趙士元

(蘇州市吳中區(qū)教學與教育科學研究室 215100)

我們經常會聽到老師們的抱怨：明明講課時學生都聽懂了，可學生做練習時常常會出錯.從平時的課堂觀察和學情分析來看，這種現象的確并非個案，或許每一個數學教師都曾有過這樣的經歷，也為此想了很多法子，有些教師經過思考形成了行之有效的解決之道，而有些教師卻一直在尋求答案的路上苦苦探索．作者認為產生這種現象是正常的，從客觀來看，數學教學的主要目的并非教會學生一個公式、一條公理、一套解法，而是以數學教材為載體，通過數學課堂讓學生學會一種思考——會用數學的方法思考問題，因此數學教學不能滿足于學生聽懂；從主觀來看，許多教師出于“功利主義”的目的，課堂上往往采用大容量、高密度的教學方式，剝奪了學生正常思考的權利，特別是在數學問題的審題方面，許多教師舍不得花足夠的時間讓學生仔細讀題、用心反思，造成了學生的學習機械死板．如何有效克服這種現象？本文試圖以讀題為話題，談談如何提升學生數學審題能力，如何通過反思，強化學生的嚴密思維，從而提升數學教學效率.

1 讓學生在品味中提升讀題能力

我們知道：求函數的切線方程有兩種基本類型：一是已知切點(x0,f(x0))，這時可先求出切點處的導數(即切線斜率)，再直接代入切線方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)，這時求出的切線通常只有一條；另一種類型是沒有明確切點是哪一點，這時通常設切點為(x0,y0)，再寫出切線方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)，再利用切線方程的某些已知特征代入方程求出待定參數x0．

當學生明確切線求法時，再讓學生思考“存在兩條”的含義其實就是“求出滿足條件的切線有兩條”，也就是說求出的x0有兩個，這隱隱約約讓我們感覺到這很可能與方程的根的個數問題有關，這是一個什么樣的方程呢？閱讀題目的題干，這兩條切線的斜率均是a，因此這個方程實際上就是f′(x)=a．是否如此？試試再說.

設這兩個切點分別為

其中x1,x2是方程ax2-ax+1=0的兩個不同正根且x1

因為x1,x2是方程ax2-ax+1=0的兩根，

所以ax2-ax+1=a(x-x1)(x-x2)，

于是當x∈(x1,x2)時，

由此可知，a>4即是我們要求的取值范圍．

感悟之一學生的數學審題能力是在不斷的訓練中逐漸提升的，而在審題過程中吃透并領會題中信息，在逐字逐句的品味中培養(yǎng)學生的題感，不斷提升學生的數學讀題能力.

2 讓學生在細微處提升讀題能力

在上述案例的第(2)小題時中，有部分學生對條件“{x|f(x)≤0}?(0,1)”不能很好地理解而無法找到合適的思路，甚至無從下手．事實上，這一條件用數學語言理解即為“不等式f(x)≤0的解集是區(qū)間(0,1)的子集”，于是可以將問題分解兩個小問題加以研究：

(i)求不等式f(x)≤0的解集A；(ii)若A?(0,1)，求a的取值范圍．

反思之二當證明出函數y=f(x)在區(qū)間(0,1)單調遞減且f(1)=1時，我們可以斷定對任意的x∈(0,1)均有f(x)>0，此時很有可能直接舍去“a<0”這一情況，事實上“對任意的x∈(0,1)均有f(x)>0”仍有兩種基本情況，如果f(x)≤0的解集是空集，那么結論仍然成立，此時應保留“a<0”的情況(如圖1)，若f(x)≤0的解集不是空集，則就應舍去“a<0”的情況(如圖2)，為說明f(x)≤0的解集不是空集，我們采取選擇特殊值的方法(也就是求出f(x)≤0的某一個解)，這一點往往會被我們的解題者所忽視，而取特殊值也是數學證明的基本策略．

圖1

圖2

綜上所述：所求實數a的取值范圍為a>0．

反思之四從上述反思可以看到{x|f(x)≤0}?(0,1)的含義是“不等式f(x)≤0的解集是(0,1)的子集”，用直觀語言來理解就是滿足不等式f(x)≤0的任意一個x都在區(qū)間(0,1)內，這句話是否可以用“不在區(qū)間(0,1)內的任意一個x都不滿足f(x)≤0”這句話來理解呢？事實上，這兩者是等價的，又考慮到函數f(x)的定義域為(0,+∞)，于是問題可等價轉化為“對任意x∈[1,+∞)，都有f(x)>0”，于是我們又產生了如下想法：

{x|f(x)≤0}?(0,1)等價于“對任意x∈[1,+∞)，都有f(x)>0”,

若x=1，則f(x)=1成立；

綜上所述：所求實數a的取值范圍為a>0．

感悟之二一個數學問題往往是若干個小問題的綜合，在教學過程中教師要引導學生學會“解剖麻雀”，將一個綜合問題分解為若干個小問題，而后逐個擊破.這是解決數學綜合問題常常采用的方式策略，也是數學題意理解的基本組成部份.

