李秀敏

摘?要：中學(xué)教材小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了等式的出現(xiàn)。而學(xué)生認(rèn)為等式兩邊的數(shù)，個(gè)位數(shù)字1>0，所以。為解決中學(xué)生現(xiàn)階段對(duì)于該等式的疑惑，本文從除法、等式的性質(zhì)、等比數(shù)列前項(xiàng)和等中學(xué)角度，解釋了這個(gè)等式，并說(shuō)明以上初等理解并不嚴(yán)格。接著本文從高等數(shù)學(xué)的角度給出了等式的兩種證明方法，第一種為實(shí)數(shù)的構(gòu)造，第二種為Dedekind分割，從根本上證明了等式成立的事實(shí)。本文啟發(fā)中學(xué)生從教材出發(fā)探究真理，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù) 無(wú)限循環(huán)小數(shù) 轉(zhuǎn)化 運(yùn)算

一、問(wèn)題的來(lái)源

人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第一章有理數(shù)對(duì)小學(xué)的正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、0進(jìn)行了擴(kuò)充，加入了負(fù)數(shù)，形成了有理數(shù)的概念。整數(shù)，分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)。對(duì)于小數(shù)，小學(xué)已經(jīng)接過(guò)“一般的”小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)也可以化為小數(shù)。

有了有理數(shù)的知識(shí)我們更知道：分?jǐn)?shù)和有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)是可以相互轉(zhuǎn)化的。像這種可以轉(zhuǎn)化為有限小數(shù)的，很顯然可以在分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間建立等價(jià)關(guān)系;而對(duì)于像和無(wú)限循環(huán)小數(shù)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)，如何轉(zhuǎn)化建立之間的等價(jià)關(guān)系呢？直到學(xué)習(xí)了一元一次方程，該問(wèn)題才得以明確提出和解決。人教版教材七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第92頁(yè)解一元一次方程的“實(shí)驗(yàn)與探究”，以循環(huán)位數(shù)從一 位，二位，三位...依次變大，探究了分?jǐn)?shù)和無(wú)限小數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化，從方程的角度，利用解方程給出了以上問(wèn)題的具體解決方法。教材先以循環(huán)單位是一位的為例，將其轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)。具體過(guò)程為：設(shè)，由，所以，解方程，得.根據(jù)等式的傳遞性，接著教材給出“想一想”以鞏固學(xué)生對(duì)一位單位循環(huán)的小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的過(guò)程和結(jié)論。具體如下所述：“想一想：如何把像，，...，這樣的無(wú)限小數(shù)化為分?jǐn)?shù)形式？”由上面的證明，以上想一想的問(wèn)題不難得出結(jié)論，即，，...，，且有 ？對(duì)于這個(gè)結(jié)論，中學(xué)生是幾乎不能接受的，他們認(rèn)為顯然是小于1的，因?yàn)楹?兩個(gè)數(shù)比較大小，個(gè)位數(shù)字上的數(shù)字顯然是1大，但事實(shí)是兩個(gè)不同的數(shù)數(shù)值是相等的，學(xué)生的比較方法是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤產(chǎn)生于在無(wú)限循環(huán)小數(shù)比較大小，已經(jīng)不能用有限小數(shù)比較大小的方法進(jìn)行比較。

二、相等關(guān)系的接受和初步理解

下面從幾個(gè)角度感受這個(gè)相等關(guān)系：

1.除法

小學(xué)階段學(xué)習(xí)了整數(shù)的除法，，在這個(gè)除法算式中，1除以1，若先商0而不是商1，商的結(jié)果就是。，由等式的傳遞性。這里會(huì)存在，余數(shù)不能大于等于除數(shù)的疑惑，但注意，這里的除法并沒(méi)有余數(shù)，而是要一直進(jìn)行下去，這樣結(jié)果也才是。

2.等式的性質(zhì)

