基于首次積分和向量場的二維Lotka-Volterra系統(tǒng)的穩(wěn)定性

唐曉偉1,2

( 1.齊魯師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250200； 2.山東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250014 )

摘要：為研究二維Lotka-Volterra系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問題，利用首次積分和向量場給出了平衡點(diǎn)一致穩(wěn)定的充分條件，同時(shí)將結(jié)論推廣到一般的二維系統(tǒng)中，并用實(shí)例驗(yàn)證了本文結(jié)論的有效性.

關(guān)鍵詞：Lotka-Volterra系統(tǒng)； 首次積分； 向量場； 穩(wěn)定性

收稿日期：2015-05-13

基金項(xiàng)目：山東省青少年教育科學(xué)規(guī)劃課題(15BSH278);齊魯師范學(xué)院校級青年教師項(xiàng)目(2014L1002)

文章編號：1004-4353(2015)03-0203-04

中圖分類號：O175.31

Stability of a two-dimensional Lotka-Volterra system with first integral and vector field

TANG Xiaowei1,2

( 1.MathematicalSchool,QiluNormalUniversity,Jinan250200,China;

2.SchoolofMathematicalScience,ShandongNormalUniversity,Jinan250014,China)

Abstract：To study the stability for two-dimensional Lotka-Volterra,the sufficient condition of the stability for two-dimensional Lotka-Volterra system was given by using first integral and vector field. Then the conclusion was extended to general two-dimensional systems and the effectiveness was verified by an example.

Key words： Lotka-Volterra system; first integral; vector field; stability

在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和生物資源的管理中，維持某一種群系統(tǒng)內(nèi)部的平衡對保持整個(gè)生態(tài)系統(tǒng)的平衡具有重要的作用，因此需要人們根據(jù)種群系統(tǒng)所反饋的各種信息來制定相應(yīng)的管理決策，以保證生物物種的多樣性和生產(chǎn)的可持續(xù)性.文獻(xiàn)[1-3]通過李雅普諾夫函數(shù)研究了Lotka-Volterra系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問題，但由于在構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)時(shí)存在較多困難，上述文獻(xiàn)中構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)不具有通用性.文獻(xiàn)[4]研究了一類Lotka-Volterra系統(tǒng)的首次積分的存在性，并利用首次積分研究了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問題.文獻(xiàn)[5]給出了Lambert W函數(shù)的定義，并將系統(tǒng)首次積分的表達(dá)式作為其李雅普諾夫函數(shù)，結(jié)合Lambert W函數(shù)的性質(zhì)討論了可求得首次積分的Lotka-Volterra系統(tǒng)的周期解的存在性和穩(wěn)定性問題，但是并不是所有的Lotka-Volterra系統(tǒng)都能夠?qū)懗銎涫状畏e分的表達(dá)式.C.Albert等[6-7]在研究非線性擾動系統(tǒng)的全局相切性和橫截性時(shí)提出了一種基于首次積分和向量場的方法，這種方法能夠避免構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)時(shí)所存在的困難，同時(shí)還適用于首次積分不存在的系統(tǒng).鑒于此，本文利用首次積分和向量場研究了一類二維Lotka-Volterra系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，給出了系統(tǒng)平衡點(diǎn)一致穩(wěn)定的充分條件，并將結(jié)果推廣到一般的二維非線性系統(tǒng)中，最后用實(shí)例驗(yàn)證了結(jié)論的有效性.

1預(yù)備知識和基本結(jié)果

令R2表示二維歐式空間,‖·‖表示R2中的范數(shù).考慮如下的兩種群Lotka-Volterra系統(tǒng)：

(1)

其中:x(t)表示食餌(害蟲)的種群數(shù)量;y(t)表示捕食者(天敵)的種群數(shù)量；a,b,c,d為正常數(shù).

(2)

(3)

定義1(i) 對?ε>0,?t0≥0,若存在δ=δ(t0,ε)>0,使得當(dāng)‖X0‖<δ時(shí),有‖X(t)‖<ε,t≥t0成立,其中X(t)=X(t,t0,X0)表示系統(tǒng)(3)的過(t0,X0)的解,則稱系統(tǒng)(3)的零解是穩(wěn)定的；(ii) 若(i)中的δ與t0無關(guān)，則稱系統(tǒng)(3)的零解是一致穩(wěn)定的.

