強振宇
[摘要]推理是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中內(nèi)隱性思維的主要形式,它包括直覺性的合情推理和邏輯性的演繹推理,其中合情推理又是學(xué)生推理的主要方式。教學(xué)“面積單位進率”時,通過鼓勵學(xué)生觀察、歸納、猜想、計算等活動,在情境中誘發(fā)合情推理,在多元表征中發(fā)展演繹思維,在拓展中合演互動,不斷培養(yǎng)學(xué)生推理能力,幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗。
[關(guān)鍵詞]推理能力;合情推理;演繹推理
[中圖分類號]G623.5
[文獻標識碼]A
[文章編號]1007-9068(2020)23-0030-02
推理能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》的一個核心概念,“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式,也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式”。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)推理,培養(yǎng)學(xué)生一定的推理能力是培育學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容。下面以“面積單位的進率”教學(xué)為例,談?wù)勁囵B(yǎng)推理能力貫穿在整個教學(xué)環(huán)節(jié)中的實踐與思考。
一、基于現(xiàn)實:在情境中誘發(fā)合情推理
合情推理是指從已有的事實出發(fā),憑借經(jīng)驗和直覺,通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果。它不是憑空想象,而是根據(jù)一定的事實、情境,基于一定的知識經(jīng)驗做出的探索性的判斷,是數(shù)學(xué)猜想,是一種創(chuàng)造性的思維活動。因此,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,要給學(xué)生提供必要的數(shù)學(xué)事實,鼓勵學(xué)生大膽提出猜想。
[教學(xué)片段1]
師:公園里有一塊長方形草坪,從數(shù)學(xué)角度看草坪的介紹,缺了些什么?
生:介紹不完整,數(shù)字后面缺單位。
師(出示:米、分米、平方米):請在括號里填上合適的單位。
師:米、分米,還有厘米,都是我們認識的長度單位。每相鄰兩個長度單位之間的進率是10。平方米、平方分米、平方厘米是我們剛學(xué)習(xí)的面積單位。對照長度單位,你們有什么問題?
生:面積單位有沒有進率?
生。:每相鄰兩個面積單位之間的進率是多少?師:面積單位也有進率。這節(jié)課我們就一起研究“面積單位進率”。先猜一猜1平方分米等于多少平方厘米。
生4:1平方分米=10平方厘米。
生s:1平方分米=100平方厘米。
教學(xué)時有意識地創(chuàng)設(shè)問題情境,引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的長度單位,啟發(fā)學(xué)生主動想到面積單位之間的進率關(guān)系,把平面圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗遷移過來,激發(fā)學(xué)生“無疑有疑,有疑而思解”,達到“解疑而心悅”。喚起學(xué)生對面積單位進率的猜想,是順應(yīng)學(xué)生憑借“線”到“面”的直覺和經(jīng)驗做出的合情數(shù)學(xué)表達,消除多數(shù)學(xué)生對學(xué)習(xí)進率產(chǎn)生的困惑,自然引發(fā)學(xué)生合乎邏輯的主動學(xué)習(xí)。正如波利亞所言:“只要數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明創(chuàng)造的話,那么就應(yīng)當讓猜測、合情推理占有適當?shù)奈恢谩?/p>
二、多元表征:在活動中發(fā)展演繹推理
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》強調(diào)通過多樣化的活動培養(yǎng)學(xué)生的推理能力,提出:在觀察、實驗、驗證等活動中,發(fā)展演繹推理,學(xué)生能進行有條理地思考,能比較清楚地表達自己的思考過程與結(jié)果,將內(nèi)在的思維活動與外部的數(shù)學(xué)表達能力結(jié)合起來。因此,教師要立足教材,留足空間,引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較、計算、推理等多種活動,自主驗證猜想進而發(fā)現(xiàn)相鄰面積單位之間的進率。這樣既發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力,又激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。
[教學(xué)片段2]
師:對于面積單位平方分米與平方厘米之間的進率,有說是10的,也有說是100的,這只是我們的猜想,要知道哪個猜想正確,需用事實說話??矗@是一個邊長1分米的正方形,它的面積是多少?(1x1=1平方分米)如果用平方厘米做單位,你們有辦法知道它的面積是多少平方厘米嗎?比一比誰的方法多。
表征1(擺一擺):用面積1平方厘米的小正方形擺。沿著橫邊一排可以擺10個,沿著豎邊擺10排,共擺了10x10=100(個)。因此面積1平方分米就是100平方厘米。
表征2(量一量):用直尺量正方形的邊長,邊長是10厘米。因此這個正方形的面積也就是10x10=100(平方厘米)。
表征3(換算):正方形的邊長是1分米,因為1分米=10厘米,所以這個正方形也就是邊長10厘米的正方形,面積是10x10=100(平方厘米)。
師:老師要為你們點贊。你們用了不同的數(shù)學(xué)方法得到相同的結(jié)果,那就是邊長1分米的正方形面積.是1平方分米,也就是100平方厘米。
師:誰能很快說出1平方米=()平方分米?
