2020年5月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2541設正實數(shù)a,b,c滿足a2+b2+c2+abc≤4,x,y,z為任意實數(shù)，求證：

ayz+bzx+cxy≤x2+y2+z2．

(陜西省咸陽師范學院基礎教育課程研究中心 安振平 712000)

證明構造二次函數(shù)

f(x)=(x2+y2+z2)-(ayz+bzx+cxy)

=x2-(bz+cy)x+(y2+z2-ayz),x∈R.

因為二次函數(shù)f(x)的圖像開口向上，要證明f(x)≥0恒成立，只要證明其判別式的值非正就行了．事實上

Δx=(bz+cy)2-4(y2+z2-ayz)

=(b2z2+c2y2+2bcyz)-4(y2+z2-ayz)

=-[(4-c2)y2-2(2a+bc)z·y+(4-b2)z2]．

由題設條件知4-c2>0,

構造二次函數(shù)

g(y)=(4-c2)y2-2(2a+bc)z·y+(4-b2)z2,y∈R．

只要證明g(y)≥0,也就是只要證明其判別式的值非正就行了．事實上

Δy=4(2a+bc)2z2-4(4-c2)(4-b2)z2

=4(4a2+4abc+b2c2)z2-4(16-4b2-4c2+b2c2)z2

=16z2(a2+b2+c2+abc-4)≤0．

綜合以上，便知所證不等式成立．

(北京市朝陽區(qū)教育研究中心 蔣曉東 100028；北京市朝陽區(qū)芳草地國際學校富力分校 郭文征 100121)

證明如圖，延長CB到E，使BE=BA，

則△BEA為等腰三角形，∠BEA=∠BAE．

因為∠ABC為△BEA的外角，

所以∠ABC=∠BEA+∠BAE=2∠BEA．

因為∠ABC=2∠ACB，

所以∠BEA=∠ACB．

即∠ACE=∠AEC，△ACE為等腰三角形．

所以AE=AC．

所以△BAE∽△ACE．

①

因為∠ABD1=∠CBD2，即BD1、BD2為△ABC的內等角線，由三角形內等角線性質定理，得

②

由①和②得

當且僅當∠ABC的內等角線BD1與BD2合并為∠ABC的平分線時，不等式中的等號成立．

2543在△ABC中，sinA=cosB=cotC，求C的值．

(浙江省海鹽縣元濟高級中學 張艷宗 314300；北京航空航天大學圖書館 宋慶 100191)

sinA=cosB=cotC=0，不合題意；

即2sinB=1-2sin2B，

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

解設自然數(shù)n的十位數(shù)字為a(1≤a≤9)，

個位數(shù)字為b(0≤b≤9)，從而得n=10a+b，

=(10a+b)-10a=b．

于是，[lg2n]=[n·lg2]=[0.301·(10a+b)]

=[3a+0.01a+0.301b]

=3a+[0.01a+0.301b]

=3a+[t]，

①

在上式中，t=0.01a+0.301b．

由1≤a≤9知，0.01≤0.01a≤0.09，

進而考慮0.301b及t的取值范圍：

(ⅰ)當0≤b≤3時，0≤0.301b≤0.903，

從而得0.01≤t≤0.09 + 0.903，

即0.01≤t≤0.993；

(ⅱ)當4≤b≤6時，1.204≤0.301b≤1.806，

從而得0.01+1.204≤t≤0.09+1.806，

即1.214≤t≤1.896；

(ⅲ)當7≤b≤9時，2.107≤0.301b≤2.709，

從而得0.01+2.107≤t≤0.09+2.709，

即2.117≤t≤2.799．

綜合上述討論，對a的任何可能取值

②

另一方面，由m=b得

③

④

比較②與④可知，對b的任何可能取值

⑤

根據(jù)① ③ ⑤得

=3a-4b，

因此n= 10，或n= 53，或n= 96．

圖1

2545如圖1，△ABC中，E是BC邊的中點，D是線段BE上一點(端點除外)，設I1，I2分別為△ABD，△ACD的內心，則 ∠I1EI2=90°的充要條件是AB=AC．

(湖北省公安縣第一中學 楊先義 434300)

圖2

證明如圖2，過I1,I2分別作BC的垂線，垂足為M,N．

由內切圓的性質有

EN=EC-CN

因為I1D⊥I2D，

所以 tan∠I1DM·tan∠I2DN=1，

所以 ∠I1EI2=90°

?tan∠I1EM·tan∠I2EN=1

?MD·ND=ME·EN

?MD(DE+EN)=(MD+DE)EN

?MD=EN

?AB=AC．

2020年6月號問題

(來稿請注明出處——編者)

(北京粉筆未來科技有限公司 鄭小彬)

(山東省泰安市寧陽第一中學 劉才華 271400)

2548已知m>1,求證:存在相異正數(shù)a,b,使am-alna=bm-blnb=1,且a+b>2．

(四川省成都華西中學 張云華 610051)

圖1

2549如圖1：△ABC中的邊AC與BC不等，其內切圓I與△ABC的邊BC、CA、AB切于點D、E、F,邊AB的中點為M,直線DE與△ABC的外接圓O交于點H、G,證明：H、F、M、G四點共圓．

(安徽省旌德中學 趙忠華 242600)

(天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)