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        關(guān)于《高等數(shù)學(xué)》幾個(gè)教學(xué)內(nèi)容的處理

        2020-07-23 06:16:48吳彥強(qiáng)
        科技風(fēng) 2020年19期
        關(guān)鍵詞:微分方程高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)

        摘 要: 針對(duì)《高等數(shù)學(xué)》中數(shù)列極限、隱函數(shù)方程組求導(dǎo)和微分方程特解的求法分別進(jìn)行了分析,在此基礎(chǔ)上提出了三個(gè)新的解決問(wèn)題的方法。

        關(guān)鍵詞: 數(shù)列極限;隱函數(shù);微分方程;特解;導(dǎo)數(shù)

        如何對(duì)學(xué)生進(jìn)行更好的教育,這是我們所有教育工作者以及社會(huì)各界人士共同的責(zé)任和義務(wù),更是我們孜孜不倦的追求和目標(biāo),所以在教學(xué)中,要不斷地進(jìn)行相應(yīng)的改進(jìn),以便能對(duì)學(xué)生進(jìn)行更好的教育,決不能僅僅教授書(shū)本上的知識(shí),要把知識(shí)給同學(xué)們產(chǎn)生一個(gè)系統(tǒng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)穆?lián)系。另外,《高等數(shù)學(xué)》是大學(xué)工科各專(zhuān)業(yè)非常重要的一門(mén)基礎(chǔ)課,是學(xué)習(xí)其他課程的重要基礎(chǔ),同時(shí)也是新生學(xué)習(xí)難度比較大的課程。在如何提高《高等數(shù)學(xué)》的教學(xué)質(zhì)量這個(gè)問(wèn)題上,我們也一直在不斷地努力探索和鉆研。所以,在實(shí)際教學(xué)中,我們注重不斷改進(jìn)教學(xué)方法和教學(xué)內(nèi)容的處理,在這些方面,很多教師給我們做出了表率和帶頭作用。我們?cè)趯W(xué)習(xí)優(yōu)秀教師教學(xué)手段的基礎(chǔ)上,也取得了一定的進(jìn)步,同時(shí)在教學(xué)中,也有了自己的一點(diǎn)心得。下面就是我們的一點(diǎn)教學(xué)體會(huì),我從三個(gè)方面進(jìn)行說(shuō)明。

        在《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)中,講到收斂數(shù)列的有界性時(shí),我們不妨把數(shù)列有界的定義放在數(shù)列的概念講完之后就進(jìn)行解釋?zhuān)覀冎罃?shù)列是一種特殊的以自然數(shù)為自變量的函數(shù),即它的定義域是全體自然數(shù),先看一下函數(shù)有界的概念:

        定義1:稱(chēng)函數(shù)f(x)有界,若x∈D,都有 f(x)

        那么按照函數(shù)的概念,很自然地得到了數(shù)列有界的定義。

        定義2:稱(chēng)數(shù)列 an 有界,若n∈N,都有 an

        接著,我們可以得到下面的推論:

        推論:如果N0,當(dāng)n>N0時(shí),有 an

        這樣一來(lái),到后面我們用收斂數(shù)列的定義證明其有界性時(shí), 就很自然用到了上面的推論,lim n→

        SymboleB@? an=A對(duì)于ε=1,N0>0,當(dāng)n>N0時(shí),有 an-A <1。

        即 an < A +1(其中A是數(shù)列 an 的極限,即為某一常數(shù))

        根據(jù)上面的推論,自然知道數(shù)列 an 有界。

        結(jié)果可以說(shuō)是很自然的,同學(xué)們也很容易接受。

        在這里,我們把教學(xué)的難點(diǎn)進(jìn)行了分開(kāi)講解,降低了教學(xué)的難度。

        在下冊(cè)中,講到隱函數(shù)方程組求導(dǎo)時(shí),也是一個(gè)難點(diǎn),我們主要教給學(xué)生如何判別變量的類(lèi)型,這種方法主要是分清楚變量的兩種類(lèi)型,即因變量、自變量。這樣才能以不變應(yīng)萬(wàn)變,做任何題目才能胸有成竹,下面我們舉兩個(gè)例子進(jìn)行解釋。

        例1: x+y+z=0

        x2+y2+z2=1 , 求 dx dz

        解:[分析:從題目所求的導(dǎo)數(shù)知道,原方程組的三個(gè)變量中,x是因變量,z是自變量,由于兩個(gè)方程組成的方程組可以求解出兩個(gè)變量,可知變量y也是因變量,即變量x,y分別是z的一元函數(shù)。

        方程組兩邊對(duì)變量z求導(dǎo),得:

        dx dz + dy dz +1=0

        2x dx dz +2y dx dz +2z=0

        求解方程組得到,? dx dz = y-z x-y

        dy dz = z-x x-y

        例2:設(shè)y=f(x,t),而t是由方程F(x,y,t)=0所確定的x,y的函數(shù),其中f,F(xiàn)都具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),試證明:

        dy dx =? f x? F t - f t? F x? ?f t? F y + F t

        解:[分析:這是教材上比較難的一個(gè)題目,但我們只要分清楚變量的類(lèi)型,就很容易解決,從要證明的結(jié)論知道變量y是變量x的一元函數(shù),從而在方程組 y=f(x,t)