生:正方形的邊長是1米,面積是1平方米。因為1米=10分米,所以這個正方形也就是邊長10分米的正方形,正方形面積10x10=100(平方分米)。
師:老師這里就有一個邊長1米的正方形,它的面積就是1平方米。我們一起用面積單位1平方分米的小正方形擺一擺,沿橫邊一排可以擺10個,沿豎邊擺這樣的10排,一共就可以擺10x10=100(個)。因此面積1平方米就是100平方分米。
師:面積單位從大到小排列是平方米、平方分米、平方厘米,通過剛才的研究,能發(fā)現(xiàn)什么?
生:相鄰兩個面積單位之間的進率是100。
師:相鄰兩個長度單位之間的進率是多少?與相鄰兩個面積單位之間的進率相比,要注意什么?
學(xué)生聯(lián)系相鄰的兩個長度單位之間的進率,對相鄰兩個面積單位平方分米、平方厘米之間的進率進行猜測后,教師就放手讓學(xué)生進行操作交流,鼓勵學(xué)生用自己的方法、學(xué)習(xí)經(jīng)驗來證明進率關(guān)系。結(jié)果,學(xué)生有的根據(jù)長方形和正方形面積公式推導(dǎo),有的想到擺的方法,有的想到量邊長計算面積,還有的想到直接將1分米換算成10厘米進行面積計算。這些方法不僅有助于學(xué)生確信一個事實“1平方分米=100平方厘米”,更重要的學(xué)生在主動探索1平方分米等于多少平方厘米過程中,演繹推理過程有理有據(jù),可視可感,不同思維程度的學(xué)生能找到不同的表征方式,從而增加了合情推理結(jié)論的“可靠性”。同時,這對接下來類比遷移推理學(xué)習(xí)1平方米等于多少平方分米也十分有利。
三、遷移延伸:在拓展中合演互動
數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程是一個不斷提出猜想、驗證猜想的過程,是合情推理和演繹推理相輔相成、相互為用的過程。合情推理為演繹推理確定目標和方向,演繹推理為合情推理提供保障。教師不但要學(xué)生能夠大膽猜想探索新知的合情推理,更要小心驗證、仔細論證的演繹推理,讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
[教學(xué)片段3]
師:相鄰兩個面積單位之間的進率是100,那面積單位平方米與平方厘米之間又有怎樣的關(guān)系?
生:面積單位平方米到平方分米進率是100,平方分米到平方厘米又是100,所以面積單位平方米到平方厘米進率肯定不是100了,是100個100,就是10000。
生2:1平方米=10000平方厘米。正方形的邊長是1米,面積是1平方米。因為1米=100厘米,所以這個正方形也就是邊長100厘米的正方形,正方形面積為100x100=10000平方厘米。
師:對著面積1平方米的正方形,一起想象100個100是什么意思。
生g:就是100個100平方厘米的小正方形。
師:對!要注意平方米與平方厘米之間的關(guān)系不是100?,F(xiàn)在我們知道了1平方分米是等于100平方厘米。如果用100個1平方厘米的小正方形擺成一行是什么圖形?面積是多少?圖形的長是多少?寬是多少?
為了防止學(xué)生的思維定式和探索欲望的下降,拓展延伸階段分別提出了兩個現(xiàn)實的、富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題,進一步激發(fā)學(xué)生的推理和思考。學(xué)生利用合情推理發(fā)現(xiàn)的結(jié)論“1平方米=100平方分米,1平方分米=100平方厘米,得出1平方米=10000平方厘米”是一個典型的三段式推理。學(xué)生將1米換算成100厘米進行面積的計算,對著面積1平方米的正方形一起想象,又增加了演繹推理結(jié)果的正確性,合情演繹有根有據(jù)?!皵[成的是一個長1米、寬1厘米的長方形,面積是100平方厘米”,再次呈現(xiàn)長度與面積之間測量的對應(yīng)關(guān)系及二維空間觀念的培養(yǎng),幫助學(xué)生進一步明晰“形變面積不變”的面積二維計算道理。
史寧中教授認為:實施智慧教育就是要重視過程的教學(xué),而推理的過程就是其中的一個方面。作為數(shù)學(xué)課程標準十大核心概念之一的“推理能力”,教師要時刻針對教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計引發(fā)思考的數(shù)學(xué)問題,巧妙設(shè)計學(xué)習(xí)環(huán)節(jié),充分尊重學(xué)生,安排好各種學(xué)生活動,讓學(xué)生展現(xiàn)思維,感悟道理、規(guī)律和方法,逐步到達推理能力的培養(yǎng)目標——言必有據(jù),合乎邏輯。
(責編 金鈴)