□任敏龍

【研究緣起】

新學(xué)期將始，打開浙教版新思維小學(xué)《數(shù)學(xué)》課本，第一課就是“生活中的比”。不由得想起三年多前在張奠宙先生家里為撰寫《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理——核心概念的理解與呈現(xiàn)》一書中的“數(shù)方夜談”而與先生促膝長談的情景，于是又翻出先生《返璞歸真正本清源——“比”不能等同于除法》一文細細研讀，反復(fù)參詳先生的基本觀點。

（一）“比”是一種數(shù)量關(guān)系?！氨取辈皇浅ㄟ\算，只是在求比值時才要用除法。（二）“比”是為比例做準備，并可以擴展為一種變量之間的正比例函數(shù)關(guān)系。這種比例關(guān)系，其含義遠超“除法”。（三）“比”原本是同類量的比較關(guān)系，但是也可以推廣到不是“同類量”的情形。不過，同類量之比是“源”，不同類量之比只是“流”。（四）不同類量的比，不宜作為“比”的主要情境引入。（五）同類量的比值沒有量綱，不同類量的比值一定會有量綱。（六）把“兩個數(shù)相除，又叫作兩個數(shù)的比”作為“比”的定義，乃是舍本逐末。

我們做了課前調(diào)查，調(diào)查題目是：在現(xiàn)實生活中，你在哪里見到過（或聽到過）“比”？寫出這些“比”。結(jié)果表明：有42%的學(xué)生知道配方中的比；有90%以上的學(xué)生提及球賽中的比分；沒有人提及不同類量的比。

【研究內(nèi)容】

聚焦下面四個問題做進一步的研究。

其一，如先生所言，“兩個數(shù)相除，又叫作兩個數(shù)的比”不能體現(xiàn)比的意義的本質(zhì)，學(xué)生難以從中體會學(xué)習(xí)的意義和價值。那么，我們能不能用含義遠超“除法”的“比例關(guān)系”來引入“比的意義”，確立“比”作為數(shù)學(xué)核心概念的地位？如能，必將更有利于學(xué)生體會學(xué)習(xí)“比”的必要性。已有的研究是這樣從比例關(guān)系的角度定義比的意義的：兩個相依變化的量X、Y，當X取值為a時，Y有唯一確定的值b與之對應(yīng)，當X取ka時，Y有唯一確定的值kb與之對應(yīng)，我們把X、Y之間的這種關(guān)系稱為比，用a∶b表示，讀作a比b。這顯然是一個函數(shù)化了的定義，蘊含了比的基本性質(zhì)。關(guān)于這一定義的可接受性，下文將給出實踐驗證。

其二，同類量之比是“源”，不同類量之比只是“流”。如何利用“42%的學(xué)生知道配方中的比”這一學(xué)習(xí)資源教學(xué)同類量之比？“沒有人提及不同類量的比”，這給我們提出了一個問題，即如何自然地把源于兩個“同類量”的比推廣到“不同類量”的情形，使教學(xué)能免于機械的“告知—接受”模式。

其三，比可以表示成分數(shù)的形式，其合理性何在？這涉及如何引導(dǎo)學(xué)生深刻理解比與分數(shù)的關(guān)系的問題。既然“只是在求比值時才要用除法”，是否可以由求比值的需求，引出比與除法的關(guān)系？這涉及如何引導(dǎo)學(xué)生準確理解比與除法的關(guān)系的問題。

其四，“90%以上的學(xué)生提及球賽中的比分”，如何處理“比分”問題？教學(xué)時，教師通常會讓學(xué)生辨析下列哪個是今天所研究的比：“甲乙兩支足球隊的比分是3∶2”“男女生的人數(shù)比是3∶2”。學(xué)生通常認為前者是“差比”，不是今天研究的比，后者是“倍比”，是今天研究的比。前者就不能是“倍比”？當然能：甲隊進球數(shù)是乙隊的倍，乙隊進球數(shù)是甲隊的。如何作出合理的解釋？

【研究實踐】

下面結(jié)合教學(xué)實踐來具體談?wù)勥@些問題。教學(xué)分為兩課時：第一課時教學(xué)同類量之比——“源”，建立比與分數(shù)的聯(lián)系；第二課時引入不同類量之比——“流”，定義比值，建立比與除法的聯(lián)系。

