鮑善軍

[摘要]數(shù)學習題是數(shù)學模型的重要表現(xiàn)形式。教師可以開展一題一課，通過整合路徑、關聯(lián)對比、拓展延伸三個層次的習題教學，指向?qū)W生高階思維能力培養(yǎng)，促進學生數(shù)學學習的深入和思維的通透度的提升。

[關鍵詞]一題一課;高階思維;教學策略

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號]1007-9068（2020）17-0032-03

一題一課是指教師通過對一個主題或一組習題的深入研究，在課堂上科學、合理、有序地組織學生開展相關的數(shù)學探究活動，在完成“一題”的同時，促進知識的相互關聯(lián)，達到“學一題、透一點、通一類、達一片”的教學目標。系統(tǒng)地從縱向三個層次、橫向六個方面發(fā)展學生的數(shù)學思維水平，即通過“小題大做”、角度轉(zhuǎn)換，促使學生的數(shù)學學習從單點結(jié)構(gòu)水平向多點結(jié)構(gòu)水平發(fā)展;通過一題多解、化隱為顯，促使學生的數(shù)學學習從多點結(jié)構(gòu)水平向關聯(lián)結(jié)構(gòu)水平發(fā)展;橫向拓寬、縱向深入，促使學生的數(shù)學學習從關聯(lián)結(jié)構(gòu)水平向抽象拓展水平發(fā)展（如圖1）。開展一課一練，使學生主動參與到學習過程中來，逐步發(fā)展高階思維和核心素養(yǎng)。

一、路徑整合：思維水平由“單點結(jié)構(gòu)”衍生“多點結(jié)構(gòu)”

通過深度溝通尋找到聯(lián)系各種思路的理想方式，運用直觀去認識事物之間的共同屬性和聯(lián)系，由理解的單點結(jié)構(gòu)水平轉(zhuǎn)向多點結(jié)構(gòu)水平，使學生的數(shù)學思考向更深處蔓延。

1.“小題大做”，自主建構(gòu)

對于有些問題，教師可充分調(diào)動學生思維的積極性，放手讓學生自主探究，探尋多種解決問題的思路，教師只需將這些解題思路進行整合，就能幫助學生建構(gòu)知識的應用模式。

[一題]如圖2所示，市政府準備在街心花園建一個花圃，這個花圃占地多少平方米？

[一課]組合圖形的面積。

教師讓學生自主探究解決問題的方法，學生通過獨立思考一小組討論一交流匯報，確定了兩種解決問題的思路：可以將圖形分割成兩個小長方形或兩個梯形（如圖3），也可以將圖形補全為一個大長方形（如圖4）。

分割：

學生總結(jié)出求組合圖形的方法主要有兩種——分割和補全，最后教師滲透轉(zhuǎn)化思想：“不管是分割還是補全，都是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形?！?/p>

2.角度轉(zhuǎn)換，發(fā)散思維

當學生的思維遇到障礙而停滯時，不妨引導學生換個角度分析，讓思維向多角度發(fā)散，從而找到多種解決問題的思路。

[一題]由于粗心大意，小馬虎把30x（A+3）錯算成30x△+3。請你幫忙算一算，他得到的結(jié)果與正確結(jié)果相差多少？

[一課]符號的運算。

數(shù)學符號的抽象性與學生思維的形象性是一對非常突出的矛盾。但要解答這道題并不難，關鍵是讓學生理解造成兩個算式的結(jié)果出現(xiàn)差異的原因。解這道題時，很多學生會先用一個具體的數(shù)字替代“△”，分別算出兩個算式的結(jié)果，再計算出這兩個結(jié)果的差值。教師可以先肯定學生的解答過程，再引導學生從運算定律的角度解讀兩個算式的意義，從而理解兩個算式的差異，求出兩者相差多少。從代人運算和意義兩種路徑理解兩個算式的差異，從而比較它們的大小，讓學生主動轉(zhuǎn)換角度來思考和解決問題，借助多種感官進行知識的建構(gòu)，達到對算式意義的數(shù)學理解。

二、關聯(lián)溝通：思維水平由“多點結(jié)構(gòu)”走向“關聯(lián)結(jié)構(gòu)”

當學生的思維達到多點結(jié)構(gòu)水平時，教師可以借助知識方法之間的聯(lián)系幫助學生整合思路，促進學生內(nèi)化方法，深挖知識的本源，把解題的規(guī)律模型化、發(fā)散的思路一體化，讓學生從對知識的理解深入到對知識的聯(lián)通，這樣學生的思維就會從多點結(jié)構(gòu)水平逐步邁向關聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，大大提升學生解決問題的能力。

1.一題多解，模型建構(gòu)

通過對問題的開放探究，有助于學生發(fā)現(xiàn)并理解解決問題的多種思路，再將這些解決問題的思路或方法進行溝通、對比，找出其關聯(lián)所在。

[一題]如圖5所示，計算立體圖形的體積。

[一課]柱體的體積。

如圖6所示，教師通過展示不同的解題方法，聚焦學生的思維。將立體圖形體積的3種計算方法進行溝通聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)這些方法之間的關聯(lián)點，并從中抽象出解決問題的數(shù)學模V柱=SH，使學生對柱體有更深入的了解，并能將該模型運用于其他柱體體積的計算。將解題規(guī)律模型化，突出柱體體積算法和算理之間的關聯(lián)，加深了學生對柱體概念本質(zhì)的理解，強化了學生對柱體體積計算方法的記憶，更重要的是使學生形成了特有的柱體體積計算方法的知識體系。

