吳限　劉素紅

摘要：數(shù)學(xué)是一門(mén)研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，幾何在數(shù)學(xué)學(xué)科中占有重要地位，全等三角形是整個(gè)初中階段“圖形與幾何”的重點(diǎn)。筆者以人教版與北師版初中數(shù)學(xué)教材中的“全等三角形”為例，對(duì)兩版教材全等三角形及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的編排順序、知識(shí)點(diǎn)差異等方面進(jìn)行比較研究，旨在探索兩版教材的相似之處與不同點(diǎn)，并基于此對(duì)教師“全等三角形”教學(xué)及利用教材教學(xué)提供建議。

關(guān)鍵詞：人教版;北師版;全等三角形;比較研究

一、 前言

教材是教學(xué)與學(xué)習(xí)中最核心也是最基本的資料，是教育工作者及研究者智慧的結(jié)晶。它具備一個(gè)完整的知識(shí)體系，且在教學(xué)資料上具有很強(qiáng)的權(quán)威性?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》初中學(xué)段劃分為四大領(lǐng)域：“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”與“綜合與實(shí)踐”。其中“圖形與幾何”中的“三角形”系列知識(shí)占了14條，是這一板塊中最多的。由此可見(jiàn)，“三角形”在初中學(xué)段的地位很高，其重要性不言而喻。同時(shí)，“三角形”中的“全等三角形”是學(xué)生首次接觸幾何邏輯證明的內(nèi)容，是幾何證明的敲門(mén)磚，也是之后學(xué)習(xí)四邊形、圓以及空間幾何證明的基本工具。兩版教材是如何編排“全等三角形”相關(guān)知識(shí)，有關(guān)的證明以何種邏輯順序、結(jié)構(gòu)體現(xiàn)，教師應(yīng)如何依據(jù)教材合理安排這一部分知識(shí)點(diǎn)的講解順序等問(wèn)題都值得研究。

二、 兩版相關(guān)知識(shí)點(diǎn)編排比較

三、 兩版教材編排意圖分析

（一）人教版

人教版講解全等三角形相關(guān)知識(shí)前，在前章即第十一章已闡述了三角形按邊的相等關(guān)系分類(lèi)、高線(xiàn)、中線(xiàn)與角平分線(xiàn)、三角形的內(nèi)角和外角。課本習(xí)題中涉及少量的證明題，主要以解答題、計(jì)算角的度數(shù)為主。第十二章名稱(chēng)為“全等三角形”，表明人教版將全等三角形不僅作為某一節(jié)的內(nèi)容呈現(xiàn)。首先，第一節(jié)以?xún)H占一頁(yè)三分之二的版面對(duì)全等形下了定義，順理成章引出全等三角形的相關(guān)概念和性質(zhì)。第二節(jié)則講解三角形全等的判定，以第一節(jié)全等三角形的性質(zhì)為引入，結(jié)合畫(huà)圖，探究判定兩個(gè)三角形全等的條件，按照出現(xiàn)的順序分別為SSS、SAS、ASA、AAS及HL，這一節(jié)的習(xí)題均與利用全等三角形的判定證明有關(guān)。第三節(jié)標(biāo)題為“角的平分線(xiàn)的性質(zhì)”，通過(guò)作圖與思考得出角平分線(xiàn)性質(zhì)的猜想，并利用全等三角形證明這一幾何命題及相關(guān)命題，這一節(jié)的習(xí)題主要是圍繞角平分線(xiàn)與全等三角形的證明題展開(kāi)。第十三章軸對(duì)稱(chēng)的第一節(jié)涉及線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，并利用判定兩個(gè)三角形全等的方法證明該性質(zhì)。一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸與線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)有密切的關(guān)系，人教版將垂直平分線(xiàn)歸入軸對(duì)稱(chēng)內(nèi)容的一部分非常合理，并根據(jù)前章學(xué)習(xí)過(guò)的全等三角形對(duì)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)加以證明，很好地讓學(xué)生將舊知與新知聯(lián)系起來(lái)。第三節(jié)是利用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)研究等腰三角形的性質(zhì)，用判定三角形全等的方法證明了等腰三角形等邊對(duì)等角、三線(xiàn)合一、等角對(duì)等邊的性質(zhì)。

