□張耀勝

“用數(shù)對(duì)確定位置”是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，它溝通了代數(shù)與幾何領(lǐng)域，實(shí)質(zhì)上是解析幾何的開端。為更好地教學(xué)，我們選取了中國(guó)的人教版《數(shù)學(xué)》（以下簡(jiǎn)稱人教版）和美國(guó)的My Math（以下簡(jiǎn)稱MM 版）教材進(jìn)行比較研究，分析兩國(guó)教材的異同，以期得到教學(xué)啟示。

一、基本情況比較

（一）教學(xué)時(shí)間

人教版教材將“用數(shù)對(duì)確定位置”這一內(nèi)容安排在五年級(jí)上冊(cè)第二單元，MM版教材將此安排為五年級(jí)第七單元《表達(dá)與模型》中的第8課。因MM版教材是一個(gè)學(xué)年一冊(cè)書共12 個(gè)單元，所以從時(shí)間上看，MM版教材設(shè)置的教學(xué)時(shí)間相當(dāng)于五年級(jí)下冊(cè)。由此看來，中美兩版教材都將此內(nèi)容編排在小學(xué)五年級(jí)進(jìn)行學(xué)習(xí)。

（二）知識(shí)鋪墊

兩版教材對(duì)教學(xué)內(nèi)容的編排都是在“用上、下、前、后、左、右確定位置”和“用東、南、西、北等詞語描述物體方向”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)用數(shù)對(duì)確定物體的位置。

二、教材比較

（一）情境設(shè)置

在情境設(shè)置方面，人教版教材從教室座位圖這一學(xué)生熟悉的生活情境入手，讓學(xué)生展開學(xué)習(xí)；MM版教材則先直接介紹坐標(biāo)框架，再出示地圖，讓學(xué)生展開學(xué)習(xí)（見表1）。

表1 中美兩版教材“用數(shù)對(duì)確定位置”情境比較

由此可見，人教版教材設(shè)置的情境更貼近學(xué)生的日常生活，更注重?cái)?shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，而MM 版教材側(cè)重規(guī)范的數(shù)學(xué)表達(dá)，給出了必要的數(shù)學(xué)名詞，如“數(shù)軸”“坐標(biāo)平面”“原點(diǎn)”等基本術(shù)語，有利于數(shù)學(xué)交流，這一點(diǎn)值得借鑒。事實(shí)上，少了這些基本術(shù)語，的確會(huì)給數(shù)學(xué)交流帶來不便。

（二）圖示表征

在圖示表征方面，人教版教材將教室座位圖抽象成“方塊圖”，MM版教材給出的圖示表征方式是坐標(biāo)框架，也可以稱為點(diǎn)陣圖（見表2）。

表2 中美兩版教材“用數(shù)對(duì)確定位置”圖示比較

對(duì)比發(fā)現(xiàn)，兩版教材的圖示存在較大的差異，人教版教材的“方塊圖”中沒有原點(diǎn)，表明“數(shù)對(duì)”對(duì)應(yīng)一個(gè)“方塊”；MM 版教材的“點(diǎn)陣圖”中有原點(diǎn)，明確“數(shù)對(duì)”對(duì)應(yīng)一個(gè)“點(diǎn)”。對(duì)應(yīng)“方塊”與對(duì)應(yīng)“點(diǎn)”，哪個(gè)更有價(jià)值呢？張奠宙先生認(rèn)為：“‘?dāng)?shù)對(duì)’或‘文字對(duì)’可以對(duì)應(yīng)一個(gè)‘方塊’，乃是生活常識(shí)。這種識(shí)圖的技能，對(duì)于六年級(jí)學(xué)生來說實(shí)在是過于簡(jiǎn)單了，實(shí)際上不教也會(huì)。問題尤其在于：此類技能與數(shù)學(xué)的發(fā)展沒有關(guān)聯(lián)；‘方塊’不能計(jì)算，做不到‘?dāng)?shù)形結(jié)合’，更無法推廣到‘有理數(shù)對(duì)’的方塊、‘實(shí)數(shù)對(duì)’的方塊，對(duì)日后學(xué)習(xí)‘坐標(biāo)幾何’‘曲線與方程’等數(shù)學(xué)基本方法并無助益。喧賓奪主，反而容易產(chǎn)生誤解，干擾數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示?！毖酝庵?，張奠宙先生認(rèn)為如果僅是滿足生活中的定位需要，用上方位詞就行。但是，要描述物體的動(dòng)態(tài)和運(yùn)動(dòng)中的位置，僅用方位詞就力不能逮了。而按照數(shù)學(xué)的方法，把物體抽象成點(diǎn)，再把點(diǎn)和有序數(shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)起來，然后用代數(shù)式把數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系構(gòu)建出來，這樣根據(jù)這個(gè)代數(shù)式就可以了解點(diǎn)或物體是如何運(yùn)動(dòng)的，運(yùn)動(dòng)中的點(diǎn)或物體的位置在哪里。

