李華燦 李群芳 李師煜

摘要：初等行變換是線性代數(shù)的核心應(yīng)用工具。文中從行列式的計(jì)算、求向量組線性相關(guān)性以及求解線性方程組等三個方面來淺談初等行變換的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：初等行變換;行列式;線性相關(guān);消元法

線性代數(shù)[1]是大學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要組成部分，其主要目的是為了解線性方程，所用的工具有行列式、矩陣、向量，其中最重要的方法是利用初等行變換。本文將對初等行變換的應(yīng)用總結(jié)如下：

一、在行列式中利用初等行變換將行列式化為上三角行列式

行列式，又稱n階行列式，由n行n列個元素組成，其值等于所有不同行不同列元素乘積的代數(shù)和。在行列式的計(jì)算中，常利用行列式的性質(zhì)特別是行列式的初等行變換將行列式轉(zhuǎn)化為上三角或下三角行列式，從而得出行列式的值。

例1 僅利用初等行變換計(jì)算下列行列式。

二、在求向量組線性相關(guān)性判別中的應(yīng)用

求一個向量組的最大無關(guān)組[2，3]的方法由多種，如利用定義法：設(shè)詞向量組的一個線性組合為零向量，證明是否存在非零的系數(shù);利用行列式，若此向量組是由n個n維向量組成的向量組，可以由這n個n維向量構(gòu)成一個行列式n階行列式D，若D不等0，則此向量組線性無關(guān);還可以利用矩陣的初等行變換，其步驟為將向量組中的向量作為矩陣A的列向量，然后對矩陣進(jìn)行初等行變換，將此矩陣化為行階梯形矩陣，若行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)和向量的個數(shù)相同，則此向量組線性無關(guān)，反之線性相關(guān)，進(jìn)一步地可由此確定向量組的最大無關(guān)組。

三、在求線性方程組的通解中的應(yīng)用

線性方程組[4，5]的求解是線性代數(shù)中重要的知識點(diǎn)，毫不客氣地說，線性代數(shù)就是為解線性方程組而產(chǎn)生的學(xué)科。其求解方法主要含以下幾種：（1）利用克萊姆法則。若方程組的系數(shù)行列式D不等于0，則方程組的解唯一，且有，其中是用常數(shù)項(xiàng)替代系數(shù)行列式的第列得到的行列式;若方程組的系數(shù)行列式D等于0，則此時不能用克萊姆法則來解。（2）利用消元法。其方法將方程組中的未知數(shù)逐步消元，從而得到方程組的解。（3）利用初等行變換。其方法是利用初等行變換將方程組的增廣矩陣化為行最簡形，從而得到方程組的同解方程組，由此得到方程組的通解。

參考文獻(xiàn)

[1]范麗君，吳闊華. 關(guān)于普通工科院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)建設(shè)的幾點(diǎn)思考[J]. 江西理工大學(xué)學(xué)報， 2007（5）.

[2]孟靖華. 兩個群可逆矩陣線性組合的群逆[J].?蘭州文理學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2014（01）.

[3]任馳遠(yuǎn)，田欣.??探討可逆矩陣教學(xué)設(shè)計(jì)的思路[J].?課程教育研究.?2017（04）.

[4]吳世玕，杜紅霞.?線性方程組Ax=b的反問題[J]. 江西理工大學(xué)學(xué)報.?2006（01）.

[5]吳世玕，杜紅霞.??關(guān)于線性方程組的一個注記[J].?江西理工大學(xué)學(xué)報.?2007（01）.