【摘 要】 數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的自由形式，既有深刻的內(nèi)容，又有內(nèi)在形式和外在形式。形式反映內(nèi)容，內(nèi)容也必須借助一定的形式而表達(dá)出來。數(shù)學(xué)美的內(nèi)容通過內(nèi)在形式或以內(nèi)在形式為中介而與外在形式相聯(lián)系。數(shù)學(xué)美的內(nèi)容與內(nèi)在形式之間互相依存，互相滲透，而數(shù)學(xué)美的內(nèi)容與外在形式之間也是辯證統(tǒng)一的關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)美;內(nèi)容;內(nèi)在形式;外在形式;關(guān)系

數(shù)學(xué)美是科學(xué)創(chuàng)造自由的形式，它既是客觀物質(zhì)存在又是社會存在，同時(shí)還具有形象性。因而數(shù)學(xué)美和其他任何事物的存在與運(yùn)動(dòng)過程一樣，也具有內(nèi)容和形式兩個(gè)方面。

數(shù)學(xué)美的內(nèi)容是數(shù)學(xué)美存在和發(fā)展的內(nèi)在方面或根本原因，指數(shù)學(xué)領(lǐng)域中構(gòu)成數(shù)學(xué)美的基礎(chǔ)要素的總和。包括數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)美、數(shù)學(xué)理論美、數(shù)學(xué)公式美、數(shù)學(xué)思想方法美、數(shù)學(xué)思維美、數(shù)學(xué)符號美等，其中都表現(xiàn)著數(shù)的美、式的美、形的美。數(shù)學(xué)美的形式指構(gòu)成數(shù)學(xué)美的基礎(chǔ)要素之間的固有的聯(lián)系、結(jié)構(gòu)、組織，是自由形式的具體顯現(xiàn)，包括簡單、對稱、和諧、普遍、奇異等。數(shù)學(xué)美的形式有兩種，一種表現(xiàn)為數(shù)學(xué)美的存在和發(fā)展的方式、形態(tài)，可稱之為內(nèi)在形式，如簡單、對稱、和諧、普遍、奇異等;另一種表現(xiàn)為數(shù)學(xué)美存在和發(fā)展的感性外觀，可稱之為外在形式。數(shù)學(xué)美的內(nèi)容通過內(nèi)在形式或以內(nèi)在形式為中介而與外在形式相聯(lián)系，但這種聯(lián)系沒有必然性，也就是說，外在形式的美是以數(shù)學(xué)美的內(nèi)容為前提。反之，沒有反映出真的數(shù)學(xué)美內(nèi)容，外在形式再美也無用，也就不會構(gòu)成美的數(shù)學(xué)事實(shí)。