（三）概念定義

在概念呈現(xiàn)方面，兩版教材均對(duì)“數(shù)對(duì)”的概念做了強(qiáng)調(diào)，人教版教材采用的是描述式：“張亮在第2 列、第3 行的位置，可以用數(shù)對(duì)（2，3）表示。”這是用舉例的方法來描述概念。相比之下，MM版教材除了呈現(xiàn)描述式概念外，還有定義式概念，如圖1 所示，明確指出數(shù)對(duì)是用來確定網(wǎng)格上的一個(gè)點(diǎn)，MM版教材的概念清晰、呈現(xiàn)明確，有定義有舉例，更全面完整，值得借鑒。

圖1

（四）強(qiáng)調(diào)有序

數(shù)對(duì)的次序尤為重要，兩版教材都用數(shù)形結(jié)合的方式強(qiáng)調(diào)次序，人教版教材是用（列，行）次序來表示數(shù)對(duì)的。但教材中說“張亮在第2列、第3行的位置，可以用數(shù)對(duì)（2，3）表示”。這里的“可以”兩字看不出“唯一”的意義，也就是說沒有明確說明數(shù)對(duì)的有序性。例題通過用數(shù)對(duì)表示王艷（3，4）和趙雪（4，3）兩名同學(xué)的位置，讓學(xué)生“看一看有什么不同”，來明確數(shù)對(duì)中兩個(gè)數(shù)是有順序的；MM版教材是用（向右，向上）的次序來表示數(shù)對(duì)的。為了凸顯次序，教材中將數(shù)對(duì)命名為“有序數(shù)對(duì)”，如圖2所示。在呈現(xiàn)描述式概念時(shí)，MM版教材采用圖文結(jié)合的方式，分兩個(gè)步驟以填空的形式清晰呈現(xiàn)先向右、再向上的次序，并且坐標(biāo)框架圖中還配有紅色向右、藍(lán)色向上的指示方向線，直觀易懂。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，MM版教材更加注重?cái)?shù)對(duì)的次序。

三、教材的可讀性比較

通過以上對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，兩版教材在概念呈現(xiàn)上有較大的不同。那么，哪種方式對(duì)于學(xué)生來講可讀性更強(qiáng)，自學(xué)效果更好呢？我們作了進(jìn)一步研究。調(diào)查對(duì)象為廣東省東莞市莞城英文實(shí)驗(yàn)學(xué)校四年級(jí)隨機(jī)抽選的兩個(gè)班共86名學(xué)生。調(diào)查方式是：將學(xué)生平均分為兩部分，一部分自學(xué)人教版教材，一部分自學(xué)MM 版教材。學(xué)生自學(xué)后進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試以問卷形式進(jìn)行，教師不讀題，學(xué)生獨(dú)立完成，答題時(shí)間為25分鐘。

前測(cè)卷第1 題與各自教材中的例題1 完全相同，第2題的圖示與各自教材中的例題2相同，為了便于數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，我們統(tǒng)一了第2題中的數(shù)據(jù)。測(cè)試后共回收86份有效問卷，調(diào)查結(jié)果如表3所示。

圖2

表3 調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

由表3 可知，學(xué)生自學(xué)例題后完成同樣的題目，正確率都比較高。自學(xué)MM版教材的學(xué)生的答題正確率略高于自學(xué)人教版教材的，說明這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生來說并不困難。

對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤情況進(jìn)行匯總發(fā)現(xiàn)，自學(xué)MM版教材的學(xué)生的出錯(cuò)情況較為集中，只有兩類，而自學(xué)人教版教材的學(xué)生的出錯(cuò)情況較為分散，有六類。主要情況如下。

