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        常見行列式解法探析

        2020-11-02 08:34:10張夢琇許梅蘭
        科教導刊·電子版 2020年25期
        關鍵詞:行列式歸納法三階

        張夢琇* 許梅蘭

        ([1]石河子大學理學院 新疆·石河子 832000;[2]烏魯木齊市第八十七中 新疆·烏魯木齊 830000)

        0 前言

        行列式是線性代數(shù)研究方程組的工具。求解行列式的值是解決方程組解的關鍵,在研究低階行列式時,常用行列式的性質(zhì)與展開式定理求解行列式的值;對于高階的行列式,往往觀察行列式的特點,根據(jù)該行列式的特點選擇適當?shù)姆椒?,才是解決高階行列式的關鍵。本文主要研究對于同一道行列式的習題,采用不同的方法求解行列式,并總結不同方法的優(yōu)劣性。

        1 習題解答

        1.1 三階行列式

        分析:觀察這個三階行列式,會發(fā)現(xiàn)該行列式主對角線的元素均為,其余元素全為1,根據(jù)這個三階行列式的特點,下面從加邊法、拆分法、利用性質(zhì)化簡以及利用方陣特征值求解行列式的值。

        解:

        (1)加邊法:

        加邊法的本質(zhì)是逆用展開式定理,增加一行、一列元素使得前后兩個行列式的值相等,利用行列式的性質(zhì)將行列式化簡成上三角行列式。其優(yōu)點為:增加一行、一列元素,使得行列式的化簡變得簡單。

        (2)拆分法:

        拆分法主要是利用行列式的性質(zhì),行列式的某一行(或某一列)均是兩個元素的和,這個行列式可以展開成兩個行列式的和。根據(jù)行列式的特點,將行列式一分為二。其優(yōu)點為:將復雜的行列式的求解過程,利用性質(zhì)轉成兩個較簡單的行列式的求解過程。

        (3)利用性質(zhì)進行化簡:

        利用行列式的性質(zhì)化簡行列式,主要是將行列式化成含0較多的等值行列式。這種方法適用于所有的三階行列式的求解過程。

        (4)利用矩陣的特征值求行列式的值:

        利用方陣與行列式的關系,通過研究方陣的特征值,求解對應行列式的值。

        1.2 n階行列式

        分析:觀察這個n階行列式,會發(fā)現(xiàn)該行列式主對角線的元素均為,其余元素全為1,根據(jù)這個n階行列式的特點,下面從數(shù)學歸納法、加邊法、拆分法以及特征值求解行列式的值,例題2的本質(zhì)是例題1的有限推廣。

        (1)數(shù)學歸納法:

        ①當n=1時,

        ②當n=2時,

        ③假設當n=k時,

        所以,

        當n=k+1時,

        所以,對于任意階行列式D,都有上式成立。

        數(shù)學歸納法一般是用在行列式值的形式與行列式的階數(shù)有關的習題上。對于階數(shù)別較低的行列式一般我們不采用數(shù)學歸納法。

        (2)加邊法:

        (3)拆分法:

        (4)利用方陣的特征值求解行列式的值:

        2 結論

        比較這兩道例題可以發(fā)現(xiàn),隨著行列式階數(shù)的增加,拆分法、加邊法以及方陣的特征值的方法具有普遍性,但比較發(fā)現(xiàn)拆分法、加邊法以及方陣的特征值方法隨著行列式的階數(shù)增加,這三種方法的計算量會增大;而利用性質(zhì)將行列式化簡成上三角行列式不適用于高階行列式求值問題;數(shù)學歸納法適用具有相同結構的行列式上。因此在求解行列式的值時,要先觀察行列式的特點,根據(jù)行列式的特點選擇適當?shù)姆椒ā?/p>

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