例如，泰勒公式

（c是在x與x0間的某個(gè)值）

它的美與其內(nèi)在形式有密切關(guān)系，感性外觀形式也很美，感性外觀是數(shù)學(xué)美的必要條件。

事物都有內(nèi)容和形式兩個(gè)相互聯(lián)系相互依存的方面，美也一樣。美的形式是美的內(nèi)容的轉(zhuǎn)化形態(tài)，它是人類在長期生產(chǎn)勞動(dòng)和社會實(shí)踐過程中，積淀形成的美的事物，然后將美的事物物質(zhì)形式轉(zhuǎn)化為自由的形式。美的形式標(biāo)志著人對客觀世界所取得的自由程度和水準(zhǔn)，表現(xiàn)了人的本質(zhì)力量。這種自由形式又有感性形式和理性形式之分。一般來說，藝術(shù)美的形式多呈現(xiàn)出的是感性形式，表現(xiàn)了人的情感想象的自由形式，而科學(xué)美的形式則是理性抽象形式，是人的認(rèn)識思維合規(guī)律性（即自由的）理性抽象形式。就藝術(shù)形式和科學(xué)形式而言，蘇珊·朗格曾認(rèn)為，藝術(shù)中抽象出來的“是那種能夠表現(xiàn)動(dòng)態(tài)的主觀經(jīng)驗(yàn)、生命的模式、感知、情緒、情感的復(fù)雜形式”，而科學(xué)、數(shù)學(xué)和邏輯中抽象出來的則“是那種幫助我們把握一般事實(shí)的理性推理形式”。但是，“不管是在藝術(shù)中，還是在邏輯中，‘抽象都是對某種結(jié)構(gòu)或形式的認(rèn)識”。[1]這就是說，藝術(shù)形式與科學(xué)形式既有共同之處，又有差別。最基本的共同點(diǎn)即藝術(shù)美和科學(xué)美都不是生活、物質(zhì)世界的自然形式，而是經(jīng)過了“抽象”之后的審美形式。中國戲劇表演中固定做程式、一組龍?zhí)?，貝多芬第五交響樂，顯示部中主部主題“命運(yùn)”和副部主題“英雄”，兩個(gè)音樂主題在全樂曲中反復(fù)出現(xiàn)，不就是抽象的具有理性化的形式表現(xiàn)著無限豐富、變化的感性內(nèi)容嗎？亞里士多德說過“美的主要形式‘秩序、勻稱與明確”。[2]不錯(cuò)，就形式本身來說，無論是在藝術(shù)中還是科學(xué)中，美的形式都具有簡潔、對稱、秩序、規(guī)整、統(tǒng)一、協(xié)調(diào)等特點(diǎn)。在數(shù)學(xué)美中，這種美的形式常用抽象的數(shù)字、符號、公式、圖形等形式加以表示。數(shù)學(xué)美正是在邏輯直觀的抽象理性形式中積淀了無限豐富的感性內(nèi)容，數(shù)學(xué)美的形式是抽象思維的產(chǎn)物，是在合規(guī)律性與合目的性相統(tǒng)一下建立起來的一種秩序。“秩序就意味著真理，意味著和諧，秩序就是簡潔、就是美?！盵3]

無論是藝術(shù)美還是科學(xué)美，在本質(zhì)上和內(nèi)在形式上是相同的，但是在外在形式上有著很大的差異性，從而對美的感知和欣賞就不同。數(shù)學(xué)美是一種科學(xué)美，對數(shù)學(xué)美的感知和欣賞必須首先理解其內(nèi)容和內(nèi)在形式，否則，即使是再美的數(shù)學(xué)公式或一些很美的結(jié)構(gòu)式與表達(dá)式，不懂?dāng)?shù)學(xué)的人也無法感知到其美在何處，也不可能欣賞。例如，我們說歐拉公式很美，被譽(yù)為世界上最完美的數(shù)學(xué)公式之一，它把數(shù)學(xué)里最重要的五個(gè)數(shù)i、π、e、0、1，巧妙地統(tǒng)一在一起：eiπ+1=0。數(shù)學(xué)家高斯曾說：“一個(gè)人第一次看到這個(gè)公式而不感到它的魅力，他不可能成為數(shù)學(xué)家”。但就是這樣具代表性的數(shù)學(xué)美的形式，可是對不懂?dāng)?shù)學(xué)的人來說，依然是無動(dòng)于衷，無法想象到它的美。再如，歐拉發(fā)現(xiàn)的另一個(gè)公式v-e+f=2，它表示任何一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)v、邊數(shù)e、面數(shù)f之間的恒定關(guān)系式，同樣，只有理解了其意義才會感到它的無限魅力。

數(shù)學(xué)獨(dú)特的表達(dá)形式是自然世界及其客觀規(guī)律的抽象，也是人類主體在使用勞動(dòng)工具的基本操作過程中的一些形式（如次序、關(guān)系、排列）的抽象化（如可逆、不可逆、守恒、交換等）。數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展與人類從基本實(shí)踐活動(dòng)中獲得的自由直觀分不開，這種抽象的理性形式積淀著外在的勞動(dòng)操作規(guī)律及其理性結(jié)果，它是人類特有的認(rèn)識工具和符號語言。所以，數(shù)學(xué)美的形式是科學(xué)美的形式之核心與基礎(chǔ)，正如蘇珊·朗格所說：“只是在數(shù)學(xué)發(fā)展起來之后，抽象的邏輯形式才開始變得如此外露。它的外觀是如此有趣，以至于使得許多邏輯學(xué)家不由自主地把自己的注意力轉(zhuǎn)到了對形式本身的研究上來”[4]。

圓周長C=2πR，弧長L=2R，圓臺體積…。

像這些數(shù)學(xué)美的形式表達(dá)中，基本上都是將一些數(shù)字和符號有秩序的排列組合成簡潔的形式中，它們看似簡潔但包含了現(xiàn)實(shí)世界中豐富的內(nèi)容，這種符號間的和諧關(guān)系正是自然界客觀規(guī)律性簡潔而規(guī)范的概括，正好符合哲學(xué)意義上的真。這不正是美國美學(xué)家克萊夫·貝爾提出的美是“有意味的形式”嗎！[5]