第一課時

1.感悟共變規(guī)律，探索配方表示

（1）創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)主動探究

王師傅用一種濃縮果汁和水配制飲料，他配了三份飲料：

第一份用了200mL果汁和800mL水；

第二份用了400mL果汁和1600mL水；第三份用了300mL果汁和1200mL水。

想一想：王師傅三次配的飲料味道一樣嗎？你能用不同的方法來說明嗎？

（2）探索變中不變，初識比的意義

生：第二份飲料中果汁的量是第一份飲料中果汁量的2倍，水也是2倍，這就相當于把第一份飲料同樣的配2份，然后倒在一起，所以兩份味道一樣；第三份飲料中果汁和水的量都是第一份的1.5 倍，味道也一樣。

生：每一份飲料中都是果汁1 份，水4 份，果汁與水的比是1∶4，水與果汁的比是4∶1，三次的配方是一樣的，所以味道也一樣。

小結(jié)：這就是我們今天學(xué)的新知識——比，有了比，我們可以把“幾倍”和“幾分之幾”統(tǒng)一成一種說法——比。

（3）經(jīng)歷量性抽象，引入字母代數(shù)

教師提問：你還能配出味道相同的飲料嗎？學(xué)生進一步舉例。如：果汁150mL，水600mL，等等。教師繼續(xù)提問：能不能舉一個例子包括所有可能的情形？學(xué)生答：果汁是kmL，水是4kmL。

小結(jié)：果汁和水的數(shù)量在變化，但它們之間的關(guān)系保持不變。它們的關(guān)系可以用比來表示——果汁與水的比是1∶4，水與果汁的比是4∶1，表示果汁是1份，水是4份，若果汁的量為k，那么水的量就是4k，k是每份數(shù)。

（解析：充分利用學(xué)生已有的關(guān)于配方及其表示的知識經(jīng)驗，用三份飲料口味是否相同的問題引發(fā)思考，體會蘊含其中不變的比例關(guān)系，引入用比表示配方的方法，通過舉例和量性抽象，為后續(xù)進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象做好鋪墊。把“幾倍”和“幾分之幾”統(tǒng)一成一種說法——比，為今后研究和表達“比”的這種關(guān)系帶來很大便利。）

2.豐富關(guān)系例證，積累活動經(jīng)驗（1）獨立學(xué)習(xí)

請學(xué)生填表，并說說表中什么在變，什么不變。想一想：如何表示表中兩個相依變化的量之間的關(guān)系？

①某商品成本與利潤關(guān)系如下：

成本/元利潤/元10 3 100 30 150 45 60 600 3m

成本與利潤之間的關(guān)系是：_______________

②某一時刻測得樹高與影長的關(guān)系如下：

樹高/米影長/米50 30 15 9 3 0.3 1.5

樹高與影長之間的關(guān)系是：_______________

（2）合作交流，校對講評（過程略）

3.經(jīng)歷逐級抽象，形成概念表征

（1）經(jīng)歷質(zhì)性抽象，形成變量表征

用X、Y分別表示果汁和水：

X Y 200 800 400 1600 300 1200 150 600 1 4 k 4k

兩個相依變化的量X與Y的比是1∶4，Y與X的比是4∶1。

同樣，我們也可以用X、Y分別表示成本和利潤、樹高和影長：

10m 3m X Y 10 3 100 30 150 45 200 60 600 180

兩個相依變化的量X與Y的比是10∶3，Y與X的比是3∶10。

X Y 50 30 15 9 5 3 0.5 0.3 1.5 0.9 5n 3n

兩個相依變化的量X與Y的比是5∶3，Y與X的比是3∶5。

（2）再次量性抽象，形成概念表征

我們可以用a、b來表示上述各比中的具體數(shù)，得到：兩個相依變化的量X與Y的比是a∶b，Y與X的比是b∶a。

師生討論且填寫下表（開始呈現(xiàn)時僅出示第一列）。

X Y a b 2a 2b 50a 50b a 2 3 5 a ak bk b 2 3 5 b

想一想：表中最重要的是哪幾列？學(xué)生認為是第2列和最后一列。想一想：能否據(jù)此來說一說什么叫作比？

呈現(xiàn)定義：兩個相依變化的量X、Y，當X取值為a時，Y有唯一確定的值b與之對應(yīng)，當X取ka時，Y有唯一確定的值kb與之對應(yīng)，我們把X、Y之間的這種關(guān)系稱為比，用a∶b表示，讀作a比b。

在上面的三個例子中，兩個相依變化量的單位相同，稱為同類量。同類量X、Y的比是a∶b，表示X有a份，Y有b份，k是每份數(shù)。

（解析：質(zhì)性抽象舍棄了具體的問題情境，從一般意義上給出了兩個同類量X和Y，經(jīng)過第二次量性抽象，給出了關(guān)系的一般表示a∶b或b∶a，這樣，就從一般意義上定義了同類量的比。抽象是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特征，正是因為抽象，才使源于同類量的“比”推廣到不同類量的情形有了邏輯的可能性。）

4.體會取值范圍，展開反例辨析

（1）任選一題，用多種方法解釋比的意義

①新生兒頭長與身高的比是1∶4。

②汽車勻速行駛2 小時與5 小時的路程比是2∶5。

?

