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        例談促進深度思考的數(shù)學教學策略

        2020-07-30 07:23:46王慧云
        教育研究與評論(課堂觀察) 2020年3期
        關鍵詞:數(shù)學思維問題情境

        王慧云

        摘要:數(shù)學教學應該促進學生深度思考、發(fā)展思維。對此,可以有如下策略:以問題情境,促進學生主動地思考;以模型建構,促進學生數(shù)學地思考;以連環(huán)追問,促進學生深度地思考。

        關鍵詞:數(shù)學思維;深度思考;問題情境;數(shù)學模型

        數(shù)學是思維的科學,是“思維的體操”。數(shù)學教學應該促進學生深度思考,進而發(fā)展思維。對此,可以有如下策略:

        一、以問題情境,促進學生主動地思考

        情境蘊含、產生問題,問題驅動、引領思維。為了促進學生深度思考,可以創(chuàng)設適當?shù)膯栴}情境,促使學生情智在場、具身投入,主動地思考。

        例如,教學蘇教版小學數(shù)學四年級下冊《多邊形的內角和》一課,可以設計如下逐步遞進的探究問題,不斷驅動、引領學生主動地思考:

        (1)看到這一課題,你想到了什么?(明確學習起點)

        (2)對于多邊形的內角和,你想知道些什么?(明確學習任務)

        (3)面對這些問題,你覺得該如何有序地開展研究?從哪種圖形入手?(明確研究方向)

        (4)回顧一下,我們研究三角形的內角和時,采用了哪些方法?這些方法對今天的學習有哪些借鑒呢?(明確研究思路)

        (5)你已經知道了哪種四邊形的內角和?是多少度?你覺得一般四邊形或者說任意四邊形的內角和會是多少度呢?(明確常規(guī)方法)

        (6)除了量和拼,我們能否換個思路,想想還有其他的方法嗎?既然我們已經學過三角形的內角和是180度,那么能否把四邊形分割、轉化成三角形呢?最少能轉化成幾個?

        (7)和剛才量、拼的方法比起來,你覺得這種分割的方法如何?如果給你任意一個四邊形,你會用這種分割的方法得出它的內角和嗎?

        (8)我們已經通過分割成三角形的方法得到四邊形的內角和是360°,順著這樣的方法和結果,要求五邊形、六邊形、七邊形……的內角和,其實就是要看什么?

        (9)這些多邊形應該怎樣分割,各分割成多少個三角形,才能方便地算出它們的內角和呢?其中是否存在某種規(guī)律?

        (10)通過實踐操作和數(shù)據(jù)整理,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?如果圖形的邊數(shù)越來越多,你能根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出它的內角和嗎?你能用一個式子表示多邊形內角和的計算方法嗎?

        ……

        二、以模型建構,促進學生數(shù)學地思考

        數(shù)學是模式(模型)的科學。模型思想注重運用數(shù)學知識解決問題(尤其是現(xiàn)實問題),且追求將一個問題的解決拓展為一類問題的解決?!读x務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》指出:“(運用數(shù)學知識解決問題的)活動應體現(xiàn)‘問題情境—建立模型—求解驗證的過程,這個過程要有利于理解和掌握相關的知識技能,感悟數(shù)學思想,積累活動經驗;要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力,增強應用意識和創(chuàng)新意識?!睘榱舜龠M學生深度思考,教師還可以引導他們建立模型,促使他們理解本質、掌握方法,學會數(shù)學地思考。而引導建立模型,要讓學生經歷從模仿到創(chuàng)造的循序漸進、先立再破、不斷提升的過程。

        例如,教學蘇教版小學數(shù)學五年級上冊《釘子板上的多邊形》一課,可引導學生通過觀察、操作、推理、計算,不斷地尋找關系、發(fā)現(xiàn)規(guī)律,建立不同層次的模型:

        首先,引入圖形面積計算的常規(guī)方法后,出示圖1和表1,提出問題:下面多邊形的面積各是多少平方厘米?每個多邊形邊上的釘子各有多少枚?先數(shù)一數(shù)、算一算,將結果填入表格中,再與同學說說你的想法。學生探究后發(fā)現(xiàn):這些多邊形邊上的釘子數(shù)越多,面積就越大;這些多邊形面積的數(shù)值(平方厘米)是邊上釘子數(shù)的一半;這些圖形還有一個共同的特點,就是內部都只有1枚釘子。進一步地,學生總結出多邊形內部只有1枚釘子時,它的面積(數(shù)值)與邊上的釘子數(shù)的關系:多邊形的面積=邊上的釘子數(shù)÷2——用n表示多邊形邊上的釘子數(shù),用S表示多邊形的面積(數(shù)值),那么S=n÷2。由此,建立知識上最初級的模型。