形式反映著內(nèi)容，反之，內(nèi)容也必須借助一定的形式而表達(dá)出來。如音樂的生命就在于節(jié)奏形式，像四二拍的曲子，以四分音符為一拍，一小節(jié)兩拍，按第一拍強(qiáng)，第二拍弱的規(guī)律交替出現(xiàn)。達(dá)芬奇《最后的晚餐》所表現(xiàn)的十二門徒聽了基督的話“你們中間有一個(gè)人要出賣我”以后的極大震動(dòng)，情借騷亂的動(dòng)勢就是通過畫面上耶穌居中，十二門徒分兩邊，三個(gè)一組，組成四個(gè)三角形，人物用手勢相互照應(yīng)連成一條波浪線顯示出來。中國畫的藝術(shù)表現(xiàn)形式，多用散點(diǎn)透視，畫面出現(xiàn)近景、中景、遠(yuǎn)景多層次，近處山石見質(zhì)，遠(yuǎn)處山形見勢，用“分疆三選兩段法”，地、樹、山為三選，景為F，山在上，中間云霧斷開，借助這種形式從而使自然風(fēng)景在畫面上活靈活現(xiàn)，栩栩如生。數(shù)學(xué)中也不例外，要表示數(shù)的大小不等關(guān)系就需借助形式a>b，三角形的面積s=（1/2）ab，整除m/n，同余，要表示命題及謂詞演算就有數(shù)理邏輯的形式，把三角形內(nèi)角之和等于180°，改寫成（3-2）·180°的形成，便成為發(fā)現(xiàn)凸幾邊形內(nèi)角之和為（n-2）·180°的臺階和誘因。解決數(shù)學(xué)問題過程的每一步，內(nèi)容上的變化都有形式的變換相對應(yīng)。整個(gè)數(shù)學(xué)沒有一個(gè)不具形式的內(nèi)容，也沒有一處不反映內(nèi)容的形式。[6]

總之，數(shù)學(xué)美內(nèi)容和形式的關(guān)系，是辯證統(tǒng)一的。內(nèi)容與內(nèi)在形式之間互相依存，互相滲透，而內(nèi)容與外在形式之間也是統(tǒng)一的，內(nèi)容統(tǒng)攝外在形式，外在形式顯現(xiàn)出內(nèi)容，達(dá)到融會貫通。也就是說，由長期社會實(shí)踐所造成的內(nèi)容向形式的轉(zhuǎn)化，內(nèi)容積淀于形式之中數(shù)學(xué)美的內(nèi)容與形式的關(guān)系決不是“內(nèi)核”與“外亮”、人體與服裝、商品與包裝的關(guān)系，而是完全契合的辯論統(tǒng)一。只有這樣，數(shù)學(xué)美的內(nèi)容才不是某種本質(zhì)的抽象，而是與形式相聯(lián)系的具體，形式也不是單純的空洞，而是與內(nèi)容相聯(lián)系的結(jié)構(gòu)與外觀，這才稱得上數(shù)學(xué)美是自由的形式。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 蘇珊·朗格著，藤守堯、朱疆源譯.藝術(shù)問題[M].中國社會科學(xué)出版社，1983.168

[2] [古希臘]亞里士多德著，吳壽彭譯.形而上學(xué)[M].商務(wù)印書館，1959.265-266

[3] 趙鑫珊著.科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)斷思[M].新知三聯(lián)書店，1985.18

[4] 蘇珊·朗格著，藤守堯、朱疆源譯.藝術(shù)問題[M].中國社會科學(xué)出版社，1983.167

[5] 克萊夫·貝爾著，周金環(huán)等譯.藝術(shù)[M].中國文聯(lián)出版公司，1984.7

[6] 張雄.數(shù)學(xué)：信息加工和信息轉(zhuǎn)換的技術(shù)[J].自然辯證法研究，2000.8.

【作者簡介】

張 雄（1961-）男，漢族，陜西商洛人，教授，渭南職業(yè)技術(shù)學(xué)院黨委副書記、院長，中國高等教育學(xué)會教育數(shù)學(xué)專委會副理事長，研究方向：數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)美學(xué)、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育、職業(yè)教育等.