整體看下來(lái)，人教版將與三角形有關(guān)的內(nèi)容全部放在了八年級(jí)上冊(cè)，并且將與三角形證明有關(guān)的角平分線(xiàn)、垂直平分線(xiàn)與等腰三角形融入不同章節(jié)。

（二）北師版

北師版不同于人教版，并未將三角形相關(guān)內(nèi)容放在同一冊(cè)書(shū)，而是分布在三冊(cè)書(shū)中。其中，七年級(jí)下冊(cè)第四章第一節(jié)和人教第十一章非常相似，講解了三角形基本知識(shí)和分類(lèi)、中線(xiàn)與高線(xiàn)。不同的是，其并沒(méi)有講解角平分線(xiàn)，三角形的內(nèi)角和外角也沒(méi)有涉及。在第二節(jié)專(zhuān)門(mén)講解圖形的全等，并引出全等三角形的概念，這部分內(nèi)容人教版也放在一整節(jié)內(nèi)容進(jìn)行講解。第三節(jié)是探索三角形全等的條件，直接通過(guò)畫(huà)全等三角形引入，根據(jù)作圖與討論分別得出SSS、ASA、AAS及SAS判定兩個(gè)三角形全等的條件，并沒(méi)涉及HL，將其放在了八年級(jí)下冊(cè)三角形的證明中。值得一提的是，北師大在本章的第四節(jié)和第五節(jié)專(zhuān)門(mén)進(jìn)行了尺規(guī)作三角形和利用三角形全等測(cè)距離講解，有一定的特色。在人教版在第十一章三角形講解完后，直接進(jìn)行全等三角形的講解，并在第三節(jié)專(zhuān)門(mén)提到角平分線(xiàn)。北師版則是通過(guò)七下第五章軸對(duì)稱(chēng)銜接第四章三角形，在第二節(jié)探索軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)中第一次為垂直平分線(xiàn)進(jìn)行鋪墊，并在第三節(jié)著重講解等腰三角形三線(xiàn)合一，對(duì)垂直平分線(xiàn)下定義及角平分線(xiàn)的性質(zhì)。至此，并沒(méi)有涉及有關(guān)三角形的證明，而是在八年級(jí)下冊(cè)第一章進(jìn)行講解。與之前所學(xué)的相關(guān)概念隔了整整兩個(gè)學(xué)期。同時(shí)，在八年級(jí)上冊(cè)進(jìn)行了勾股定理和三角形內(nèi)角和定理的講解，這與人教版也有很大的不同。人教版直接在第十一章就已經(jīng)講解了三角形內(nèi)角和定理，而北師版將這一定理歸在了平行線(xiàn)相關(guān)知識(shí)下。且人教版在三角形、全等三角形、軸對(duì)稱(chēng)、三角形相關(guān)證明后，在八年級(jí)下冊(cè)進(jìn)行勾股定理講解。北師版則將勾股定理放在了三角形、全等三角形、軸對(duì)稱(chēng)和三角形證明的中間部分，圖1和圖2可以直觀(guān)體現(xiàn)。

整體看下來(lái)，北師版不像人教版將三角形相關(guān)內(nèi)容放在同一冊(cè)書(shū)，而是分布在三冊(cè)書(shū)中。而且其編排順序和人教版有明顯差異，相同知識(shí)點(diǎn)的呈現(xiàn)方式、重復(fù)率也不同。

圖1人教版編排體系

圖2北師版編排體系

四、 對(duì)教師教學(xué)建議

上述對(duì)人教版和北師大版關(guān)于“全等三角形”相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的編排、內(nèi)容分布等進(jìn)行了比較。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，兩版教材有相似之處，但也存在非常明顯的差異。如：人教版將與全等三角形相關(guān)的大部分內(nèi)容放在一學(xué)期進(jìn)行講解，北師版則是分散在三個(gè)學(xué)期進(jìn)行;兩版教材判定三角形全等的條件出現(xiàn)順序不同;人教版將三角形證明融入三部分內(nèi)容，而北師版將其系統(tǒng)的放在了一章。