定義2定義K類函數(shù)如下:

K={a(s)|a∶[0,+∞)→[0,+∞),a(0)=0,a(s)關(guān)于s連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增}.

定理1系統(tǒng)(3)的零解是穩(wěn)定的.

證明證明取引理2中的H(x,y)作為李雅普諾夫函數(shù)即可.

2主要結(jié)果及其證明

考慮具有擾動的兩種群Lotka-Volterra系統(tǒng):

(4)

定理2若系統(tǒng)(4)滿足對?ε>0,存在σ=σ(ε)>0及函數(shù)k(s)∈K,使得當(dāng)X∈∪(0;ε)時(shí),H(X)∈[H0,H0+σ);當(dāng)H(X)∈[H0,H0+σ)時(shí),X∈∪(0;k(ε)),且對?X∈Ω,t∈[0,+∞)有DH(X)·h(t,X)≤0成立,則系統(tǒng)(4)的零解是一致穩(wěn)定的.

證明對?ε>0,t0≥0,設(shè)X(t)是系統(tǒng)(4)經(jīng)過(t0,X0)的解,于是DH(X(t))·h(t,X(t))≤0.對?t≥t0,將上式兩端分別在[t0,t]上積分,得

對上述的ε>0,t0≥0,取0<δ

更一般地,考慮具有擾動的二維微分系統(tǒng):

(5)

其中g(shù)(t,X)在[0,+∞)×Ω上是連續(xù)的,Ω是R2中的一個(gè)包含原點(diǎn)的開集.不妨假設(shè)系統(tǒng)(5)的零解存在，且對系統(tǒng)(5)做如下假設(shè):

(H1)g(t,X)可寫成p(X)與q(t,X)之和,且p(X)關(guān)于X在Ω內(nèi)是可積的,q(t,X)關(guān)于X在Ω內(nèi)可以不可積;

(H3) 令F(0)=F0,且F0是F(X),X∈Ω的唯一最大(最小)值.

定理3系統(tǒng)(5)的零解是一致穩(wěn)定的，若系統(tǒng)(5)滿足(H1)—(H3)，且

(i) 當(dāng)F0是F(X),X∈Ω的最小值時(shí),對?ε>0,存在σ=σ(ε)>0及函數(shù)α(s)∈K,使得當(dāng)X∈∪(0;ε)時(shí),F(X)∈[F0,F0+σ);當(dāng)F(X)∈[F0,F0+σ)時(shí),X∈∪(0;α(ε)),且對?X∈Ω,t∈[0,+∞)有DF(X)·q(t,X)≤0成立；

(ii) 當(dāng)F0是F(X),X∈Ω的最大值時(shí),對?ε>0,存在σ=σ(ε)>0及函數(shù)β(s)∈K,使得當(dāng)X∈∪(0;ε)時(shí),F(X)∈(F0-σ,F0];當(dāng)F(X)∈(F0-σ,F0]時(shí),X∈∪(0;β(ε)),且對?X∈Ω,t∈[0,+∞)有DF(X)·q(t,X)≥0成立.

證明只需證明當(dāng)F0是F(X),X∈Ω的最大值時(shí)的情形即可,當(dāng)F0是F(X),X∈Ω的最小值時(shí)的證明與之類似，故省略.

對?ε>0,t0≥0,設(shè)X(t)是系統(tǒng)(5)經(jīng)過(t0,X0)的解.由條件(ii)知DF(X(t))·q(t,X(t))≥0.對?t≥t0,將上式兩端分別在[t0,t]上積分,得

對上述的ε>0,t0≥0,取0<δF0-σ，故‖X(t)‖<β(ε),t≥t0,而β(s)∈K,從而系統(tǒng)(5)的零解是一致穩(wěn)定的.

例1考慮如下的具擾動的二維微分系統(tǒng)：

(6)

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