        在此基礎上,繼續(xù)提出問題:(1)研究到這里,你能想到什么?(2)如果多邊形的內部有2枚、3枚、4枚……a枚釘子,會有什么樣的規(guī)律呢?(3)如果多邊形的內部沒有釘子呢?通過探究,學生逐漸發(fā)現(xiàn)并總結出其中的規(guī)律:設a為多邊形內部的釘子數(shù),則a=2時,S=n÷2+1,a=3時,S=n÷2+2,a=4時,S=n÷2+3,a=5時, S=n÷2+4,a=0時,S=n÷2-1——用一個公式概括就是S=n÷2+a-1,即皮克定理。由此,建立知識上更高級的模型。

        然后,提出問題:回顧探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程,你有什么體會?通過交流碰撞,學生梳理歸納出:(1)要善于從不同的多邊形中找到它們的相同點;(2)用含有字母的式子表示規(guī)律,簡明易記;(3)探索規(guī)律時,要認真觀察、反復比較,而發(fā)現(xiàn)規(guī)律后,要進行驗證。由此,建立方法上更高級的模型(范式)。這一模型不僅適用于本節(jié)課的探究,而且適用于今后許多數(shù)學知識的學習。

        三、以連環(huán)追問,促進學生深度地思考

        數(shù)學思維需要經過不斷琢磨(反復斟酌、推敲),向更深處漫溯,從而做到精益求精,找到知識理解的適切方法、問題解決的不同策略。為此,要多提“……是什么”“……為什么”“……怎么樣”“如果不……還可以……”等指向深度思考的問題。

        (一)在思維生長點琢磨

        思維的生長點是指可以由此及彼延伸聯(lián)系的思維內容。通常,對已有的知識、問題等預設的生長點,可以這樣引導學生琢磨:(1)新知識是在哪些知識的基礎上產生、發(fā)展的?新知識“新”在哪里?其本質(特點)與用途(優(yōu)點)分別是什么?(2)問題的解決,是從條件出發(fā)順向思考更簡單,還是從問題入手逆向思考更容易?需要列表整理條件,還是畫圖理解題意?需要合情推理,還是精準計算?而對新穎的思路、想法等生成的生長點,可以這樣引導學生琢磨:這一思路或想法新穎在哪里?巧妙在哪里?給了我怎樣的啟迪?

        例如,教學蘇教版小學數(shù)學五年級下冊《分數(shù)的意義》一課,基于“學生在三年級初步認識了分數(shù),知道把一個物體或幾個物體組成的一個整體平均分成幾份,其中的1份或幾份可以用幾分之一或幾分之幾來表示”的學情,可以這樣引領學生琢磨:(1)除了“一個物體或幾個物體組成的一個整體”平均分后可以用分數(shù)表示之外,還有其他情況可以用分數(shù)表示嗎?(2)一個物體、一個計量單位或幾個物體組成的一個整體都可以用什么來表示?稱之為什么?(3)自然數(shù)“1”和單位“1”之間有怎樣的聯(lián)系和區(qū)別?(4)什么是分數(shù)?什么是分數(shù)單位?分數(shù)和整數(shù)之間有怎樣的聯(lián)系和區(qū)別?(5)為什么要學習分數(shù)?由此,學生會對“分數(shù)的意義”有較為充分的理解和深刻的建構。

        (二)在思維困惑點琢磨

        思維的困惑點是指感到困惑不解的思維內容。通常,對學生思維的困惑點,教師可這樣引導學生琢磨:是沒有理解知識,還是不會操作實踐?是不會舉例驗證,還是欠缺邏輯推理?是思維過于機械、僵化,還是鉆進了牛角尖?