2.化隱為顯，多元歸一

有些問題的解決方法比較抽象，學生難以厘清其中的思路。這時，教師需要將這些方法中的隱含意義直觀地呈現(xiàn)，使學生領悟解題的思想方法，最終實現(xiàn)多種解題方法的統(tǒng)一。

[一題]籠子里有若干只雞和兔，一共有8個頭、22條腿，問雞和兔各有幾只？

[一課]雞兔同籠。

雞兔同籠問題的解題步驟較復雜，讓學生理解解題原理很重要。剛接觸這類題型時，學生很容易想到用列表法解題，此時教師應引導學生繼續(xù)探究，挖掘新方法——畫圖法，并幫助學生建立畫圖法與列表法之間的聯(lián)系，即將列表的過程與畫圖的步驟一一對應，再從畫圖的步驟中抽象出每個步驟的算式，最終引出假設法。從列表法一畫圖法一假設法（如圖7），步步深入，學生體會到它們所表示的含義是一樣的，從而實現(xiàn)解題方法的融合與統(tǒng)一。

畫圖是對列表的直觀呈現(xiàn)，而假設是對畫圖的概括抽象。畫圖法是從列表法走向假設法的橋梁，借助3種方法的探究與溝通，促進學生對解題方法的深度思考和理解，最終將這些方法融會貫通，使每個解題步驟都能在學生的腦海中直觀成像，實現(xiàn)思維的可視化。

三、拓展延伸：思維水平由“關聯(lián)結(jié)構(gòu)”躍至“抽象拓展”

當學生的思維進入關聯(lián)結(jié)構(gòu)水平時，可以嘗試讓學生在原有知識的基礎上自主遷移，聯(lián)想其他同屬性的知識，這樣學生思維的路徑會隨著抽絲剝繭的分析和探索，一步步呈現(xiàn)出完整的知識結(jié)構(gòu)。

1.橫向拓寬，全面探索

橫向拓寬就是對問題在同一水平層面上進行開發(fā)與設計，引導學生在原有知識的基礎上對同一問題從不同的角度進行開放式的思考和延伸，將其本質(zhì)屬性遷移到其他同類型的知識內(nèi)容上。

[一題]長方形的長和寬分別是3cm和1cm，將它按3：1放大，求放大后與放大前長方形的面積之比。

[一課]長方形面積的變化。

由于缺乏對邊長和面積關系的認知，學生理所當然地認為面積之比就是邊長之比?；诖耍處熆稍谖迥昙壘吞崆奥鋵嵜娣e與邊長關系的教學，并將長方形的這種屬性特征遷移到其他同類平面圖形。教師先讓學生通過計算、觀察、探索、驗證和概括得出結(jié)論：“面積擴大的倍數(shù)就是長和寬擴大倍數(shù)的乘積?！苯又?，教師繼續(xù)引導：“如果沿著這個方向繼續(xù)研究，你還想研究什么？”學生展開聯(lián)想：“三角形、梯形、平行四邊形、正方形等平面圖形是否也有同樣的規(guī)律呢？”最后利用微課驗證（如圖8）。

教師順著長方形的面積變化幫助學生將思維延伸到其他平面圖形中，概括出其他平面圖形的面積變化規(guī)律，將研究的層次提升到另一個高度，拓寬了學生的思維，建構(gòu)了平面圖形的知識結(jié)構(gòu)。

2.縱向深入，研究徹底

縱向深入就是根據(jù)問題中涉及的知識點，沿著問題情境背后的線索，基于全體學生設計開放式的探究活動，目的是將同一個（類）問題深入挖掘，研究徹底。

[一題]圖9中，4個圖形的面積都是36dm²。分別用這些圖形卷成圓柱，哪個圓柱的體積最??？哪個圓柱的體積最大？你有什么發(fā)現(xiàn)？

[一課]圓柱側(cè)面積與體積的關系。

教師以此問題作為知識基點，進行圓柱側(cè)面積和體積的復習，再次引導學生經(jīng)歷猜想、計算、觀察、探索等過程，最終發(fā)現(xiàn)在側(cè)面積相等的情況下，圓柱體積的變化規(guī)律并理解其原理。

這是一個基于實踐研究的能力發(fā)展和經(jīng)驗領悟過程，其目標指向問題解決而非知識技能形成。在此經(jīng)驗之上，可以進一步讓學生解決：“如果側(cè)面積不變，還有卷成的圓柱體積更大的長方形嗎？”

這樣的探究活動，將圓柱側(cè)面積和體積相關知識的聯(lián)系完全打通，通過對卷成圓柱體積更大的長方形的探尋與驗證，使學生的認知從特殊走向一般，學生對數(shù)學知識之間的內(nèi)在關聯(lián)和本質(zhì)屬性有了更深的理解與領悟，并內(nèi)化為自身的能力和素養(yǎng)。

綜上所述，通過一題一課，教師真正發(fā)揮習題的最大效益，同時減輕了學生的課業(yè)負擔，真正落實了減負增質(zhì)的目標。

[本文系2019年浙江省教研課題“一題一課：高階思維導向的教學設計與實踐”階段性研究成果。]

（責編：李琪琦）