王貴軍 魏 爍

(北京市第八十中學(xué) 100102)

向量的運算與幾何圖形的性質(zhì)有著緊密的聯(lián)系，向量的運算可以用圖形簡明地表示，而圖形的一些性質(zhì)又可以反映到向量的運算上來，因此我們可以建立向量的運算與幾何圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過向量的運算來研究幾何問題．向量的運算主要包括向量的加(減)法運算、向量的數(shù)乘運算和向量的數(shù)量積運算，其各種運算均包含幾何運算、代數(shù)運算、坐標(biāo)運算三種形式的運算．

向量作為工具研究幾何問題，開創(chuàng)了研究幾何問題的新方法，在一些期刊上的相關(guān)文章和有些教材上相關(guān)內(nèi)容多數(shù)使用向量的代數(shù)運算，在解決某些幾何問題時過于復(fù)雜，采取的方式和方法過于牽強(qiáng)，與傳統(tǒng)的綜合法解決幾何問題的方法相差甚遠(yuǎn)，看不到向量在解決幾何問題時的優(yōu)勢，不利于激發(fā)學(xué)生運用向量方法解決幾何問題的積極性，在某種程度上起了誤導(dǎo)的作用，其問題根源在于用向量解決問題時過分強(qiáng)調(diào)向量的代數(shù)運算，而忽視了向量的幾何運算．

運用向量解決幾何問題的基本程序是首先建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然后通過向量的運算，研究幾何元素間的關(guān)系，如距離、夾角等問題，最后將運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．在運用向量方法解決幾何問題時，要突出向量的幾何運算，即“圖形”的運算，或幾何運算與代數(shù)運算結(jié)合使用來解釋圖形的幾何性質(zhì)，這樣才能更好地發(fā)揮向量在解決幾何問題的魅力．

1 垂直問題

圖1

例1如圖1，在△ABC中∠C=90°，CA=CB，D是CB的中點，E為AB邊上一點，AE=2EB．求證：AD⊥CE．

證明因為∠C=90°，CA=CB，

故AD⊥CE．

圖2

例2如圖2，已知正方形ABCD，P為對角線AC上任意一點，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，連接PD，EF．求證PD⊥EF．

證明因為ABCD為正方形，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F,

所以AE=BF，BE=CF，

=AE·EB-CF·BF=0．

故PD⊥EF．

例3如圖3，分別以△ABC的兩邊AC和BC向外作正方形ACDE和正方形BCFG．求證：AF⊥BD．

圖3

證明因為ACDE和BCFG均為正方形，

=0．

故AF⊥BD．

說明線段的垂直問題轉(zhuǎn)化向量的數(shù)量積為零，在證明過程中通常利用向量加法的三角形法則(首尾銜接法)，將所求向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，用向量的運算的結(jié)果解釋圖形的幾何特征．

2 平行問題

圖4

證明因為D,E分別為邊AC,BC的中點，

又因為DE,AB不共線，

圖5

證明因為F,G,M,N分別為AB,BC,CD,DE的中點，P,Q分別為FM,GN的中點，

因為AE與PQ不共線，

說明利用向量證明兩個線段平行時，將線段平行問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的向量平行問題，通過向量的運算，尋求這兩個向量的實數(shù)λ倍的關(guān)系．在證明過程中要充分利用向量加法或減法的幾何運算的首尾銜接法(回路法)．

3 長度問題

圖6

例6如圖6，已知△ABC中，AB⊥BC，BD⊥AC于點D，求證AB2=AD·AC，CB2=CD·CA，BD2=DA·DC．

證明因為AB⊥BC，BD⊥AC，

=0+AD·CD+AD·DC-AD·DC

=AD·DC．

圖7

例7如圖7，D為Rt△ABC斜邊AB的中點，E,F分別在邊AC,BC上，且DE⊥DF，求證：EF2=AE2+BF2．

證明取EF中點G，連結(jié)DG.

因為DE⊥DF，AC⊥BC，

=AE2+BF2．

4 分點問題

圖8

例8如圖8，平行四邊形ABCD，點E,F分別為AD,DC的中點，BE,BF分別與AC交于R,T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？

解直觀猜想知AR=RT=TC．

因為ABCD為平行四邊形，E為AD的中點，

根據(jù)平面向量的基本定理得μ=2，

故點R為AC的三等分點．

同理點T也為AC的三等分點，

故AR=RT=TC．

圖9

例9如圖9，在△ABC中，M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN=2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM的值．

解因為M是BC的中點，AN=2NC，

于是AP∶PM=4∶1．

5 夾角問題

圖10

例10如圖10，設(shè)四邊形ABCD中，AD=BC，M,N分別為AB與CD的中點，連接MN，設(shè)AD與MN夾角為∠1,BC與MN夾角為∠2,求證∠1=∠2.

因為AD=BC，

所以cos∠1=cos∠2.

因為∠1,∠2∈(0,π),

所以∠1=∠2．

說明利用向量證明與角有關(guān)的問題時，要有意識地建立向量的數(shù)量積的關(guān)系式，如在向量等式兩邊同時點乘一個向量，再將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化成向量的模與夾角余弦的關(guān)系式，這樣可進(jìn)一步研究角的有關(guān)問題．

6 教學(xué)建議

在用向量研究平面幾何問題的教學(xué)中，首先建立平面幾何的元素與平面向量元素間的聯(lián)系，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，例如，線段的長度轉(zhuǎn)化為向量的模；線段平行轉(zhuǎn)化為向量平行；三點共線轉(zhuǎn)化為向量共線；線段垂直轉(zhuǎn)化為向量垂直；線段夾角轉(zhuǎn)化為向量夾角等．然后通過向量的運算解釋向量的幾何關(guān)系，再將向量的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的平面幾何的元素關(guān)系．

教學(xué)中應(yīng)當(dāng)通過實例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會通過建立向量及其運算與幾何圖形之間的關(guān)系，利用向量的代數(shù)運算和幾何運算研究幾何問題的基本思想．在進(jìn)行向量的運算時可以使用向量的幾何運算也可以使用向量的代數(shù)運算還可以使用向量的坐標(biāo)運算來解決幾何問題．要著重引導(dǎo)學(xué)生使用向量的“形”的運算，即幾何運算來研究幾何問題，從本文例子可以看出向量“形”的運算更直觀，能充分反映向量的本質(zhì)，可使幾何問題的解答過程十分簡潔，這樣才能激發(fā)學(xué)生使用向量的積極性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔美，因此教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生尋求更美的解題方法，要充分運用向量的首尾銜接法(回路法)及向量的運算的幾何意義來研究平面幾何問題，這樣才能更好地讓學(xué)生體驗到向量在解決平面幾何問題的魅力．