基于離散幾何平均的亞式期權(quán)定價(jià)研究

洪義成1，金元峰1，李美善2

( 1.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系,吉林 延吉 133002; 2.延邊大學(xué)財(cái)務(wù)處,吉林 延吉 133002 )

摘要：討論了離散情形下幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)方法.首先對(duì)離散情形下的幾何平均進(jìn)行處理,然后利用標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的定價(jià)公式得到了固定執(zhí)行價(jià)格離散幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)公式,最后利用鞅論的方法得到了浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格離散幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)公式.

關(guān)鍵詞：亞式期權(quán); 幾何平均; 期權(quán)定價(jià)

收稿日期：2015-07-03

作者簡介：洪義成(1980—)，男，理學(xué)博士,副教授,研究方向?yàn)榻鹑诮y(tǒng)計(jì)學(xué)、保險(xiǎn)精算學(xué).

文章編號(hào)：1004-4353(2015)03-0199-04

中圖分類號(hào)：F830.91

The method of pricing Asian options based on the discrete geometric average

HONG Yicheng1，JIN Yuanfeng1，LI Meishan2

( 1.DepartmentofMathematics,CollegeofScience,YanbianUniversity,Yanji133002,China;

2.DepartmentofFinance,YanbianUniversity,Yanji133002,China)

Abstract：In this paper,we discussed pricing method of the geometric average Asian option in the discrete case. Firstly,we transform the geometric average into proper form,and then using Vanilla call and put option pricing formula and martingale method to get the closed form solution of fixed strike and floating strike Asian option with geometric average assets prices in a discrete situation,respectively.

Key words： Asian option; geometric average; option pricing

亞式期權(quán)是金融市場上最活躍的奇異期權(quán)之一,其主要交易形式為場外交易.由于亞式期權(quán)的損益不僅依賴于到期時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格,還依賴于標(biāo)的資產(chǎn)在有效期內(nèi)某一段時(shí)間內(nèi)的某種平均值,因此,它可以有效地避免投資者通過操縱標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格獲利的可能性.同時(shí),由于亞式期權(quán)的價(jià)值比標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)的價(jià)值更為便宜,因此,它在股票、商品、利率、外匯、能源、以及電力工業(yè)等實(shí)際市場中有著非常廣泛的應(yīng)用.亞式期權(quán)根據(jù)采用的平均不同,可分為算術(shù)平均亞式期權(quán)與幾何平均亞式期權(quán);根據(jù)支付函數(shù)(Payoff)的不同,又可分為固定執(zhí)行價(jià)格看漲期權(quán)、固定執(zhí)行價(jià)格看跌期權(quán)、浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格看漲期權(quán)以及浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格看跌期權(quán).為了處理方便,人們通常是在連續(xù)監(jiān)控平均的情況下取得相應(yīng)的定價(jià)公式,例如,文獻(xiàn)[1-7]中利用各自不同的方法對(duì)連續(xù)監(jiān)控情形下的幾何平均亞式期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)研究,并得出了相應(yīng)的定價(jià)公式.為了更加符合實(shí)際,文獻(xiàn)[8]利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理推導(dǎo)出了離散時(shí)間幾何平均固定執(zhí)行價(jià)格亞式期權(quán)的定價(jià)公式,文獻(xiàn)[9]對(duì)離散監(jiān)控下歐式風(fēng)格亞式期權(quán)(European-style Asian option)的定價(jià)方法進(jìn)行了研究.本文在離散監(jiān)控條件下，對(duì)幾何平均進(jìn)行適當(dāng)變換后,分別求出了固定執(zhí)行價(jià)格亞式期權(quán)和浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格亞式期權(quán)的定價(jià)公式.

1幾個(gè)基本假設(shè)與幾何平均的相關(guān)處理

本研究是基于Black-Scholes模型下進(jìn)行的.令t時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格為S(t),它滿足

dS(t)=rS(t)dt+σS(t)dW(t),

(1)

其中r為無風(fēng)險(xiǎn)利率,σ為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率,{W(t)：0≤t≤T}為標(biāo)準(zhǔn)維納過程.由式(1)不難得到

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

容易驗(yàn)證式(6)是初值為

(7)

的微分方程

(8)

的解.也就是說,離散監(jiān)控下的幾何平均滿足初值為式(7)的微分方程(8).

2固定執(zhí)行價(jià)格亞式期權(quán)的定價(jià)

固定執(zhí)行價(jià)格亞式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的支付函數(shù)分別為

max{GA(T)-K,0},max{K-GA(T),0},

(9)

其中K為執(zhí)行價(jià)格.由GA(T)的運(yùn)動(dòng)方程(8)與支付函數(shù)(9)的形式不難看出,在Black-Scholes模型下,可以把函數(shù)(9)看成是以GA(t)為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的支付函數(shù),因此,可以直接利用Black與Scholes[10]提出的標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式:

固定執(zhí)行價(jià)幾何平均看漲期權(quán)的定價(jià)公式為

FGC(0)=GA(0)e-qTN(d1)-Ke-rTN(d2),

(10)

固定執(zhí)行價(jià)幾何平均看跌期權(quán)的定價(jià)公式為

FGP(0)=Ke-rTN(-d2)-GA(0)e-qTN(-d1),

(11)

3浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格亞式期權(quán)的定價(jià)

(12)

(13)

稱V(t)∶=e-r(T-t)E(f(S(T),GA(T))|Ft)為t時(shí)刻資產(chǎn)組合的資本過程,其中f(S(T),GA(T))為浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格亞式期權(quán)的支付函數(shù).看漲期權(quán)時(shí)為fc(S(T),GA(T))=max{S(T)-GA(T),0},看跌期權(quán)時(shí)為fp(S(T),GA(T))=max{GA(T)-S(T),0}.令

(14)

并稱式(14)為折現(xiàn)的資本過程.注意到V(T)=E(e-r(T-t)f(S(T),GA(T))|FT)=f(S(T),GA(T)),這說明可以用V(T)來得到支付函數(shù)f(S(T),GA(T))的復(fù)制.對(duì)式(12)和式(13)使用伊藤公式,不難得出：

(15)

(16)

且當(dāng)s

(17)

(18)

再由式(15)可以把式(18)改寫成

(19)

由式(12)、(14)和(19),經(jīng)簡單的計(jì)算可以得到

(20)

令

(21)

其中{B(t),0≤t≤T}表示無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程,則式(20)可改寫成

dV(t)=β(t)dS(t)+γ(t)dB(t),

(22)

而由式(21)可以得到

V(t)=β(t)S(t)+γ(t)B(t).

(23)

再由式(22)和(23)可知,資本過程{V(t):0≤t≤T}為自籌資產(chǎn)組合，因此V(0)就是要求得的期權(quán)價(jià)值:

(24)

這里,只對(duì)看漲期權(quán)的情形給出求解過程即可,看跌期權(quán)的情形可類似求得.由于看漲期權(quán)時(shí)的支付函數(shù)為fc(S(T),GA(T))=max{S(T)-GA(T),0},從而

(25)

(26)

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