1.不理解數(shù)對(duì)的含義，所有數(shù)對(duì)中的兩個(gè)數(shù)都寫錯(cuò)，且沒有規(guī)律可循。自學(xué)人教版教材的學(xué)生中沒有出現(xiàn)這種現(xiàn)象，而自學(xué)MM 版教材的有4 人。通過訪談得知，MM版教材文字多，閱讀量大，學(xué)生沒有抓住要點(diǎn)導(dǎo)致理解偏差。

2.已經(jīng)有了“序”的觀念，但在寫的時(shí)候是先寫縱坐標(biāo)再寫橫坐標(biāo)，用反序?qū)憯?shù)對(duì)，即所有數(shù)對(duì)中的兩個(gè)數(shù)正確，但表示的順序正好相反。自學(xué)人教版教材的學(xué)生中有2 人出現(xiàn)這種情況（如圖3），自學(xué)MM版教材的有8人（如圖4）。

圖3

圖4

另外，我們也發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象。大部分?jǐn)?shù)對(duì)都被學(xué)生反序書寫了，唯獨(dú)（0，3）這個(gè)點(diǎn)正確率很高，如人教版問卷中的猩猩館（0，3）的位置學(xué)生都寫對(duì)了。訪談后發(fā)現(xiàn)，原來是學(xué)生發(fā)現(xiàn)（3，0）這個(gè)位置已是大門的位置，猩猩館不可能在那里，所以就交換了數(shù)對(duì)位置。MM版問卷中反序書寫的8名同學(xué)中有4 名“蒙對(duì)”此題，也是這個(gè)理由。由此也可以看出，學(xué)生對(duì)“序”的概念的理解還是不穩(wěn)定。

3.能用數(shù)對(duì)表示，但沒有形成數(shù)對(duì)是有序的概念，有時(shí)正確，有時(shí)錯(cuò)誤。自學(xué)人教版教材的出錯(cuò)學(xué)生中有6人屬于這種情況，這與人教版教材中例題沒有講解原點(diǎn)、沒有明確數(shù)對(duì)與格點(diǎn)的對(duì)應(yīng)可能有一定的關(guān)系。因?yàn)樵诶}1 中明確列和行的意義時(shí)，只將座位圖抽象成方塊圖，學(xué)生潛移默化地認(rèn)為數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)的是方塊，圖示變成點(diǎn)陣圖，學(xué)生在數(shù)的過程中就出現(xiàn)了各式各樣的數(shù)法，錯(cuò)誤也呈現(xiàn)多種情況。

4.僅數(shù)對(duì)（0，3）標(biāo)錯(cuò)位置。自學(xué)人教版教材的出錯(cuò)學(xué)生中有3人屬于這種情況，這也說明學(xué)生不理解原點(diǎn)的意義。

此外，自學(xué)人教版教材的學(xué)生中有5人出現(xiàn)漏題現(xiàn)象，這除了與學(xué)生做題的習(xí)慣有關(guān)外，也與教材教學(xué)內(nèi)容的編排緊湊有關(guān)。

通過前測(cè)的對(duì)比分析我們發(fā)現(xiàn)，教材編寫得越規(guī)范具體，導(dǎo)向性就會(huì)越好，對(duì)學(xué)生自學(xué)也越有利。如加了原點(diǎn)的MM版教材，明確指出有序數(shù)對(duì)與平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，數(shù)形結(jié)合的方式學(xué)生更容易理解。因此，我們建議教材在編寫內(nèi)容的時(shí)候不僅要考慮源于日常生活，還要高于生活，注意數(shù)學(xué)的規(guī)范，避免出現(xiàn)“數(shù)對(duì)”和“方塊”相對(duì)應(yīng)的情況，要與課程標(biāo)準(zhǔn)的要求相一致，這樣指導(dǎo)性會(huì)更強(qiáng)。

另外，在教學(xué)“用數(shù)對(duì)確定位置”時(shí)，我們建議在概念呈現(xiàn)的時(shí)候，可以借鑒MM版教材的編寫方式：讓學(xué)生在方格紙上標(biāo)明原點(diǎn)以及列和行的刻度，并且用上“橫坐標(biāo)”“縱坐標(biāo)”這樣的術(shù)語，明確先從左往右看橫坐標(biāo)，再?gòu)南峦峡纯v坐標(biāo)，讓學(xué)生弄清楚數(shù)對(duì)與方格紙上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)來說更有生長(zhǎng)性，能為今后坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置描述、點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡描述等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好鋪墊，也能幫助數(shù)形結(jié)合、幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng)落地生根。