感悟之三許多同學把精力集中在不等式f(x)≤0求解上，如果我們的思路只局限于這一點，那么解題就顯得力不從心了．此時，應當引導學生逐步理解題干條件中所隱含的豐富信息，引導學生多讀題、多思考，不必擔心思考和讀題的時間影響解決問題的進程.當學生習慣了這種思考和讀題后，他的數學理解能力和思考能力會得到不斷提升，有利于增強他們的問題意識、提高其解決問題的能力，這就是“磨刀不誤砍柴功”在數學學習的體現．

3 讓學生在思辯中提升讀題能力

從閱讀量來看，該題共有230多字的閱讀量，比較適合高二學生，但是題中數字較多，而且題中“當且僅當”的數學語言讓部份學生“犯難”，學生要么對“當且僅當”這樣的數學語言理解不清，不會用生活化的語言來理解，要么無法將此問題與數列的最大最小項問題聯系起來，因此出現了許多本不應該出現的錯誤．

感悟之四本案例初看是一個函數最值問題，但由于函數定義域是正整數集，于是把函數最值問題轉化為數列最值問題，通過轉換“視角”在“山重水復疑無路”的情況下達到“柳暗花明又一村”的效果.換個角度思考問題實際上也是數學問題解決過程中常常被采用的策略.

4 讓學生在比較中提升讀題能力

在數學學習過程中，常常會出現一些問題，這些問題在教師看來似乎很易理解，但由于受生活經歷和理解能力所限，學生往往一時無法理解透徹，因此在學習過程中往往會“死記硬背”，這時教師會誤以為學生已聽懂甚至學會，但學生在實際演練時又會出現這樣那樣的錯誤，其根本原因是教師在教學過程中不善于用通俗易懂的方法幫助學生理解從而導致學生的學習只停留在淺層次的學習狀態(tài)中.

案例三“不等式恒成立”、“不等式能成立”、“不等式無解”問題常常是學生學習過程中的一個難點，大多數學生只是生硬地記住了“不等式f(x)

有這樣一個問題：已知函數f(x)=x2-2x+3.

(1)若對?x∈[-1,4]不等式f(x)

(2)若存在x∈[-1,4]使不等式f(x)

(3)若不等式f(x)

教學時這一內容時是這樣處理的：首先，當自變量x在一定范圍內取值時，對應的函數值y在某一范圍變化，它的不同取值形成一個集合(這個集合實際上就是函數的值域)，而“f(x)

通過這一通俗化的比較，學生很容易理解“不等式f(x)a恒成立等價于f(x)的最小值大于a”.而“不等式能成立”的問題實際上可以轉化為“不等式有解”問題.

為了讓學生能較好地理解第(2)問,又提出了一個生活化的問題:在我們班里存在一個學生,年紀比老師小,是否有必要逐個驗證?如果不需要這么做,我們又該怎么處理?經過短暫的思考,很多學生都能完美地回答出“只要我們班級里最小的學生比老師小就可以了”，隨后立即追問：“存在x∈[-1,4]使不等式f(x)

第(3)個問題實際上可以轉化為類似于(1)的情況,為了讓學生理解題意,讀懂題目,老師用通俗語言替代數學語言幫助學生理解,提出了如下一系列問題:

你能用通俗的語言來表達“不等式f(x)

這句話的意思是否可以等價地轉換成“不等式恒成立問題”？

事實上，“不等式f(x)

當然，處理這類問題時我們還可以采用“補集思想”，即先研究不等式f(x)

感悟之五數學語言往往是比較抽象的，當學生無法理解抽象的數學語言時采用通俗化的生活語言幫助學生理解題意，不僅有利于提升學生的數學學科素養(yǎng)也有利于在不斷的轉化過程逐步提升學生的數學審題能力.特別是在數學概念教學和處理一些陌生問題時更顯有效而且較易被學生接受.但要讓學生能比較自然地用通俗易懂的生活語言理解數學概念及數學問題，從而將枯燥乏味的數學概念或數學公式轉化為生動幽默的生活語言，這需要教師具有較高的語言素養(yǎng)和語言運用能力．

5 讓學生在問題探索中提升讀題能力

在分析案例三的第(3)個小問題時我們提到了“補集思想”，在案例1中我們提到了“逆向思考”，這些都是“逆向設問”的一種，有時“逆向設問”可以將一個陌生的問題轉化為一個熟悉的問題，教學過程中如若經常采用這種“逆向設問”的方式進行教學，學生的學科能力和數學閱讀能力便會在這種問題情景下不斷提升.

感悟之六“逆向設問”的目的與“換位聯想”類似，它們都是為了“陌生問題熟悉化”，而“將未知轉化為已知”、“將陌生轉化為熟悉”都是數學學習過程中必須掌握的轉換技巧，讓學生學會多角度思考問題、多方位轉換問題，學會全路徑探討問題，最終實現學科素養(yǎng)和學科的提升是數學教學的目的，也是培養(yǎng)學生數學閱讀能力的基本手段.