        F(x,y,t)=0 中,變量t也是x的一元函數(shù),這樣一來(lái),這題和上面的例1解法就一樣了,只是例2是抽象函數(shù),而例1是一個(gè)具體的函數(shù)而已。]

        對(duì)方程組 y=f(x,t)

        F(x,y,t)=0 兩邊對(duì)變量x求導(dǎo),得:

        dy dx = f x + f t? dt dx

        F x + F y? dy dx + F t? dt dx =0

        求解上式可解出 dy dx =? f x? F t - f t? F x? ?f t? F y + F t? ,證明完畢。

        下面是關(guān)于《高等數(shù)學(xué)》(見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1])第七章第八節(jié)一個(gè)教學(xué)內(nèi)容的處理:

        在這節(jié)的教學(xué)中,我們給學(xué)生講解針對(duì)不同的非齊次項(xiàng),如何求出特解的形式,然后代入原來(lái)的微分方程,從而求出特解的具體表達(dá)式。我們?cè)诮虒W(xué)中大都告訴學(xué)生,對(duì)于第一種情形,我們可以?xún)H僅代入特解中的多項(xiàng)式函數(shù),不用代入整個(gè)函數(shù),這是因?yàn)槲覀冊(cè)谧C明特解的形式時(shí),就已經(jīng)得到了如下的結(jié)論:

        Q″+(2λ+p)Q′+(λ2+pλ+q)Q=Pn(x)eλx

        其中λ,Pn(x),eλx(見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1])。

        顯然,我們這樣計(jì)算非常簡(jiǎn)便。那么,第二種特解形式有沒(méi)有同樣的簡(jiǎn)便過(guò)程呢?教材上沒(méi)有對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行講解。從而導(dǎo)致在學(xué)習(xí)這段內(nèi)容的時(shí)候,很多同學(xué)只能把兩種類(lèi)型分開(kāi)去學(xué)習(xí),產(chǎn)生了一些困難。由于第二種類(lèi)型更加難于理解,也使得一些同學(xué)產(chǎn)生了厭學(xué)情緒。其實(shí)這個(gè)問(wèn)題我們可以和第一種特解形式一樣的處理。

        下面我們就推導(dǎo)這一過(guò)程。

        設(shè)y*(x)=eλx(R1(x)coswx+R2(x)sinwx),代入y″+py′+q,得:

        R1″(x)+(2λ+p)R1′+(λ2+pλ+q-w2)R1+2wR2′+(2λw+pw)R2=Pl(x)? ?(1)

        R2″(x)+(2λ+p)R2′+(λ2+pλ+q-w2)R2-2wR1′-(2λw+pw)R1=Pm(x)? ?(2)

        下面我們合并(1)+i(2),得:

        R1″(x)+(2(λ-iw)+p)R1′+((λ-iw)2+p(λ-iw)+q)R1+i[R2″(x)+(2(λ-iw)+p)R2′+((λ-iw)2+p(λ-iw)+q)R2]

        =Pl(x)+iQn(x) (3)

        兩端實(shí)部、虛部分別對(duì)應(yīng),即可得到(1)和(2)式。

        這樣,我們就把非齊次項(xiàng)兩種類(lèi)型統(tǒng)一的用一種簡(jiǎn)便的形式進(jìn)行求解,這在具體求解時(shí)非常的方便,下面我們例說(shuō)明:

        例3見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1]:求微分方程y″-y=excos2x的一個(gè)特解。

        解:特征方程為r2-1=0,所以λ-iw=1-2i不是特征方程的根,從而設(shè)特解為y*(x)=ex(acos2x+bsin2x),代入(3)式,得:

        ((1-i2)2-1)a+i[((1-i2)2-1)b]=1+i0

        即(-4-4i)a+i[(-4-4i)b]=1+i0,從而 -4a+4b=1

        -4a-4b=0 ,從而 a=- 1 8

        b= 1 8? 。

        因此所給方程的一個(gè)特解為y*(x)= 1 8 ex(-cos2x+sin2x)。

        注:我們可以和書(shū)本[1]上的解法進(jìn)行比較,可知我們的解法簡(jiǎn)便。為了簡(jiǎn)潔,在此省略書(shū)本[1]上的解題過(guò)程。

        眾所周知,處理好教學(xué)內(nèi)容對(duì)于教學(xué)質(zhì)量的提高有很大的幫助,當(dāng)然對(duì)于我們教師的教學(xué)工作也有很大的促進(jìn)作用,能夠使得我們教師對(duì)教材有更深的理解和掌握。這樣,我們?cè)诮虒W(xué)中才能駕熟就輕,游刃有余,才能保證教給同學(xué)一滴水,自己要有一桶水的要求。

        參考文獻(xiàn):

        [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系,高等數(shù)學(xué)(第七版)[M].高等教育出版社,2014.

        作者簡(jiǎn)介: 吳彥強(qiáng)(1976—),男,漢族,江蘇徐州,博士,副教授,研究方向:非線(xiàn)性分析。

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