        例如,教學蘇教版小學數(shù)學四年級下冊《解決問題的策略——畫圖》一課,通過教材例題“小寧和小春共有72枚郵票,小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚?”的學習,學生初步理解了畫圖能使數(shù)量關系表示得更直觀、更清楚。但是,面對“哥哥和弟弟共有200枚郵票,哥哥給弟弟26枚后兩人的郵票一樣多。哥哥、弟弟原來各有郵票多少枚?”這一變式問題,不少學生誤認為哥哥只比弟弟多26枚郵票,會這樣解題:

        根據(jù)題意畫出圖2。

        因此,弟弟:(200-26)÷2=87(張);哥哥:(200+26)÷2=113(張) 。

        這時,教師可以引導學生琢磨:“哥哥給弟弟26枚后兩人的郵票一樣多”說明了什么?學生經過深入思考,便會明晰:哥哥應該比弟弟多2個26枚郵票,那么,從總數(shù)200中去掉2個26,就得到弟弟原有郵票數(shù)的2倍,再除以2,就得到弟弟原有的郵票數(shù);在總數(shù)200的基礎上添加2個26,就得到哥哥原有郵票數(shù)的2倍,再除以2,就得到哥哥原有的郵票數(shù)。

        在此基礎上,教師可以進一步出示對比問題:“哥哥和弟弟共有200枚郵票,哥哥去掉26枚后兩人的郵票一樣多。哥哥、弟弟原來各有郵票多少枚?”讓學生繼續(xù)琢磨:這兩題在結構上有哪些相同的地方?有哪些不同的地方?在解決思路上又有哪些異同?對我們的數(shù)學學習有什么啟迪?這樣,學生就會有撥云見日、豁然開朗的感覺。

        (三)在思維發(fā)散點琢磨

        思維的發(fā)散點特指可以從不同的角度、向不同的方向發(fā)散聯(lián)系的思維內容。尤其是在解決問題時,教師可以引導學生發(fā)散思考,力求一題多解:除了教材中給出的方法或老師講解的方法之外,是否還有其他的思維路徑和解題方法?而在解決問題后,教師可以引導學生發(fā)散思考:得到的結果能否做進一步推廣?

        例如,教學蘇教版小學數(shù)學四年級上冊《解決問題的策略——列表》一課,解決教材“練習九”第5題(見圖3)時,可以引導學生發(fā)散思考,從不同角度分析數(shù)量關系,找到不同解題思路??蛇@樣提問:(1)“照這樣計算”是什么意思?(2)要求“45分鐘生產多少個”,數(shù)量關系式是什么?(3)要求“生產540個需要多少分鐘”,數(shù)量關系式是什么?(4)如何列式計算這兩問?分別有幾種解題思路與列式方法?分別選用表中的哪一組數(shù)量?為什么可以這樣選擇?由此,使得學生明白解題思路與列式方法的多樣性。對第一問,既可以先求出每分鐘生產零件的個數(shù),即工作效率,再用“工作效率×工作時間(45分鐘)”求出工作總量,也可以先求出45里面有幾個3(或6、9),再用得數(shù)去乘54(或108、162)。對第二問,既可以先求出每分鐘生產零件的個數(shù),即工作效率,再用“工作總量(540個)÷工作效率”求出工作時間,也可以先求出540里面有幾個54(或108),再用它去乘3(或6)。由此,學生的理解會更深入,思考會更靈活。

        (四)在思維聚焦點琢磨

        思維的聚焦點特指思維發(fā)散后可以通過比較進行優(yōu)化的思維內容。其實,數(shù)學思考既追求多樣的角度和方向,以提升靈活性,更追求優(yōu)化(適當乃至最佳)的路徑和方法,以提升深刻性。因此,教師要引導學生對因發(fā)散而產生的思路和想法進行比較、優(yōu)化。

        例如,教學蘇教版小學數(shù)學四年級上冊《解決問題的策略——列表》一課,解決教材“練習九”第5題(見圖3)第二問“生產540個需要多少分鐘?”時,學生通過發(fā)散思維,得到兩種解題思路(見上文),進而得到8種綜合列式方法:(1)540÷(54÷3);(2)540÷(108÷6);(3)540÷(162÷9);(4)540÷(216÷12);(5)540÷54×3;(6)540÷108×6;(7)540÷162×9;(8)540÷216×12。對此,教師可以引導學生聚焦思維,通過比較分析、估算判斷,發(fā)現(xiàn):因為540里面有10個54,所以生產540個零件需要10個3分鐘,即30分鐘。這種思路更加容易理解,這一方法更便于計算。

        參考文獻:

        [1] 鄭毓信.小學數(shù)學教育的理論與實踐——小學數(shù)學教學180例[M].上海:華東師范大學出版社,2017.

        [2] 王永春.小學數(shù)學與數(shù)學思想方法[M].上海:華東師范大學出版社,2014.

        [3] 曹培英.跨越斷層,走出誤區(qū):“數(shù)學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海:上海教育出版社,2017.

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