將知識(shí)點(diǎn)分布在三個(gè)學(xué)期或是兩個(gè)學(xué)期并不值得深究。因?yàn)椋瑪?shù)學(xué)學(xué)科最大的特點(diǎn)就是不靠生硬的熟記概念和定理，且其難度是螺旋上升。故學(xué)生并不會(huì)因時(shí)隔一學(xué)年就忘記之前學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單知識(shí)點(diǎn)。然而，判定全等三角形的條件共有五個(gè)，最特別的是HL。人教版將五個(gè)條件放在同一節(jié)，北師版將HL放在八年級(jí)下冊(cè)，與其他四個(gè)判定全等的條件相差了兩個(gè)學(xué)期。這一安排是否合理，作為教師并不能輕易下結(jié)論。北師版HL定理的得出借助了勾股定理，因此勾股定理必然需要在其之前講解，有了勾股定理的插入，知識(shí)點(diǎn)的編排順序就需要重新考慮。人教版HL定理的得出并未借助證明，而是直接由探究活動(dòng)得出。因此，人教版便將勾股定理單獨(dú)放在八下講解。知識(shí)點(diǎn)環(huán)環(huán)相扣，呈現(xiàn)方式教材也有差異，教師在備課時(shí)不僅應(yīng)考慮某一學(xué)期、某一章節(jié)的內(nèi)容，更應(yīng)放眼整個(gè)大的知識(shí)體系。從宏觀(guān)和微觀(guān)兩個(gè)角度出發(fā)，合理安排知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)順序，并且及時(shí)總結(jié)歸納以更好讓學(xué)生將新知舊知聯(lián)系起來(lái)。

若教師使用的教材是人教版，那么教師可以在十三章軸對(duì)稱(chēng)講解完垂直平分線(xiàn)性質(zhì)和等腰三角形相關(guān)證明后，對(duì)上一章涉及的角平分線(xiàn)性質(zhì)及直角三角形的證明再次提出，將這四個(gè)證明歸屬于三角形的證明中。這樣便與北師版八下第一章不謀而合，且學(xué)生對(duì)三角形的證明更加深刻系統(tǒng)。同時(shí)，在八下勾股定理講解完后，教師可以和學(xué)生共同思考是否可以借助勾股定理得到HL判定全等的定理，因?yàn)橹岸ɡ淼牡贸鰞H是通過(guò)探究，沒(méi)有經(jīng)歷嚴(yán)格的證明。

若教師使用的教材是北師版，那么教師可在全等三角形條件中先向?qū)W生講解HL判定定理，這樣便可完整的讓學(xué)生掌握所有的判定定理。同時(shí)利用判定全等三角形的條件，適當(dāng)講解有關(guān)等腰三角形、垂直平分線(xiàn)與角平分線(xiàn)的性質(zhì)證明?？傊?，全等三角形是學(xué)生初次規(guī)范接觸嚴(yán)密的推理證明，教師應(yīng)給予學(xué)生盡可能多的探索，注重培養(yǎng)“四基”與“四能”，絕不可照搬教材的講解模式。

五、 總結(jié)

教師教學(xué)，教材當(dāng)然是第一重要的。然而，教材是固定的，教師卻是靈活的，學(xué)生是活潑的，課堂是生動(dòng)的。新時(shí)代的教師不只是教書(shū)者，更是教育教學(xué)的研究者。教師的教學(xué)內(nèi)容不應(yīng)一味跟著教材走，應(yīng)該結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)校教研活動(dòng)、學(xué)生學(xué)情等多方面綜合考慮，制定一套合理動(dòng)態(tài)的教學(xué)內(nèi)容，并在實(shí)施過(guò)程中不斷改進(jìn)。

教師是教學(xué)的靈魂，教師應(yīng)從“教教材”上升為“用教材教”的境界，活用教材。教師教什么，教材中已經(jīng)有所體現(xiàn)，但如何教卻不能由教學(xué)知識(shí)規(guī)定?！盎罱獭钡慕處煾芙坛觥盎顚W(xué)”的學(xué)生。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]李勝蘭.初中“全等三角形”內(nèi)容設(shè)置變遷之研究（1951～2013年）[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2019.

作者簡(jiǎn)介：

吳限，劉素紅，陜西省寶雞市，寶雞文理學(xué)院。