數(shù)極限的方法。

[關(guān)鍵詞]泰勒公式;函數(shù)極限;方法

[作者簡介]劉 艷（1991—），女，江蘇淮安人，理學(xué)碩士，南京工業(yè)大學(xué)浦江學(xué)院基礎(chǔ)部講師，主要從事非線性分析研究。

[中圖分類號] O13[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1674-9324（2020）28-0328-02[收稿日期] 2020-02-10

一、引言

極限是高等數(shù)學(xué)課程中一個重要的知識點(diǎn)，極限的引入也為高等數(shù)學(xué)中許多重要的概念奠定了基礎(chǔ)。因此，在理解極限概念的基礎(chǔ)上，能夠熟練地掌握其計算方法顯得至關(guān)重要。

極限的計算貫穿整個高等數(shù)學(xué)課程，常見的方法有：①利用極限的定義及其四則運(yùn)算法則法;②約去非零因子法;③夾逼準(zhǔn)則求極限法;④利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限法;⑤利用等價無窮小性質(zhì)和等價替換法求極限;⑥利用兩個重要極限求極限法;⑦洛比達(dá)法則求極限法;⑧利用Taylor公式求極限法等[1]。雖然以上方法均可以用來對函數(shù)的極限進(jìn)行求解，但有針對性地選擇計算方法可以提高做題效率，因此方法的選擇顯得極其重要。對于滿足一定條件的未定式，比如：型、型、型、型、型、型和型等，洛比達(dá)法則是比較常用且通用的方法。但是，對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)極限，若使用洛必達(dá)法則對分子分母同時求導(dǎo)，反而使式子更加復(fù)雜[2]。針對這一類極限，Taylor公式則表現(xiàn)出一定的優(yōu)越性，下面將對利用Taylor公式計算型和型極限的方法進(jìn)行探討。

二、帶皮亞諾余項的n階泰勒公式

定理[3]（P82-86）設(shè)f（x）在含有x0的開區(qū)間（a，b）內(nèi)具有直到n階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)時，有

由1、2和3可知，若將Taylor展開到x的4階以下，無法求出正確的極限;若將Taylor展開到x的4階以上，雖然可以正確地求出極限，但x4后面的更高階的因式與x4作商均為0，無計算的必要，所以將展開到x4這一項最合適。由例1可以得到以下結(jié)論。

結(jié)論1 利用Taylor公式對形如

的型未定式求極限，遵循“上下同階原則”，即將f（x）展開到與分母同次冪的項xk即可。

（二）利用Taylor公式求解形如的型極限

分析式（10）和（11）可知，在sin x和1n（1+x）的展開式中，第一項x前面的系數(shù)相同，從第二項即x2開始，前面的系數(shù)不同。當(dāng)二者作差時，只需將sin x和1n（1+x）展開到系數(shù)不相等的x2即可;若繼續(xù)展開，雖能夠求出函數(shù)極限，但后面的項與x2作商，極限均為0，浪費(fèi)了大量的精力。因此，由例2可以得出以下結(jié)論。

結(jié)論2 對形如的未定型求極限，需遵循“冪次最低原則”，即經(jīng)過通分，將分母上的f（x）和g（x）展開到它們系數(shù)不相等的x的最低次冪即可。

四、小結(jié)

本文通過例題探討了利用Taylor公式求解型和型兩類未定式函數(shù)極限的方法，對將函數(shù)進(jìn)行Taylor展開時如何展開和具體展開到第幾項進(jìn)行了分析，并給出了結(jié)論。對形如的型未定式求極限，需遵循“上下同階原則”;對形如的未定型求極限，需遵循“冪次最低原則”，總結(jié)出技巧性更強(qiáng)、解題效率更高的利用Taylor公式求極限的方法，以達(dá)到快速求解復(fù)雜函數(shù)極限的目的。其他形式的未定式，經(jīng)過轉(zhuǎn)化若符合條件仍可使用本文得出的結(jié)論進(jìn)行求解。

參考文獻(xiàn)

[1]楊雄.極限計算方法的探討[J].萍鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報，2018，35（6）：8-12.

[2]袁利軍，曾靜.泰勒公式在極限計算上的應(yīng)用[J].課程教育研究，2017（21）：246-247.

[3]顏超，單娟.高等數(shù)學(xué)（上）[M].北京：人民郵電出版社，2017： 82-86.

Discussion on the Method of Taylor's Formula in the Calculation of Function Limit

LIU Yan

（Pujiang Institute， Nanjing Tech University， Nanjing， Jiangsu 211100， China）

Abstract： The Taylor formula can be used to calculate the more complex function limit. With typical examples， the method of using the formula to find the limit is discussed， and the method of solving the function limit with more skill and higher problem solving efficiency is summarized.

Key words： Taylor formula; function limit; method