胡 攀
(四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)學(xué)院,四川 達(dá)州 635000)
在現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的隨機(jī)性和模糊性等不確定性.隨機(jī)性是一種客觀的不確定性,隨機(jī)變量的分布函數(shù)可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法很容易得到.然而,模糊性是一種主觀的不確定性,刻畫(huà)模糊性的隸屬函數(shù)由有經(jīng)驗(yàn)的專家給出.為了處理模糊過(guò)程,1965年Zadeh 用隸屬函數(shù)引入模糊集合的概念[1]. Liu 在2002年定義了可信性測(cè)度與模糊事件的自對(duì)偶性,由此建立起可信性理論,使之成為研究模糊理論的一個(gè)數(shù)學(xué)分支[2];為了描述動(dòng)態(tài)模糊,2008年Liu 在模糊環(huán)境下提出了與布朗運(yùn)動(dòng)相對(duì)應(yīng)的Liu 過(guò)程的概念,同時(shí)建立了Liu 股票價(jià)格模型[3];2008年Qin 與Li 在上述模型基礎(chǔ)之上建立了歐式期權(quán)定價(jià)公式[4];2009年Qin 與Gao 又提出了分?jǐn)?shù)Liu 過(guò)程[5].基于上述理論,2010年譚英雙借助Liu 過(guò)程,Liu 公式等不確定性理論建立的模糊歐式看漲期權(quán)推導(dǎo)出模糊環(huán)境下的凈現(xiàn)值流公式[6];2013年胡華給出了標(biāo)的股票服從幾何分?jǐn)?shù)Liu 過(guò)程的冪期權(quán)定價(jià)模型[7];同年林亮、吳帥給出了模糊過(guò)程下不同死力假設(shè)的增額壽險(xiǎn)精算模型[8].
亞式期權(quán)作為一種強(qiáng)路徑依賴性期權(quán),可分為算術(shù)平均和幾何平均兩種.隨機(jī)條件下亞式期權(quán)的定價(jià)模型是在理想化的市場(chǎng)假設(shè)條件下得到的結(jié)果,其完全忽略了像戰(zhàn)爭(zhēng)、恐怖襲擊、公司破產(chǎn)等模糊因素對(duì)金融市場(chǎng)的影響,因而期權(quán)價(jià)值被低估.隨機(jī)條件下幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題參見(jiàn)文獻(xiàn)[9 -12].由于現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)中存在大量的模糊性,因而考慮模糊環(huán)境下幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題似乎更符合市場(chǎng)的實(shí)際情況.現(xiàn)有的研究成果中,對(duì)于亞式期權(quán)VaR 的討論,都是在隨機(jī)條件下進(jìn)行的,存在風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值被低估的可能.而對(duì)于模糊條件下期權(quán)的VaR 研究,迄今為止還是空白.
因此,本文在金融市場(chǎng)受模糊性因素影響的基礎(chǔ)上,在標(biāo)的股票價(jià)格服從幾何Liu 過(guò)程的模型假設(shè)下,首先利用可信性理論給出幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的定價(jià)公式及其證明過(guò)程;其次利用定價(jià)公式給出幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的VaR 計(jì)算方法;最后通過(guò)數(shù)值計(jì)算比較隨機(jī)和模糊條件下幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的價(jià)值和VaR 值.期望能為期權(quán)投資者或金融炒家提供一種更加符合實(shí)際市場(chǎng)的投資決策或規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的工具.
定義1[3]Liu 過(guò)程Ct的正態(tài)隸屬函數(shù)為
特別,當(dāng)e=0,σ=1 時(shí)稱Ct為標(biāo)準(zhǔn)Liu 過(guò)程.
定義2[13]假設(shè)Ct是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)Liu 過(guò)程,則稱模糊過(guò)程為L(zhǎng)iu 過(guò)程的積分.
引理1[13]對(duì)任意t >0,Ⅰt的正態(tài)隸屬函數(shù)為
引理2[14](可信性反演定理)假設(shè)ξ 是隸屬函數(shù)為μ 的模糊變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)集合B,ξ 的可信性測(cè)度
定義3[15]假設(shè)ξ 是一個(gè)模糊變量,則ξ 的期望值為
假設(shè)模糊金融市場(chǎng)中僅存在兩種證券:一種為債券,t 時(shí)刻的價(jià)格記為Bt;另一種為股票,t 時(shí)刻的價(jià)格記為Xt.文獻(xiàn)[2]給出了股票價(jià)格服從幾何Liu 過(guò)程的一般模型
其中r 表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率,e 為股票的漂移項(xiàng),σ 為股票的擴(kuò)散項(xiàng),Ct為標(biāo)準(zhǔn)Liu 過(guò)程.
1996年,J.P.Morgan[16]在隨機(jī)條件下提出了度量金融衍生工具或投資組合市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的VaR 方法,自此VaR 便成為金融市場(chǎng)上管理和控制風(fēng)險(xiǎn)的重要工具.
定義4[16]VaR 是指在給定置信水平和一定持有期內(nèi)某一金融衍生工具或投資組合所面臨的最大可能損失.其含義是風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值.
