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        關(guān)于三角形的一個不等式鏈

        2020-08-01 01:40:26蘇化明
        數(shù)學(xué)通報 2020年6期
        關(guān)鍵詞:幾何平均正三角形外接圓

        時 軍 蘇化明

        (合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 230009)

        本文給出一個關(guān)于三角形的不等式鏈,即如下的:

        定理設(shè)△ABC的半周長為p,面積為Δ,外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,則有

        (1)

        其中所有的等號當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時成立.

        首先介紹如下的引理.

        引理的證明由f(x)=ln sinx-lnx,知

        f(x)為上凸函數(shù).

        由g(x)=ln tanx-lnx知

        g″(x)>0.

        (2)

        sin22x-4x2cos 2x>0,

        注: ① 不等式(2)等價于

        (3)

        ② 不等式(2)可加強(qiáng)為[1]

        (4)

        下面進(jìn)行定理的證明:

        由此知

        再由△ABC中的等式

        可得

        (5)

        故由Jensen不等式知

        由此知

        利用△ABC中的等式

        可得

        (6)

        由算術(shù)—幾何平均不等式知

        sinA+sinB+sinC

        利用△ABC中的等式

        再由△ABC中的等式

        (7)

        由此知

        利用△ABC中的等式

        可得

        (8)

        由算術(shù)—幾何平均不等式知

        由此知

        (9)

        由式(5),(6),(7),(8),(9)知不等式(1)成立.由于(5)—(9)中等號均為當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時成立,故(1)中所有的等號當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時成立.

        最后指出,△ABC中有著名的Euler不等式[1]:R≥2r,而不等式(1)對此不等式進(jìn)行了若干隔離或加細(xì).

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