交流時提醒學(xué)生注意取值范圍，如新生兒頭長不能取1cm、1m，汽車行駛速度則不能取1000km/h，等等。

（2）下面的信息中有比嗎？如果有，請你寫出來

①許多小區(qū)配置的車位數(shù)和住戶數(shù)一樣多。

③每1000kg的海水中所含鹽的質(zhì)量是35kg。

④足球比賽上半場甲隊進2球，乙隊進1球。

題目①②③的比分別是車位數(shù)與住戶數(shù)的比是1∶1，國旗寬與長的比是2∶3，海水與鹽的比是1000∶35。教師著重辨析第④題：上半場甲乙兩隊的比分是2∶1，根據(jù)比的意義，2∶1與6∶3表示的關(guān)系是一樣的，只是每份數(shù)取了不同的值而已，但在球賽中，上半場甲乙兩隊的比分2∶1 與6∶3 是完全不一樣的概念，絕不能等同視之，所以這一題中不存在我們今天研究的比。

（解析：對應(yīng)關(guān)系和定義域是函數(shù)概念中的兩個關(guān)鍵要素。第一題的兩個例子滲透了定義域的思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。用“差比”來解釋球賽“比分”中的比不是今天所研究的比，難免有點牽強附會，使用新的定義對此作出了較為令人滿意的解釋——本質(zhì)上是因為它不適用比的基本性質(zhì)。）

5.關(guān)聯(lián)比與分數(shù)，拓展比的表示

（1）引入分數(shù)表示，關(guān)聯(lián)比與分數(shù)

介紹比的前項、后項和比號。呈現(xiàn)：比也可以用分數(shù)的形式表示，如1∶4 也可以寫作。想一想：為什么比可以用分數(shù)形式表示？

學(xué)生解釋：1∶4 表示兩個量是1 份和4 份的關(guān)系，它們包含的每份數(shù)相同，根據(jù)分數(shù)的意義，分數(shù)也是每份數(shù)相同的1份和4份，兩者并不矛盾。

（2）拓展比的表示，深化份數(shù)理解

用比表示下列各題中數(shù)量之間的關(guān)系。

①攪拌混凝土，需要沙子30kg，石子50kg，水泥20kg。

②

（解析：同類量的比，從一開始的引入，就是與分數(shù)、倍數(shù)表示等價的，但更為便捷的一種方法，引入比的分數(shù)表示，也是順理成章的，有利于學(xué)生從同類量之比、分數(shù)的意義上更深刻地理解兩者的聯(lián)系——形式上的通用是源于意義上的共通，養(yǎng)成縝密的思維習(xí)慣。）

第二課時

1.再現(xiàn)意義抽象，夯實推廣基礎(chǔ)

呈現(xiàn)上節(jié)課同類量比的三個例子，快速再現(xiàn)質(zhì)性抽象和量性抽象的過程，復(fù)習(xí)同類量比的意義。

2.再次質(zhì)性抽象，實現(xiàn)引源入流

獨立學(xué)習(xí)：填表，并說說什么在變，什么不變。想一想：如何表示表中兩個相依變化的量之間的關(guān)系？

汽車勻速行駛的路程與時間的關(guān)系如下：

路程/km_____時間______/h 80____1_____120___1.5_____160__________2____________________3 320________m__

教師提問：這張表與上節(jié)課的表像嗎？學(xué)生認為很像，不同的是上節(jié)課是兩個同類量，這節(jié)課是不同類量，但我們也可以用X、Y分別表示路程和時間：

X_路程/k__________________________________________m Y__時間___________________________________________/h 80 120 160 240 320 80m 1 1.5 2 3 4 m

這就得到了與上節(jié)課完全一樣的表格，既然抽象后的形式相同，上節(jié)課用于表示兩個相依變化量X、Y之間關(guān)系的“比”也應(yīng)當適用于當下的情形：

兩個相依變化的量X與Y的比是80∶1，Y與X的比是1∶80。

回到原問題中：路程與時間的比是80∶1，時間與路程的比是1∶80。

小結(jié)：比也適用不同類量的情形。

（解析：引源入流的關(guān)鍵一步是數(shù)學(xué)抽象，經(jīng)過抽象，我們發(fā)現(xiàn)，路程和時間這兩個不同類量之間的關(guān)系具有和兩個同類量之比完全相同的形式，這就說明兩者本質(zhì)上是一樣的，都是比例關(guān)系。因此，適用于表示同類量之間關(guān)系的比自然也應(yīng)該適用于不同類量的情形，這樣的推廣合情合理、水到渠成。）