考慮投資組合Π,假設(shè)θ0表示該組合的初始價(jià)值,R 表示持有期內(nèi)組合的收益率,則其期末價(jià)值θ =θ0(1 +R);記投資組合的最低收益率為R*,則其最低價(jià)值θ*=θ0(1 +R*);模糊環(huán)境下與給定置信水平α 對(duì)應(yīng)的最低收益率可表示為:
記μR和σR分別表示R 的期望回報(bào)和波動(dòng)率.依定義4,模糊環(huán)境中投資組合的相對(duì)VaR 為:
絕對(duì)VaR 為:
其中ECr表示依賴于可信性測(cè)度Cr 的數(shù)學(xué)期望.
亞式期權(quán)作為強(qiáng)路勁依賴型期權(quán),分為看漲和看跌兩種. 看漲(看跌)期權(quán)賦予期權(quán)持有者在到期時(shí)間按既定價(jià)格購(gòu)買(銷售)一定量的股票的權(quán)利而不是義務(wù).執(zhí)行價(jià)格為K,到期時(shí)間為T 的幾何平均亞式看漲期權(quán)在t =0 時(shí)刻的價(jià)值為看跌期權(quán)的價(jià)值為P = e-rTE(K -.
定理1 記C=C(X0,K,e,σ,r),P=P(X0,K,e,σ,r),則Liu 股價(jià)模型下,執(zhí)行價(jià)格為K,到期時(shí)間為T的幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻t=0 的價(jià)值為
證明:以幾何平均亞式看漲期權(quán)定價(jià)模型的推導(dǎo)為例,幾何平均亞式看跌期權(quán)的定價(jià)模型可以類似證明.依據(jù)模糊變量的期望值定義,有
將(5)式變形后代入上式并化簡(jiǎn)得:
當(dāng)x≥0 時(shí),由可信性反演定理可知
于是
于是
綜合(12)、(13)兩式有
將(14)式代入(11)式可得(9)式成立.
定理2 記C(X0,K,e,σ,r)=C,P(X0,K,e,σ,r)=P 由定理1 給出,則
證明:①幾何平均亞式看漲期權(quán)在[0,T]時(shí)間段內(nèi)的收益率為
依據(jù)VaR 的定義,模糊環(huán)境下與給定置信水平α 對(duì)應(yīng)的最低收益率為
從中可解得
于是根據(jù)期權(quán)的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)與絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的定義即可得結(jié)論.
②幾何平均亞式看跌期權(quán)的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值與相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值可類似證明,這里從略.
下面通過(guò)數(shù)值計(jì)算比較模糊條件下和隨機(jī)條件下幾何平均亞式期權(quán)的價(jià)值與VaRrel值,計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1、表2.隨機(jī)條件下幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的解析定價(jià)公式采用2001年章珂、周文彪、沈榮芳給出的定價(jià)模型[17]. 隨機(jī)條件下幾何平均亞式期權(quán)的VaRrel計(jì)算公式采用2009年董洪坤[18]的結(jié)果.分別記隨機(jī)條件下幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值為C(t,Bt)和P(t,Bt);模糊條件下幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值記為C(t,Ct)和P(t,Ct).模型中各參數(shù)取值如下:
表1 的計(jì)算結(jié)果顯示,模糊環(huán)境下幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的價(jià)值均高于隨機(jī)條件下的對(duì)應(yīng)價(jià)值.原因在于隨機(jī)條件下的幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)完全忽略了像戰(zhàn)爭(zhēng)、恐怖襲擊、公司破產(chǎn)等突發(fā)因素對(duì)金融市場(chǎng)的影響,從而導(dǎo)致價(jià)值被低估.模糊因素的忽略將導(dǎo)致短期內(nèi)期權(quán)市場(chǎng)出現(xiàn)套利機(jī)會(huì),這使得大量的期權(quán)投資者或金融炒家涌向期權(quán)市場(chǎng),從而抬高期權(quán)價(jià)格,直到套利機(jī)會(huì)消失.以看漲期權(quán)為例,如果模糊條件下的期權(quán)價(jià)值9.5561 被定價(jià)為隨機(jī)條件下的5.3319,這時(shí)期權(quán)價(jià)值存在4.2242 的套利機(jī)會(huì),于是期權(quán)投資者或金融炒家將涌向市場(chǎng)直到4.2242 的套利機(jī)會(huì)消失為止.
表1 不同條件下幾何平均亞式期權(quán)的價(jià)值Tab.1 The geometric average Asian option values in different conditions
表2 幾何平均亞式期權(quán)的相對(duì)VaR 值Tab.2 The relative VaR values of geometric average Asian options
表2 給出了幾何平均亞式期權(quán)在不同置信水平下的VaRrel值.?dāng)?shù)據(jù)顯示幾何平均亞式期權(quán)的VaRrel均是置信水平α 的減函數(shù);其次由于受模糊因素的影響,相同置信水平下幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的VaRrel值高于隨機(jī)條件下的對(duì)應(yīng)值;再次在模糊金融市場(chǎng)中仍然是高風(fēng)險(xiǎn)對(duì)應(yīng)高回報(bào).以5%的置信水平為例,模糊條件下看漲期權(quán)的VaRrel值為30.7575,而隨機(jī)條件下的VaRrel值只有16.0365.若忽略模糊因素的影響,則期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)值被低估14.721,低估率高達(dá)47.86%.這對(duì)于期權(quán)投資者來(lái)講是非常危險(xiǎn)的,因?yàn)槠浍@得的收益與承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)完全不匹配.
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