初中階段，大家對(duì)于是接受的，觀察這個(gè)等式，根據(jù)等式的性質(zhì)，在等式兩邊同時(shí)乘以3，等式變?yōu)?。到這里，學(xué)生基本可以接受這個(gè)相等關(guān)系，但這并不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。因?yàn)槠渲杏袃蓚€(gè)要考慮單被忽略的問(wèn)題：

其一，當(dāng)數(shù)從有限位擴(kuò)大為無(wú)限位的時(shí)候，等式的性質(zhì)是否依然是成立的？

其二，和是等價(jià)的兩個(gè)等式，并不能以其一作為另一的證明條件。

3.等比數(shù)列

對(duì)于2，3直接應(yīng)用四則運(yùn)算法則是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模蓞⒖肌短照苘帉?shí)分析》附錄B。若要利用等式的性質(zhì)證明，必須以皮亞諾公理（Peano）為前提，以下附皮亞諾公理[1]。

皮亞諾公理：

①1是自然數(shù);

②每一個(gè)確定的自然數(shù)，都有一個(gè)確定的后繼數(shù)，也是自然數(shù)（一個(gè)數(shù)的后繼數(shù)就是緊接在這個(gè)數(shù)后面的數(shù);

③如果都是自然數(shù)的后繼數(shù)，那么;

④1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù);

⑤任意關(guān)于自然數(shù)的命題，如果證明了它對(duì)自然數(shù)1是對(duì)的，又假定它對(duì)自然數(shù)n為真時(shí)，可以證明它對(duì)也真，那么，命題對(duì)所有自然數(shù)都真。

推論：當(dāng)含1和中的每個(gè)后繼者時(shí)，含有全部自然數(shù)。

由定理可知：實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算是有理數(shù)上四則運(yùn)算的推廣，并且實(shí)數(shù)集是全序集。

2.Dedekind分割

設(shè)兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合和??滿足：為全體有理數(shù)，且對(duì)任意?和?，都有。則稱(chēng)和??構(gòu)成有理數(shù)集的一個(gè)?Dedekind?分割，簡(jiǎn)稱(chēng)分割，記為?。

實(shí)數(shù)集是完備的，即實(shí)數(shù)集中沒(méi)有"空隙"，數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都可以用某個(gè)實(shí)數(shù)唯一精確表示。實(shí)數(shù)集的完備性的證明可參考《知乎》申力立關(guān)于“怎么證明？”的回答。

實(shí)數(shù)：由全體有理數(shù)，以及有理數(shù)的分割所確定的無(wú)理數(shù)，統(tǒng)稱(chēng)實(shí)數(shù)。

五、總結(jié)

無(wú)限循環(huán)小數(shù)定義在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，而這個(gè)定義在初等數(shù)學(xué)階段尚沒(méi)有給出完整的證明。導(dǎo)致直接應(yīng)用實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算法則證明，顯得不夠嚴(yán)謹(jǐn)。而無(wú)限循環(huán)小數(shù)屬于實(shí)數(shù)，本質(zhì)上要從實(shí)數(shù)的構(gòu)造論起，本文從接受和初步理解、嚴(yán)格證明、到本質(zhì)證明，全面論述了該等式成立的原因。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是在不斷地追問(wèn)過(guò)程中，把前提到結(jié)論的推理過(guò)程說(shuō)清楚，中間我們可能會(huì)用到一系列定理、引理。而最終都會(huì)追溯到一些公認(rèn)的基礎(chǔ)事實(shí)上，這些事實(shí)既是公理。理解數(shù)學(xué)需要不斷追問(wèn)，過(guò)程中更能體會(huì)探索真理的樂(lè)趣。

參考文獻(xiàn)

[1]?皮亞諾，用一種新方法陳述的算術(shù)原理，[M]1891，32-48

[2]?HB Griffiths，PJ Hilton，A Interpretation H.B.Griffith P.J.Hilton，Springer-VerlagS，[M]1970，7（5）：459–463

[3]?陶哲軒，陶哲軒實(shí)分析 人民郵電出版社，[M]，2008