3.概括同質(zhì)例證，豐富抽象基底

（1）某種商品總價與數(shù)量之間關(guān)系如下：

總價/元數(shù)量/件___15 3_____25 5_____30 6 8____________5 a___

總價與數(shù)量之間的關(guān)系是：_______________

（2）工程隊工作總量與工作時間之間的關(guān)系如下：

工作總量/件工作時間/天24 120 12

工作總量與工作時間之間的關(guān)系是：_______

小結(jié)：我們同樣可以用X、Y分別表示路程與時間、總價與數(shù)量、工作總量與工作時間，用a、b來表示上述各比中的具體數(shù)。這樣，今天研究的不同類量之間的關(guān)系和上節(jié)課的同類量之間的關(guān)系具有完全相同的形式，上節(jié)課所學(xué)的比也同樣適用于表示兩個不同類量之間的關(guān)系。

4.適時引入比值，關(guān)聯(lián)比與除法

果汁與水的比是1∶4，這是果汁與水在比，我們把“果汁是水的”看作比的結(jié)果，把叫作1∶4的比值，記作這是兩個同類量之間的倍比關(guān)系，比值不帶單位。

路程與時間的比是80∶1，這是路程與時間在比，比的結(jié)果是什么呢？學(xué)生認為是速度，80∶1=80（km/h），這是兩個不同類量的比，比值帶有單位。

觀察比與比值的關(guān)系，你還想到了什么？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：后者即是路程÷時間=速度；前者是求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾，用一個數(shù)除以另一個數(shù)。

小結(jié)：鑒于比與除法的關(guān)系，在數(shù)學(xué)里，兩個數(shù)相除通常也可以寫成兩個數(shù)的比，兩個數(shù)的比通常也可以寫成兩個數(shù)相除?？梢杂帽鹊那绊棾院箜椀姆椒▉砬蟊戎?。根據(jù)比與除法的關(guān)系，我們也可以用分數(shù)形式表示

（解析：這一環(huán)節(jié)先引出兩個量相比的結(jié)果叫比值，然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)比值其實就是這兩個量相除的商，進而建立起比與除法的關(guān)系。這樣的教學(xué)，比不再是換個說法的“又叫”，“求比值才要用除法”，凸顯了比自身的獨立價值，置除法于從屬地位。）

5.探索相似性質(zhì)，引入等比概念（略）

相比于“兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比”，新的定義凸顯“比”作為數(shù)學(xué)核心概念的應(yīng)有風(fēng)貌：從定義的比例背景可以自然地引出比的基本性質(zhì)，即a∶b=ak∶bk。方便地驗證比例的基本性質(zhì)，即a·bk=b·ak。作為同類量之比的應(yīng)用，按比例分配、比例尺中的“比例”兩字真正獲得了比例的意義，其中的比表示變量之間不變的關(guān)系，當一個變量取某一特定的值時，其他的變量就取對應(yīng)的確定值。正反比例的定義關(guān)注了不變量，即正比例的比值一定、反比例的積一定，而正反比例的性質(zhì)關(guān)注了變的規(guī)律，所謂的正比例性質(zhì)是指：成正比例關(guān)系的兩個量，一個變量的兩個取值之比與另一變量的兩個相應(yīng)取值之比相同，稱一個比是另一個比的正比。反比例性質(zhì)是指：成反比例關(guān)系的兩個量，一個變量的兩個取值之比與另一變量的兩個相應(yīng)取值之比相反，稱其中一個比是另一個比的反比。比的概念銜接了正比例的定義和性質(zhì)，也能方便地用于反比例問題（反比例即變量X的取值與變量Y的取值的倒數(shù)成正比）。正反比例的性質(zhì)凸顯了正反比例關(guān)系的應(yīng)用價值，如物理學(xué)的許多定律表述都與正反比例性質(zhì)有關(guān)，如歐姆定律：I=U/R，導(dǎo)體中的電流跟導(dǎo)體兩端電壓呈正比，跟導(dǎo)體的電阻呈反比。不僅如此，從教學(xué)的實際來看，學(xué)生在解決應(yīng)用問題時并不喜歡課本、教師要求他們的根據(jù)定義列方程解的方法，用正比、反比解題反而更受歡迎。

（謹以此文紀念張奠宙先生）