胡漢生

摘要：通過挖掘教材中例習(xí)題的潛在價值，不但可以把彼此孤立的知識串聯(lián)成線，融會貫穿，而且可以優(yōu)化學(xué)生的解題方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展。在最短路徑問題中滲透了轉(zhuǎn)化思想，如果學(xué)生一旦掌握數(shù)學(xué)思想方法，就能舉一反三，觸類旁通，有效培養(yǎng)學(xué)生解題遷移能力。

關(guān)鍵詞：最短路徑;? 轉(zhuǎn)化思想;? 解題遷移;? 思維發(fā)展

如何上好九年級復(fù)習(xí)課，提高中考備考效率，歷來是每位畢業(yè)班教師最為關(guān)注的問題?？v觀近年全國各地中考試題，雖說千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，其宗旨就是：研讀課標(biāo)，挖掘教材。簡單來說，研讀課標(biāo)即研讀教育部頒發(fā)的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，挖掘教材則是有效地開發(fā)和利用教材資源。2020年是用課標(biāo)作為命題依據(jù)的第一年，所以要加強現(xiàn)行教材內(nèi)容的研究。通過挖掘教材中例習(xí)題的潛在價值，不但可以把彼此孤立的知識串聯(lián)成線，融會貫穿，而且可以優(yōu)化學(xué)生的解題方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展。

例如，《北師大版義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（七年級下冊）第123頁有這樣一道習(xí)題：

如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使A，B到它的距離之和最短？

??? ?

這是一道最短路徑問題，基本思路是運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長。具體如解法圖形所示：作點A（居民區(qū)A）關(guān)于直線l（街道）的對稱點A′，連接A′B交直線l于點M，則點M即為所求點。最短路徑問題是當(dāng)今中考的熱點題型，通常會以三角形、四邊形、圓、函數(shù)、立體圖形等為背景，重在考查學(xué)生對知識的遷移能力。

無獨有偶，最短路徑問題還出現(xiàn)在《人教版義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（八年級上冊）第85頁的課題學(xué)習(xí)中。本文結(jié)合近幾年全國各地中考試題，就最短路徑問題究其本質(zhì)，分類整理，探索解決此類問題的具體備考策略。

1? 以三角形為背景

例1如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是AC邊上一點，若AE=3，EM+CM的最小值為（??? ）

A. 4???????? ??????????????????B.

C.D. 3

分析：要求EM+CM最小值，首先應(yīng)分析點M位置。根據(jù)等邊三角形“三線合一”的性質(zhì)易知，點C的對稱點是點B，連接BE交AD于M，此時EM+CM最小值即是BE的長.

解答：如圖，連接BE.

∵點B和點C關(guān)于直線AD對稱，∴MB=MC，

∴BE就是EM+CM的最小值.

∵等邊△ABC的邊長為6，AE=3，∴CE=3

∴，∴EM+CM的最小值為3.

點評：本題考查的是最短路徑問題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵.

2? 以四邊形為背景

2.1? 正方形

例2已知：如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為（）

A.8

B.10

C.11

D.12

分析：要使DN+MN最小，首先應(yīng)分析點N的位置。根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分易知，點D的對稱點是點B，連接MB交AC于點N，此時DN+MN最小值即是BM的長.

解答：如圖，連接BM.

∵點B和點D關(guān)于直線AC對稱，∴NB=ND

∴BM就是DN+MN的最小值

∵正方形ABCD的邊長是8，DM=2，∴CM=6

∴，∴DN+MN的最小值是10.

點評：解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，因DN、MN不能直接求，故考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化DN、MN的值，從而求出其最小值.

3? 以圓為背景

例5如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，點M在⊙O上，∠MAB=30°，N是弧MB的中點，P是直徑AB上的一動點，則PM+PN的最小值為（??? ）

A.3???????????? B.3

C.6???????????? D.6

分析：要求PM+PN的最小值，可作點N關(guān)于AB的對稱點N′，連接MN′交AB于點P′，由“兩點之間，線段最短”易知，點P′即為PM+PN最小時的位置.

解答：如圖，作點N關(guān)于AB的對稱點N′，連接MN′交AB于點P′，點P′即為PM+PN最小時的點P的位置，連接OM，ON，ON′，MN′.

∵N是弧MB的中點，∴∠MAB=∠NOB=∠MON=30°，

∴∠MON′=90°，∴△MON′為直角三角形.

∵AB=6，∴ON′=OM=3.根據(jù)勾股定理可得MN′=3，

即PM+PN的最小值為3.

點評：本題主要考查軸對稱——最短路徑問題，直角三角形的性質(zhì)等，確定點P的位置是解題的關(guān)鍵.

參考文獻(xiàn)：

[1]馬復(fù).北師大版義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（七年級下冊）：北京師范大學(xué)出版社，2017：123.

[2]高峰.2020年廣東中考高分突破：世界圖書出版公司，2019，181.

[3]武澤濤.萬唯中考試題研究：新疆青少年出版社，2019：183-184.