摘要：表征能力是PISA理念下的數(shù)學(xué)七種基本能力之一，以一次函數(shù)行程問題為例，談圖象的表征，引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)、圖象等直觀表示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律，培養(yǎng)數(shù)學(xué)表征能力。

關(guān)鍵詞：PISA;一次函數(shù);圖象;表征;能力

表征，是PISA測(cè)評(píng)中數(shù)學(xué)七種基本能力之一，旨在解決問題的過程中，使用數(shù)學(xué)工具解釋、翻譯、描述數(shù)學(xué)問題和情境。

人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)P108頁有這樣一道復(fù)習(xí)題：A、B兩地相距25km。甲8：00由A地出發(fā)騎自行車去B地，平均速度為10km/h;乙9：30由A地出發(fā)乘汽車也去B地，平均速度為40km/h。（1）分別寫出兩個(gè)人的行程關(guān)于時(shí)刻的函數(shù)解析式;（2）乙能否在途中超過甲？如果能超過，何時(shí)超過？從反饋來看，學(xué)生不知如何畫函數(shù)圖象，其表征能力欠缺。

一、直觀表征計(jì)時(shí)起點(diǎn)

1.以8：00為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求函數(shù)解析式

第（1）問，設(shè)甲、乙的行程分別為y1km、y2km，時(shí)間為xh。此題的一個(gè)難點(diǎn)之一就是學(xué)生不易確定計(jì)時(shí)起點(diǎn)，當(dāng)教師啟發(fā)學(xué)生確定8：00為計(jì)時(shí)起點(diǎn)0h，那么9：30即為1.5h，學(xué)生易得出：y1=10x（x≥0），y2=40（x-1.5）（x≥1.5），即：y2=40x-60（x≥1.5），其圖象如圖1所示。

甲、乙的速度分別為v1=10km/h、v2=40km/h，即行程y1、y2是關(guān)于時(shí)間x的一次函數(shù)，考慮到圖象繪制的便捷性，盡量使其中一條直線過原點(diǎn)，此時(shí)的一次函數(shù)即為正比例函數(shù)，這樣就需要考慮“哪個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)（x，y）坐標(biāo)為（0，0）”，含義為“當(dāng)時(shí)間x=0時(shí)，行程y=0”，即計(jì)時(shí)開始時(shí)，甲（或乙）正準(zhǔn)備出發(fā)，如圖1。

2.以0：00為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求函數(shù)解析式

雖然以8：00為計(jì)時(shí)起點(diǎn)比較科學(xué)，但是仍有部分學(xué)生習(xí)慣以0：00為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，于是引導(dǎo)學(xué)生思考討論得出：y1=10（x-8）（x≥8），y2=40（x-9.5）（x≥9.5），即：y1=10x-80（x≥8），y2=40x-380（x≥9.5），如圖2。

由于以0：00為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，到了8 h時(shí)，甲才“正準(zhǔn)備出發(fā)”，所以甲的圖象過（8，0）;到了9.5 h時(shí)，乙才“正準(zhǔn)備出發(fā)”，所以乙的圖象過（9.5，0）。由于平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)橫軸和縱軸表示的含義不一樣時(shí)，單位一般是不一樣的，于是橫軸的單位1與縱軸的單位1可以不等長(zhǎng)，于是可以在橫軸上運(yùn)用“壓縮軸”符號(hào)“”表示如圖2所示的橫軸上0～8部分。

3.以9：30為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求函數(shù)解析式

學(xué)生提問：可否以乙的出發(fā)時(shí)間9：30為計(jì)時(shí)起點(diǎn)呢？學(xué)生經(jīng)過分析求得：y1=10×1.5+10x（x≥0），y2=40x（x≥0），即：y1=10x+15（x≥0），y2=40x（x≥0），其圖象如圖3所示。

二、抽象表征計(jì)時(shí)起點(diǎn)

1.從計(jì)時(shí)以m時(shí)為起點(diǎn)來分析

①當(dāng)0≤m≤8時(shí)，y1=10[x-（8-m）]（x≥8-m），y2=40[x-（9.5-m）]（x≥9.5-m），即：y1=10x+10m-80（x≥8-m），y2=40x+40m-380（x≥9.5-m）。

②當(dāng)8

③當(dāng)m≥9.5時(shí)，y1=10×（m-8）+10x（x≥0），y2=40×（m-9.5）+40x（x≥0），即y1=10x+10m-80（x≥0），y2=40x+40m-380（x≥0）。

綜上，y1=10x+10m-80，y2=40x+40m-380。

2.從函數(shù)圖象平移來分析

圖1中的函數(shù)圖象向右平移p個(gè)單位后得：y1=10（x-p），y2=40（x-p）-60。

①當(dāng)p=0時(shí)，表示圖象未平移，即計(jì)時(shí)起點(diǎn)為8：00。

②當(dāng)p>0時(shí)，表示圖象向右平移p個(gè)單位，即計(jì)時(shí)起點(diǎn)為8：00以前p小時(shí)。

③當(dāng)p<0時(shí)，表示圖象向左平移p個(gè)單位，即計(jì)時(shí)起點(diǎn)為8：00以后p小時(shí)。

上述三種情況，兩條直線相交于點(diǎn)（p+2，20），即當(dāng)時(shí)間為（p+2） h時(shí)，乙趕上并開始超過甲，此時(shí)行程為20 km，第（2）問得解。

三、“四步法”表征圖象

圖象是表征函數(shù)關(guān)系的有效工具。第一步是繪制橫軸、縱軸，并明確其含義、字母、單位;第二步，標(biāo)出橫縱軸的特殊刻度，比如橫軸上，以8：00為起點(diǎn)0，那么9：30記為1.5;第三步，確定圖象的特殊點(diǎn)：起點(diǎn)、終點(diǎn)、最低點(diǎn)、最高點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、交點(diǎn)等;第四步，描點(diǎn)、連線及確定分段的解析式。

基于PISA的數(shù)學(xué)問題是對(duì)實(shí)際問題的抽象概括和表征，學(xué)生在理解具體問題時(shí)可以借助一定的數(shù)學(xué)工具、手段、方式直觀表征數(shù)量、圖象關(guān)系。數(shù)學(xué)表征能力的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生解碼文本，理解題干的含義，用直觀的符號(hào)、圖形語言轉(zhuǎn)換并表達(dá)出數(shù)學(xué)問題情境，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)起著關(guān)鍵作用。

作者簡(jiǎn)介：

高小軍，高級(jí)教師，西南大學(xué)國(guó)培計(jì)劃項(xiàng)目培訓(xùn)教師，貴州省教育智庫專家成員、省名師工作室成員，遵義市教學(xué)名師、骨干教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

基金項(xiàng)目：

貴州省基礎(chǔ)教育科研重點(diǎn)課題（2016A005）基于PISA測(cè)評(píng)三角的初中數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)模式研究。