顏鏡洲，馮長(zhǎng)煥，羅德軍，劉 群

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

本文以經(jīng)典的歐式看漲期權(quán)定價(jià)理論為基礎(chǔ)．在期權(quán)的有效期內(nèi)，當(dāng)股票的價(jià)格上漲并高于看漲期權(quán)的敲定價(jià)的時(shí)候，投資者會(huì)隨股價(jià)的上漲而不斷的買入股票，來(lái)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)．未來(lái)的股價(jià)高于敲定價(jià)的部分由賣方承擔(dān)，賣方的風(fēng)險(xiǎn)可能非常大．經(jīng)典定價(jià)理論假設(shè)的是期權(quán)持有人在期權(quán)的有效期內(nèi)不進(jìn)行股票交易，必須依靠看漲期權(quán)來(lái)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)．提高B-S 定價(jià)模型可以構(gòu)造新的期權(quán)形式來(lái)進(jìn)行規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，如:關(guān)卡期權(quán)，亞式期權(quán)，回望期權(quán)、芥末期權(quán)等［1-5］．文獻(xiàn)［6，7］提出線性動(dòng)態(tài)的投資策略的看漲、看跌期權(quán)的定價(jià)模型．本文在此基礎(chǔ)之上提出了新的基于非線性的動(dòng)態(tài)投資策略的看漲期權(quán)定價(jià)模型．基本的想法是投資者在購(gòu)買股票看漲期權(quán)的同時(shí)還制定了一個(gè)按照股價(jià)走勢(shì)確定的買入股票的投資策略，在期權(quán)有效期內(nèi)，如果股價(jià)持續(xù)上漲并高于期權(quán)的敲定價(jià)，那么投資者能夠在股票市場(chǎng)上按照預(yù)先假定下的非線性投資策略買入股票，從而能夠減少股票投資的損失．也就是說(shuō)按照非線性投資策略下的股票看漲期權(quán)的價(jià)格低于經(jīng)典的看漲期權(quán)價(jià)格．

1 建立投資策略和損失函數(shù)

本文的符號(hào)和基本假設(shè)基于文獻(xiàn)［6，7］:Q，投資者的持倉(cāng)比例;A，總投資額;Q=購(gòu)買股票的金額/A;S，股票的價(jià)格;K，看漲期權(quán)的敲定價(jià);α，投資策略指數(shù)，表示購(gòu)買股票的價(jià)格區(qū)間從K 上漲到(1 +α)K;β，資金的最高占用率，表示投資者購(gòu)買股票的資金與總資金的之比的最大值．當(dāng)股價(jià)從K 上漲到(1 +α)K，持股比例從0 上漲到β，其中:0≤β≤1，α≥0．假定投資者按照如下的非線性的增倉(cāng)的投資策略

其中:α，為投資策略指數(shù);β，為資金的最高占用比率．

當(dāng)股票價(jià)格從S 變化到S+ΔS 時(shí)，購(gòu)買股票資金的資金增加量為:ΔZ =ΔQ·A =A·Q(S)·ΔS，其中:ΔZ，購(gòu)買股票資金的資金增加量，ΔQ，持股比例的變動(dòng)量．

當(dāng)股票價(jià)格上漲到S0時(shí)，當(dāng)股票價(jià)格從S 變化到S +ΔS 時(shí)，購(gòu)買股票的預(yù)期收益是其中預(yù)期的情況下增加資金購(gòu)買的股票數(shù)．

當(dāng)股票期權(quán)從K 上漲到S0，此時(shí)期權(quán)的預(yù)期收益為:

將上式積分化簡(jiǎn)可得:

假如股票期權(quán)從敲定價(jià)K 上漲到S0時(shí)，沒(méi)有及時(shí)補(bǔ)倉(cāng)，那么空倉(cāng)時(shí)的預(yù)期損失為:

其中A/K :股票數(shù)，表示為敲定價(jià)為K 的時(shí)候，將全部的資金購(gòu)買股票的數(shù)量．

假如期權(quán)投資者按照預(yù)定的非線性的持倉(cāng)比例持股時(shí)，那么持有的股票可以減少一部分損失，損失為:

那么可以得到每股的損失為:

由于損失函數(shù)是基于投資策略下建立起來(lái)的，其收益函數(shù)等價(jià)于上述的損失函數(shù):

2 看漲期權(quán)定價(jià)公式

利用Δ-對(duì)沖的技巧，通過(guò)構(gòu)造投資組合能夠得到Black-Scholes 偏微分方程［5］．其偏微分的形式為:

為了確定期權(quán)在合約有效期［0，T］的內(nèi)價(jià)值，就要在區(qū)域∑={0≤S≤∞，0≤t≤T}上求解定解問(wèn)題:

要解決上面定解問(wèn)題，需要做變量替換:x=lnS，τ=T-t，

將定解問(wèn)題(3)轉(zhuǎn)化為常系數(shù)拋物型方程的Cauchy 問(wèn)題:

作函數(shù)變換為:

在變換(6)下，(3)式轉(zhuǎn)化為熱傳導(dǎo)方程

并且初值為:

可以用Poisson 公式［8］表示熱傳導(dǎo)方程(7)的Cauchy 問(wèn)題的解:

其中φ(ξ)初值，K(x-ξ，τ)為熱傳導(dǎo)方程(7)的基本解:

從而Cauchy 問(wèn)題(7)(8)的解可以表示為:

將式(9)代入到V(x，τ)中可得:

為了形式簡(jiǎn)便我們記:V(x，τ)=Ⅰ1+Ⅰ2+Ⅰ3+Ⅰ4+Ⅰ5+Ⅰ6．

由于篇幅的限制略去了一些推導(dǎo)，需要推導(dǎo)的讀者可以聯(lián)系作者．繼續(xù)用上述方法可得:

從而得到非線性投資策略下看漲歐式期權(quán)的定價(jià)模型:

當(dāng)α ＞0，β=0 時(shí)，投資者沒(méi)有購(gòu)買股票，這時(shí)候定價(jià)公式就退化為經(jīng)典的Black-Scholes 公式V(S，t)=SN(d1)+Ke-r(T-t)N(d2)．

當(dāng)β=0，α→0+時(shí)，可以從價(jià)值函數(shù)知道新期權(quán)在這個(gè)時(shí)候的價(jià)格便宜，投資者不需要期權(quán)來(lái)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，只要主動(dòng)在股票市場(chǎng)中買入股票來(lái)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)．容易計(jì)算得投資者的損失函數(shù)為0，進(jìn)而得出收益函數(shù)為0．

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